Nella figura animata seguente possiamo modificare il triangolo A,B,C agendo col mouse sui suoi vertivi. Su ogni lato abbiamo costruito un quadrato e l'area di ognuno di questi quadrati risulta uguale alla somma delle aree dei quadrati sugli altri due lati meno (per angoli acuti) una parte comune. Il focus del teorema consiste nel dimostrare che le aree dei rettangoli attorno a un angolo, che abbiamo rappresentato con le stesso colore, sono uguali.

L'animazione mostra che tanto più l'angolo è acuto tanto più le aree aumentano. Se l'angolo è retto le aree si annullano e abbiamo il teorema di Pitagora. La relazione precisa che lega queste aree all'ampiezza dell'angolo si ottiene, usando la definizione di coseno di un angolo, facilmente: l'area blu costruita su AC vale

mentre quella costruita su CB

che sono, stante la proprietà commutativa del prodotto, chiaramente uguali.
Dal punto di vista dei vettori questa uguaglianza si traduce nella proprietà commutativa del prodotto scalare

Una dimostrazione sintetica elementare dell'uguaglianza delle aree è identica alla dimostrazione di Euclide del teorema di Pitagora (Elementi, Libro I, teorema 47) dove viene dimostrato che l'area del quadrato costruito su un cateto di un triangolo rettangolo è uguale all'area del rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione ortogonale di quel cateto sull'ipotenusa.
L'animazione seguente illustra questa dimostrazione nel caso delle aree blu:

Muovendo i punti H (e K) le aree triangoli blu non cambiano perché non cambia la base e l'altezza. Se H = B' quast'area è la metà di quella del rettangolo che stiamo considerando, mentre se H = B quest'area è quella del triangolo A''BC. Analogamente, se K = A' l'area del triangolo la metà di quella del rettangolo, mentre se K=A quest'area è quella del triangolo B''AC. La dimostrazione si completa osservando che i due triangoli A''BC e B''AC sono uguali perché hanno due lati uguali (CB''=CB e CA''= CA) e l'angolo in C comune.

Notiamo che abbiamo due dimostrazioni dell'uguaglianza di queste aree (in particolare due dimostrazioni del teorema di Pitagora): una che utilizza la nozione di coseno cioé il fatto che, essendo i triangoli rettangoli ACA' e BCB' simili (perché hanno l'angolo in C in comune), i rapporti CA': CA e CB': CB sono uguali (al coseno appunto dell'angolo in C), l'atra invece non utilizza la teoria della similitudine, che Euclide introduce nel VI Libro, e che necessita di una buona teoria sui rapporti commensurabili e incommensurabili, ma utilizza solo l'uguaglianza delle aree di parallelogrammi con la stessa altezza e la stessa base.