Lo Zero-Cubo è un punto: è un oggetto geometrico piuttosto povero, è impossibile disegnarlo perché è talmente piccolo da non potersi vedere, non ha dimensione. È un segno come diceva Euclide. Tuttavia possiamo rappresentarcelo rozzamente, possiamo intuire il suo essere disegnando un piccolo dischetto.

L’ Uno-Cubo è un segmento chiuso ai suoi estremi: è un oggetto dritto, che giace ugualmente rispetto ai suoi punti, come diceva Euclide, ma talmente sottile da non potersi vedere, è pura lunghezza, ha una sola dimensione. Un modo approssimato per intuire il suo essere è quello di disegnare un filo teso o di pensare a un lontanissimo aereo, talmente lontano da sembrare uno Zero-Cubo che lascia, per un po’ di tempo, una sottilissima scia tra le nuvole. Non c’è molto da dire sull’Uno-Cubo se non il fatto che i suoi estremi sono due, anzi sono due Zeri-Cubi.

Poco altro da riferire su questo oggetto se non si vuole dare ascolto a coloro che, per soddisfare a un bisogno assoluto di rigore, rinunciano al disegno e alle nuvole e pensano che l’Uno-Cubo sia un insieme formato da particolari numeri, più precisamente da tutti i numeri reali x tali che:

0 < x < 1

Il Due-Cubo è un quadrato: è un oggetto piatto, che giace ugualmente rispetto alle sue rette come diceva Euclide, senza spessore. Per questo anche il Due-Cubo è un oggetto astratto, che non può vedersi. Ha solo due dimensioni: una larghezza e una lunghezza. Per chi si accontenta di una immagine approssimata si può disegnare un quadrato e avere un’idea della natura del Due-Cubo. Le sue parti estreme hanno un certo interese: ci sono quattro lati che sono Uno-Cubi e anche quattro vertici che sono Zero-Cubi.

Il rigoroso pensa ai numeri e si immagina il Due-Cubo come l’insieme delle coppie ordinate (x,y) di numeri reali tali che

0 < x < 1
0 < y < 1

Il Tre-Cubo è l’unico oggetto che possiamo "realmente" vedere, maneggiare realizzare nel notro "spazio fisico". Per questo il Tre-Cubo si merita anche altri nomi più famigliari come Cubo o Dado. Ognuno di noi ha giocato con questi Tre-Cubi e ha avuto a che fare con le sue 6 facce, 6 Due-Cubi che lo contornano. Agli estremi abbiamo anche 12 Uno-Cubi (gli spigoli) e 8 Zero-Cubi (i vertici). La struttura del Dado è talmente familiare che non vale la pena di aggiungere altro. Alcuni insistono nel voler disegnare su un foglio di carta il Tre-Cubo e per far questo sono obbligati ad appiattire una dimensione. Con vari espedienti (proiezione ortogonale, proiezione prospettica, ombreggiatura o altri) si riesce a dare l’illusione della profondità forse perché il dado è talmente familiare che subito lo si riconosce in un disegno anche incerto.

In questa figura si è disegnata una faccia del cubo in primo piano trasparente, in modo da lasciar vedere il dietro del cubo (in secondo piano) che è un’altra faccia quadrata e più scura disegnata all’interno, le altre 4 facce sono diventate le "pareti" di questa stanza che, anche se nel disegno sono diventate trapezoidali, pure vengono riconosciute come quadrate.

Il rigoroso, che dubita persino sul fatto che lo "spazio fisico" abbia "veramente" tre dimensioni, insiste coi numeri e si immagina un Cubo come formato da tutte le terne ordinate di numeri reali (x,y,z) per i quali

0 < x < 1
0 < y < 1
0 < z < 1

Per lui le facce sono terne estreme per le quali o la x o la y o la z è fissata:

(0,y,z)    con    0 < y < 1    e   0 < z < 1
(1,y,z)    con    0 < y < 1    e   0 < z < 1
(x,0,z)    con    0 < x < 1    e   0 < z < 1
(x,1,z)    con    0 < x < 1    e   0 < z < 1
(x,y,0)    con    0 < x < 1    e   0 < y < 1
(x,y,1)    con    0 < x < 1    e   0 < y < 1

I 12 spigoli sono le terne estreme-estreme per le quali due variabili sono fissate:

(0,0,z)   ,  (0,1,z)  ,  (1,0,z)   ,   (1,1,z)  con  0 < z < 1
(0,y,0)   ,  (0,y,1)  ,  (1,y,0)   ,   (1,y,1)  con  0 < y < 1
(x,0,0)   ,  (x,0,1)  ,  (x,1,0)   ,   (x,1,1)  con  0 < x < 1

Mentre i vertici sono le 8 terne estreme-estreme-estreme

(0,0,0) , (0,0,1) , (0,1,0) , (0,1,1) , (1,0,0) , (1,0,1) , (1,1,0) , (1,1,1)

Il Quattro-Cubo che alcuni chiamano Ipercubo vive nello spazio a 4 dimensioni. È ora che il rigoroso ha la meglio con le sue coordinate. Egli non ha nessuna difficoltà a definire il Quattro-Cubo come l’insieme delle quaterne ordinate di numeri reali (x,y,z,w) per le quali:

0 < x < 1
0 < y < 1
0 < z < 1
0 < w < 1

Oltre a questo può facilmente calcolare le parti estreme di questo interessantissimo oggetto: ci sono 8 Cubi, 24 Quadrati, 32 Spigoli, e 16 Vertici!
Ma il trionfo del rigoroso è che egli si può anche azzardare a considerare il Cinque-Cubo e poi il Sei-Cubo e andare avanti chi sa fino dove. Noi restiamo un poco sbigottiti.

Qualcuno, qualche fantasioso scultore, tenta di realizzare l’ipercubo nello "spazio fisico" a tre dimensioni e prova a fare come si fa col cubo quando lo si vuole rappresentare in un piano. Realizza due cubi: uno grande in "primo spazio" trasparente dentro il quale ne mette un secondo più piccolo e lo immagina fuori, in un "secondo spazio" poi collega i due cubi con altri 6 cubi che nella rappresentazione tridimensionale sono diventati un poco trapezoidali ma che egli continua a immaginare come fossero cubi. Ben povera questa rappresentazione del Quattro-Cubo anche se, a ben guardare, girandogli intorno, come si può fare all'ingresso del nostro dipartimento, si ritrovino i suoi 8 Cubi, i suoi 24 Quadrati i 32 Spigoli e i 16 Vertici da cui è formato.
Qualcuno ha anche scoperto due formule: