Corso di Equazioni Differenziali
per il Corso di Laurea Magistrale in
Matematica

A.A. 2022/2023


Prof. D. Bartolucci
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
STUDIO 1107, PIANO 1 CORRIDOIO A1
Tel: 0672594689
E-mail: bartoluc (at) mat.uniroma2.it

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Lunedì Mercoledì Venerdì
09:00 - 11:00 09:00 - 11:00 09:00 - 11:00
Aula 20
Aula 20 Aula 20

Le lezioni si svolgeranno dal 06/03/2023 al 09/06/2023. Tutte le informazioni sul corso, incluso materiale didattico e diario delle lezioni saranno disponibili sul canale (Teams) BARTOLUCCI-8067018-EQUAZIONI_DIFFERENZIALI, codice 5byxbjq.



Ricevimento

Martedì
17:00 - 19:00

Gli studenti interessati sono pregati di contattare il docente preventivamente. Il ricevimento si potrà svolgere se necessario anche sul canale (Teams) BARTOLUCCI-8067018-EQUAZIONI_DIFFERENZIALI, codice 5byxbjq.




Programma del corso


INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DI LAPLACE-POISSON, DEL CALORE E DELLE ONDE

- Equazioni di Laplace e Poisson. Funzioni armoniche. Soluzioni Fondamentali.

- Formula del valor medio. Principio del massimo, unicità. Mollificatori, convoluzione e regolarizzazione.

- Regolarità e stime locali per funzioni armoniche. Disuguaglianza di Harnack per funzioni armoniche. La funzione di Green. La funzione di Green sulla palla. Il nucleo di Poisson.

- Metodi variazionali (o dell'energia). Il principio di Dirichlet.

- L'equazione del calore. Soluzioni fondamentali. Il problema di Cauchy per l' equazione del calore omogenea e non omogenea. Formula del valor medio e la palla del calore.

- Principio del massimo per l'equazione del calore. Unicità. Regolarità delle soluzioni dell'equazione del calore.

- Equazioni di trasporto. L'equazione delle onde. Le formule di D'Alambert (n=1), Euler-Poisson-Darboux e Kirchoff (n=3). Metodo di decrescita dimensionale, la formula di Poisson (n=2). Equazione delle onde non omogenea, potenziali ritardati, metodi dell'energia, velocità di propagazione delle onde.
CENNI SU SOLUZIONI DEBOLI, AUTOVALORI, PRINCIPIO DEL MASSIMO. APPLICAZIONI.

- Definizioni e cenni su: derivate deboli, spazi di Sobolev, soluzioni deboli di equazioni ellittiche del secondo ordine, Teorema di Lax-Milgram, l'alternativa di Fredholm per equazioni ellttiche del secondo ordine.

- Definizioni e cenni su: autovalori di operatori ellittici autoaggiunti, teoria della regolarità ellittica.

- Definizioni e cenni su: principio del massimo per operatori ellittici del secondo ordine.

- L'equazione di Liouville e la curvatura Gaussiana. Il problema della curvatura prescritta sulle varietà di Riemann compatte di dimensione 2, singolarità coniche.

- Equazioni di campo medio e la meccanica statistica della turbolenza bidimensionale (Teoria di Onsager). Formulazione variazionale, modelli canonico e microcanonico.

- Configurazioni di equilibrio stellare idrostatico isotermo e politropico (Equazione di Lane-Emden).

EQUAZIONI ELLITTICHE SEMILINEARI, PROBLEMI AGLI AUTOVALORI NON LINEARI

- Equazioni ellittiche semilineari e il metodo diretto del calcolo delle variazioni. Differenziabilità delle mappe tra spazi di Banach.

- Problemi agli autovalori non lineari.

- Metodi di punto fisso e sotto-soprasoluzioni. Esistenza e unicità.

- Esistenza e non esistenza di soluzioni. Soluzioni minimali.

- Il Teorema della funzione inversa tra spazi di Banach. Il Teorema della funzione implicita sugli spazi di Banach. Regolarità degli autovalori semplici.

- Soluzioni negative e monotonia. La curva delle soluzioni minimali.

- Soluzioni estremali, il risultato di Cabré, Figalli, Ros-Oton, Serra. "Bending" di Crandall-Rabinowitz del diagramma di biforcazione sulla soluzione estremale.

- Diagrammi di biforcazione di problemi radiali. Il Lemma di passo montano di Ambrosetti-Rabinowitz e il Lemma di Deformazione.

- Esistenza di soluzioni non-minimali tramite il Lemma di passo montano.

- Equazioni di tipo Liouville, il Teorema di compattezza-concentrazione di Brezis-Merle.



Libri di testo e materiale didattico

  • A. Ambrosetti, G. Prodi, A Primer of Nonlinear Analysis, Cambridge University Press 1993.

  • L.C. Evans, Partial Differential Equations. Second Edition. American Mathematical Society 2010.

  • Il materiale didattico (note del docente) e il diario delle lezioni saranno disponibili nella cartella File del Canale Generale del Team del corso.




Le lezioni si svolgeranno dal 06/03/2023 al 09/06/2023. Tutte le informazioni sul corso, incluso materiale didattico e diario delle lezioni saranno disponibili sul Team BARTOLUCCI-8067018-EQUAZIONI_DIFFERENZIALI, codice 5byxbjq.