Geometria 1 con elementi di storia 1 a.a. 2017-18
Il Dott. Antonio Rapagnetta e' codocente per l'insegnamento.
1) obiettivi di apprendimento:
conoscenza e comprensione: apprendere le nozioni di base relative all'algebra lineare, agli spazi affini e euclidei; leggere e comprendere risultati di base relativi a tali argomenti.
capacita' di applicare conoscenza e comprensione: risolvere sistemi lineari tramite metodi di riduzione, applicare le nozioni di algebra lineare apprese per risolvere problemi geometrici.
autonomia di giudizio: lo studente sapra' applicare l'algebra lineare nella risoluzione di alcuni problemi in geometria affine e euclidea.
abilita' comunicative: lo studente sara' in grado di esporre e argomentare la soluzione di problemi; sara' inoltre in grado di discutere e riprodurre correttamente dimostrazioni di risultati relativi a spazi vettoriali, spazi affini e euclidei.

2)Programma
1. Spazi vettoriali e sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare. Teorema di Steinitz. Basi e dimensione. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Applicazioni lineari. Immagine, nucleo e rango di una applicazione lineare. Il gruppo degli automorfismi di uno spazio vettoriale. Matrici e rango di una matrice. Metodo di Gauss per il calcolo del rango. Sistemi lineari. Sistemi compatibili. Teorema di Rouche'-Capelli. Primo e secondo teorema di unicita'. Sistemi dipendenti da parametri. Risoluzione di un sistema lineare con il metodo di Gauss di eliminazione. Sistemi ridotti e normali. Matrici e applicazioni lineari. Matrici invertibili. Matrici ortogonali. Cambiamenti di base. Determinanti, modalita' di calcolo e applicazioni. Teorema di Binet. Teorema degli orlati. Teorema di Cramer. Prodotti scalari definiti positivi. Algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
2. Spazi affini. Dimensione di uno spazio affine. Vettori liberi e applicati. Sottospazi affini di uno spazio affine e loro giaciture. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine. Dipendenza e indipendenza di punti. Mutua posizione di sottospazi affini. Sistemi di sottospazi: fasci e stelle. Affinita'. Orientazione. Spazi euclidei. Riferimenti ortonormali. Prodotto vettoriale. Aree e volumi.
3. Elementi di Storia.

TESTI CONSIGLIATI C. Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri
Note messe a disposizione dal docente [consulta la pagina alla voce 'Files' in alto a destra].

Modalita' di verifica La prova di verifica si compone di una prova scritta propedeutica e una prova orale. La prova orale va sostenuta nella stessa sessione d'esame della prova scritta. Ai fini della prova orale, il candidato prepara una tesina relativa ai crediti di storia; essa va redatta in forma scritta e portata in copia scritta (da consegnare) in occasione della prova orale. Il lavoro puo' essere svolto in gruppo (e, in tal caso, nella copia consegnata vanno indicati tutti i nominativi del gruppo).
L'iscrizione all'esame avviene tramite totem, almeno quattro giorni prima della data dell'esame. La prima volta che ci si prenota all'esame, si ha la possibilita' di compilare un questionario di valutazione dell'insegnamento.
Il giorno 27 gennaio alle ore 10 e' prevista la seconda prova scritta intermedia.
Il superamento complessivo delle prove intermedie permette, a chi desidera, di accedere direttamente alla prova orale dell'insegnamento negli appelli di gennaio-febbraio (sessione estiva anticipata). Per chi ha superato le prove intermedie e sostiene anche la prova scritta d'esame, si terra' conto di entrambe le votazioni. Per chi non ha superato le prove intermedie, non si tiene conto degli esiti di tali prove.
Risultati della prima prova di esonero.

Diario delle lezioni
Con [AL] si intende il libro di Algebra lineare del prof. Ciliberto, che e' stato consigliato per lo studio del corso. Le dispense e i testi degli esercizi di tutorato (con cenni di soluzione) sono messe a disposizione sulla pagina [ link] alla voce 'Files' in alto a destra Prima settimana
2 ottobre: Insiemi numerici, funzioni iniettive, suriettive, biiettive, prodotto cartesiano, n-ple ordinate, somma in R^2 [AL, par. 4 e 7 del capitolo 1].
3 ottobre: Inversa di una funzione, Le traslazioni in R^2 sono biettive, Proprieta' della somma in R^2, prodotto per uno scalare reale in R^2, gruppi, gruppo (Z_2, +) [AL, pag 20].
4 ottobre: In R^2 le omotetie di rapporto non nullo sono biiettive, insieme dei multipli scalari di una coppia in R^2 (descrizione grafica, parametrica, cartesiana), campi, il campo Z_2, spazi vettoriali.
5 ottobre: Spazi vettoriali numerici. Spazi di vettori geometrici applicati in un punto.
Seconda settimana
9 ottobre: tutorato
10 ottobre: Equipollenza tra vettori applicati. Spazio vettoriale dei vettori geometrici liberi. Proprieta' generali delle relazioni di equivalenza. [cap. 1, par. 1, 2, 3, 5]
11 ottobre:Riferimenti nella retta e nel piano euclideo. Prime proprieta' degli spazi vettoriali. [cap. 2, par. 2]
12 ottobre: Combinazioni lineari di vettori [cap.2, par. 3]. Sottospazi di uno spazio vettoriale e loro caratterizzazione. Sottospazio vettoriale generato da un insieme finito di vettori. Esempi di sottospazi vettoriali. L'intersezione di due sottospazi vettoriali e' un sottospazio vettoriale. [cap. 4, par. 1,2].
Terza settimana
16 ottobre: tutorato
17 ottobre: Giacitura di una retta nello spazio euclideo e vettori direttori. Giacitura di un piano nello spazio euclideo. [dispense sugli spazi affini, AL cap. 4, par.2] Esempi di sottospazi vettoriali: assi 'fondamentali' o 'coordinati' di uno spazio vettoriale numerico. Base canonica di K^n. Ogni vettore in K^n si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base canonica.
18 ottobre: L'intersezione arbitraria di sottospazi vettoriali e' un sottospazio vettoriale. [AL, cap. 4 par 1, prop. 4.2] Matrici [AL pag. 31]. Sistemi di equazioni lineari omogenee. [AL cap. 4, par 3] Matrice dei coefficienti associata a un sistema di equazioni omogenee. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n indeterminate e' un sottospazio vettoriale di K^n. Trovare una soluzione di un sistema lineare omogeneo equivale a scrivere il vettore nullo come combinazione lineare delle colonne della matrice dei coefficienti associata al sistema lineare. Prodotto di una matrice per un vettore colonna.
19 ottobre: Proprieta' del prodotto matrice per vettore colonna. Sistemi lineari di equazioni. Matrice dei coefficienti e matrice completa. Un sistema lineare di equazioni e' compatibile se e solo se la colonna dei termini noti e' combinazione lineare delle colonne della matrice dei coefficienti.
Quarta settimana
23 ottobre: tutorato
24 ottobre: [AL, cap 4 e 5] L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare compatibile sono un sottospazio affine numerico la cui giacitura e' il sottospazio vettoriale delle soluzione del sistema omogeneo associato. Sottospazio vettoriale generato da un sistema. Dipendenza lineare di un vettore da un sistema.
25 ottobre (svolta dal Dott. Rapagnetta): spazi e sottospazi vettoriali di matrici. Matrici quadrate, simmetriche, antisimmetriche, triangolari, scalari, diagonali. Prodotto tra matrici e sue proprieta'.
26 ottobre: spazi vettoriali finitamente generati. Lo spazio vettoriale dei polinomi in una indeterminata a coefficienti in un campo non e' finitamente generato. Insiemi minimali di generatori. Metodo degli scarti successivi, per ricavare da un sistema finito di generatori un suo sottosistema minimale.
Quinta settimana
30 ottobre: tutorato
31 ottobre: Sistemi linearmente dipendenti e sistemi linearmente indipendenti. Un sistema di generatori e' minimale se e solo se e' linearmente indipendente. Il metodo degli scarti successivi, applicato a un sistema di genaratori finito, individua un sistema di generatori linearmente indipendente (e quindi minimale).
2 novembre: Teorema di Steinitz. Basi e dimensione di uno s.v.f.g. Metodo di completamento a una base. Basi come sistemi indipendenti massimali e sistemi di generatori minimali.
Sesta settimana
6 novembre: tutorato
7 novembre: Sistemi massimali di vettori linearmente indipendenti. Indipendenza lineare e unicita' di scrittura. Vettore delle componenti rispetto a una base. In uno svfg, un sistema di vettori T e' linearmente indipendente se e solo se e' linearmente indipendente il sistema formato dalle componenti dei vettori di T rispetto a una base fissata.
8 novembre: rango di una matrice [cap. 7, par. 1]. Il rango di un prodotto tra matrici e' minore o uguale al rango dei fattori [cap. 10, par. 6, prop. 10.15]. Teorema di Rouche'-Capelli e Primo teorema di unicita' per sistemi lineari [cap. 7, par. 3, Teor. 7.4 e 7.5].
9 novembre: Trasformazioni elementari su un sistema finito di vettori, come composizione di trasformazioni elementari di prima, seconda e terza specie. Le trasformazioni elementari su un sistema di vettori non modificano il sottospazio vettoriale da esso generato. [cap. 8, par. 1] Matrici a scala (o 'a scalini') [cap. 8, par. 3, def. 8.8]. Le righe non nulle di una matrice a scala formano un sistema linearmente indipendente di vettori. Esempi di modifica di una matrice in una matrice a scala tramite trasformazioni elementari sulle righe.
Settima settimana
13 novembre: tutorato
14 novembre: Tramite trasformazioni elementari di prima specie, un sistema finito S di vettori puo' essere modificato in un sistema in cui i vettori non nulli formano una base del sottospazio vettoriale generato da S. Procedimento di Gauss di eliminazione per modificare una matrice in una matrice a scala tramite una sequenza finita di trasformazioni elementari. Applicazioni al calcolo del rango.
15 novembre: Applicazioni del procedimento di Gauss per la soluzione di un sistema lineare. Descrizione parametrica delle soluzioni. Procedimento sulla matrice completa per determinare un sistema lineare equivalente con matrice a scala e tale che le incognite corrispondenti ai pivot compaiano in una unica equazione.
16 novembre: Sottomatrici. Ogni matrice di rango r ha una sottomatrice di ordine e rango r. Secondo teorema di unicita' per sistemi lineari.
Ottava settimana
20 novembre: tutorato
21 novembre: somma di sottospazi e formula di Grassmann
22 novembre: Esercizi su sistemi lineari. Sottospazi vettoriali assegnati tramite equazioni cartesiane.
23 novembre: Matrici ridotte e completamente ridotte. Esercizi su mutua posizione tra sottospazi vettoriali e su sistemi lineari di equazioni cartesiane
Interruzione delle lezioni tra il 27 novembre e il 1 dicembre
27 novembre: prima prova intermedia, Aula 5, Edificio PP2, ore 10:00-12:00 (iscriversi tramite delphi)
Nona settimana
4 dicembre: tutorato (correzione della prova di esonero e studio delle matrici dipendenti da parametri)
5 dicembre: Trasformazioni elementari come prodotto. Matrici invertibili e loro caratterizzazione tramite il rango. Calcolo dell'inversa mediante trasformazioni elementari.
6 dicembre: Esercizi sul calcolo dell'inversa di una matrice tramite trasformazioni elementari. Determinante e sue proprieta': determinante e trasformazioni elementari, determinante di una matrice elementare, determinante di una matrice diagonale
7 dicembre: Determinante e sue proprieta': il determinate e' non nullo se e solo se la matrice ha rango massimo. Determinante dei una matrice triangolare inferiore o superiore. Determinante come applicazione multilineare alternante sulle righe. Determinante di una matrice di ordine 2. Sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga.
Decima settimana
11 dicembre: il tutorato NON si svolge
12 dicembre: Applicazioni bilineari simmeriche o alternanti. Applicazioni multilineari alternanti. Sviluppo di Laplace del determinante rispetto a una riga o una colonna, permutazioni e espressione del determinante. Determinante della matrice trasposta.
13 dicembre: Teorema di Binet [senza dimostrazione] Teorema di Cramer. Matrice dei cofattori e matrice inversa. Teorema degli orlati e sue applicazioni (cap. 15, par. 1)
14 dicembre: Spazi e sottospazi affini. Riferimenti affini.
Undicesima settimana
18 dicembre: tutorato
19 dicembre: Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini. Rette affini, vettore direttore e equazioni nella forma dei rapporti uguali.
20 dicembre: Sottospazio affine generato da punti. Sottospazi paralleli e sottospazi sghembi.
21 dicembre: Spazio congiungente e relazione di Grasmann per sottospazi affini.
Dodicesima settimana
8 gennaio: tutorato
9 gennaio: Nucleo, immagine e rango di una applicazione lineare. Caratterizzazione dell'iniettivita' tramite il nucleo. Teorema del rango (o teorema fondamentale delle applicazioni lineari).
10 gennaio: Applicazioni lineari definite su una base. [cap. 9]
11 gennaio: Matrice associata a una applicazione lineare (cap. 10, par. 4). Cambi di riferimento (cap.10, par. 5)
Tredicesima settimana
15 gennaio: tutorato
16 gennaio: Matrice associata a una composizione di applicazioni lineari. Prodotto scalare tra vettori geometrici e sue proprieta'.
17 gennaio: Prodotto scalare definito positivo su uno spazio vettoriale reale. Prodotto scalare standard in R^n. Versori. Ortogonalita' rispetto a un prodotto scalare. Decomposizione ortogonale lungo un vettore. Teorema di Cauchy Schwartz.
18 gennaio: Algoritmo di Gram Schmidt di ortonormalizzazione. Sottospazi ortogonali.
Quattordicesima settimana
22 gennaio: Spazi euclidei. Prodotto vettoriale.
23 gennaio:
24 gennaio: la lezione non si svolge, per permettere lo svolgimento della prova parziale di algebra.
25 gennaio:
27 gennaio: seconda prova intermedia.