Fondamenti di Matematica a.a. 2013-14
(LM 85 bis - Facolta' di Scienze della formazione - LUMSA)

Obiettivi formativi: Conoscenza e capacita' di comprensione: La teoria assiomatica e l'attenzione rivolta alle definizioni costringe ad una riflessione e una piena padronanza del linguaggio, e a un attento ascolto.
Capacita' di applicare conoscenza e comprensione Lo studente sapra' utilizzare alcuni aspetti della matematica per modellizzare, affrontare e risolvere varie situazioni problematiche.
Autonomia di giudizio: lo studente sara' in grado di analizzare criticamente una dimostrazione; di capire e valutare le difficolta' del processo insegnamento/apprendimento in base all'argomento trattato e alla situazione dei discenti.
Abilita' comunicative: lo studente sara' in grado di elaborare o applicare idee, e di sostenerle con chiarezza e rigore; sollecitare, stimolare, favorire e guidare all'interesse per il pensiero matematico.
Lo studio di alcuni elementi fondanti dell'aritmetica e della geometria permette e induce una riflessione sulla matematica e il suo ruolo educativo, nonche' sulle modalita' di insegnamento.
Contenuti del corso Elementi di logica. Introduzione alla geometria piana, attraverso il libro I degli Elementi di Euclide e risultati correlati. Elementi di teoria degli insiemi . Insiemi numerici N, Z, Q, R. Algebra geometrica e proprieta' delle operazioni. Numeri primi. Elementi di probabilita' e statistica.
Testi di riferimento: Elementi di Euclide, Libro I (vedi ad esempio il sito http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html su Euclide). Per una traduzione italiana commentata, e' possibile consultare anche 'Gli elementi' di Euclide, Curato da Frajese A., Maccioni M. Editore: UTET Collana: Classici della scienza (1996)
Dispense messe a disposizione su questo sito
Descrizione della verifica di profitto Prova scritta propedeutica e prova orale. Nella prova scritta, si verificheranno, in particolare, le competenze preliminari sulle operazioni e le espressioni con frazioni e numeri decimali. Le due prove saranno convocate nello stesso giorno. Chi ha superato la prova scritta deve sostenere la prova orale all'interno della stessa sessione. Nella prova orale, il candidato espone un argomento a scelta di logica matematica, uno di geometria, uno di aritmetica e uno di statistica e probabilita'. E' necessaria la registrazione per poter sostenere l'esame. Qualora il candidato sostenga la prova orale in un appello differente dalla prova scritta, e' tenuto ad iscriversi nuovamente all'esame. In base al numero di candidati iscritti, e' possibile che l'esame si prolunghi su piu' giorni.

Risultati della prova scritta del 19 febbraio: Aurelio 14, Calabresi 19, Filippi 11, Gentili 22, Iudicone <10, Nanu 11, Nubile <10, Roma < 10, Sari < 10, Stefani 19, Tefa < 10.
Le prove orali il 20 ore 14, aula 21 secondo piano.

Programma attualmente svolto Nozione di proposizione. Connettivi logici e loro proprieta'. Tavole della verita'. Negazione. Rappresentazione insiemistica dei connettivi 'e' e 'o' e della negazione. ( introduzione alle proposizioni)
Implicazione e coimplicazione: esempi e terminologia. La dimostrazione di una implicazione equivale alla dimostrazione dell'antinominale.
Quantificatori universali e particolari, e loro negazione. Negazione di proposizioni contenenti quantificatori.
Dimostrazione diretta e indiretta (dimostrazione dell'antinominale, dimostrazione per assurdo).
Dimostrazione dei criteri di divisibilita' per 2 e per 10. Cifra delle unita' di un numero naturale n come resto della divisione di n per 10.
Sillogismi ipotetici e conseguenze logiche.
Quadrato delle opposizioni e sillogismi categorici. Esempi.
Modo e figura di un sillogismo. Discussione della correttezza di un sillogismo. Raffigurazione insiemistica.
Sistema assiomatico: elemento primitivi, assiomi, regole logiche, definizioni, teoremi.
Introduzione ad una teoria assiomatica
Geometria piana: punti, segmenti e rette, angoli, superfici e piano, circonferenza nel primo libro degli elementi di Euclide.
Assiomi di Euclide per la geometria piana e nozioni comuni.
Primo libro degli Elementi di Euclide: proposizioni 1 e 2 e assiomi mancanti. Prop. 3, prop. 4 (da considerare come un assioma, senza dimostrazione), Prop. 5, 6 ( proposizioni 3-6)), 7, 9, 10,11,12,13,14,15,16,17 (con piccole modifiche alla dimostrazione in modo da poter posporre la dimostrazione della prop. 8 e non utiizzare, in essa, ragionamenti di 'sovrapposizione' di figure).
SECONDO SEMESTRE
Enunciati prop. 18, 19, 20, 23. Enunciati dei criteri di congruenza per triangoli (Prop 8 LLL, prop. 26 ALA e AAL) . Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale: caratterizzazione del parallelismo (prop. 27-28). Esistenza e unicita' di una retta passante per un punto assegnato e parallela ad una retta assegnata (Prop 31 e 29). Somma degli angoli interni di un triangolo (prop. 32). Prop. 34: i parallelogrammi hanno lati e angoli opposti uguali, e ogni diagonale li taglia in due parti uguali. Formule del perimetro e dell'area di una triangolo e di un quadrilatero convesso piano (quadrati, rombi, rettangoli, parallelogrammi, trapezi). Calcolo dell'area per scomposizione delle figure. (motivazione delle formule e enunciato prop. 35) Perimetro e area di un triangolo (motivazione delle formule e enunciato prop 37 e prop. 41).
Teorema dell'angolo al centro e dell'angolo alla circonferenza. Teorema di Pitagora. Applicazioni del teorema di Pitagora al disegno delle radici quadrate dei numeri naturali e al calcolo del numero fisso per i poligoni regolari.
Teorema di Talete dimostrazione e sue applicazioni alla rappresentazione geometrica di moltiplicazione e divisione file . Suddivisione di un segmento in parti uguali e applicazioni alle frazioni.
Insiemi numerici. Operazioni e loro proprieta'. Espressioni aritmetiche. Scrittura di un numero naturale in base arbitraria file . Multipli e divisori di un numero naturale. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo di una coppia di numeri naturali. Metodo di Euclide per il calcolo del massimo comune divisore. Numeri primi. Crivello di Eratostene. I numeri primi sono infiniti. Teorema fondamentale dell'aritmetica (solo enunciato).
Elementi di probabilita'.