Analisi Matematica 2
per il corso di laurea in Matematica (2016-17)

Orario (6 Marzo 2017 - 9 Giugno 2017)

Lunedi' Mercoledi' Mercoledi' Venerdi'
11-13 11-13 14-16
11-13
Aula 5 (ed. PP2) Aula 5 (ed. PP2) Aula 5 (ed. PP2) Aula 5 (ed. PP2)
Lezione (Tauraso) Lezione (Tauraso) Tutorato (Garofali) Lezione (Tauraso)


Contatti.
- telefono: 06-7259-4615,
- e-mail:

Orario di ricevimento (nell'ufficio n. 0206 presso il Dip. di Matematica).
- Dal 6 Marzo 2017 al 9 Giugno 2017: il lunedi' e il mercoledi' dalle 13 alle 14 oppure su appuntamento da concordare via email.
- Dal 10 Giugno 2017: su appuntamento da concordare via email.

Obiettivi di apprendimento. Il corso si propone di illustrare alcuni concetti base del calcolo differenziale. L'obiettivo e' quello di rendere lo studente capace di elaborare tali concetti in maniera critica e di acquisire le conoscenze necessarie per risolvere con rigore i problemi proposti.

Programma del corso. Polinomio di Taylor e applicazioni. Formula di Taylor e stime del resto. Uniforme continuita'. Integrazione secondo Riemann. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione. Integrali impropri. Serie numeriche e criteri di convergenza. Equazioni differenziali del primo ordine. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Equazioni differenziali a variabili separabili. Introduzione agli spazi metrici e agli spazi normati. Convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni. Compattezza in R^n. Teorema delle contrazioni in spazi metrici completi.
I dettagli degli argomenti svolti si possono consultare nel diario delle lezioni.

Libro di testo. Il libro consigliato e' "Analisi Matematica 1 (terza edizione)" di Enrico Giusti pubblicato dalla Bollati Boringhieri. Tale libro contiene parecchi esercizi che comunque verranno integrati con altro materiale fornito durante il corso.

Modalita' di verifica. Nell'anno accademico sono previsti quattro appelli. Ad ogni appello a cui si intende partecipare si puo' sostenere l'esame che consiste di una prova scritta e di una prova orale (non sono previste prove in itinere o esoneri). Per la prova scritta e' necessario prenotarsi utilizzando il portale Delphi. La prenotazione riguarda solo la prova scritta (e va ripetuta ad ogni appello a cui si intende partecipare) mentre per la prova orale e' necessario seguire le indicazioni riportate sulla pagina web con i voti della prova scritta. La prova orale va svolta prima della prova scritta dell'appello successivo. Durante la prova scritta non e' possibile utilizzare alcun testo. Per essere ammessi alla prova orale e' necessario che la prova scritta sia sufficiente. Se anche la prova orale e' sufficiente e lo studente accetta il voto finale, si verbalizza tale voto e l'esame e' concluso, altrimenti va rifatta la prova scritta in uno degli appelli successivi.

Prova scritta del 3/7/2017
ore 10, aula 5 edificio PP2

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 24/7/2017
ore 10, aula 5 edificio PP2

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 12/9/2017
ore 10, aula 11

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 1/2/2018
ore 10, aula 5 edificio PP2

Testo: Svolgimento: Voti


Queste sono le prove dell'anno accademico 2015-16:

Prova scritta del 22/6/2016
ore 10, aula 5 edificio PP2

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 26/7/2016
ore 10, aula 5 edificio PP2

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 13/9/2016
ore 10, aula L3

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 31/1/2017
ore 10, aula L3

Testo: Svolgimento: Voti


Link utili.
- Come studiare matematica? Qualche consiglio: Link 1, Link 2, Link 3.
- Matematici di Tor Vergata e' un archivio on-line di materiale didattico gestito dagli studenti di matematica.
- Mathematics Stack Exchange Network (wiki).
- MathOverflow (wiki).
- Wolfram Alpha. Esempi: grafico, polinomio di Taylor, limite, integrale indefinito, integrale definito, serie, eq. differenziale, eq. differenziale 2.
- Integral Calculator.
- il sito Numberphile (canale YouTube).

 

Diario delle lezioni

Nr. Giorno Argomento
L01 Lu 6/3/17 Descrizione del corso. Introduzione della notazione o-piccolo e ai polinomi di Taylor. Un primo esempio del loro uso nel calcolo dei limiti.
L02 Me 9/3/17 Definizione di polinomio di Taylor. Calcolo dei polinomi di Taylor in 0 di exp(x), ln(1+x), sin(x), cos(x), (1+x)^a. Formula di Taylor con il resto di Peano e con il resto di Lagrange. Applicazione: il grafico di una funzione convessa sta sopra il grafico di ogni sua retta tangente.
L03 Ve 11/3/17 Studio locale di un punto stazionario con il polinomio di Taylor. Per ogni x, il polinomio di Taylor di exp(x) di ordine n tende a exp(x). Irrazionalita' del numero di Nepero e. Regole di sostituzione dell'o-piccolo. Due esempi di calcolo del polinomio di Taylor per funzioni non elementari.
L04 Lu 13/3/17 Definizioni di uniforme continuita' e Lipschitzianita'. Condizioni sufficienti per l'uniforme continuita': Lipschitzianita', limitatezza della derivata. Condizione equivalente di non uniforme continuita' tramite successioni. Teorema di Heine-Cantor. Studio dell'uniforme continuita' per le funzioni ax+b, x^2, sin(x).
L05 Me 15/3/17 Esempio di calcolo del polinomio di Taylor di una funzione inversa. Una funzione uniformemente continua in due intervalli I e J con intersezione non vuota e' uniformemente continua sull'unione di I e J. Teorema di estensione per continuita' delle funzioni uniformemente continue. Studio dell'uniforme continuita' per la funzione sin(1/x), sqrt(x) e sin(x^2).
T01 Me 15/3/17 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L06 Ve 17/3/17 Una funzione continua in [a,+infinito) con asintoto a +infinito e' uniformemente continua in [a,+infinito). Una funzione uniformemente continua in [a,+infinito) ha crescita al piu' lineare. Introduzione al calcolo integrale. Metodo di esaustione per il calcolo dell'area del cerchio e dell'area di un segmento parabolico.
L07 Lu 20/3/17 Definizione di funzione integrabile (secondo Riemann-Darboux con somme superiori e inferiori). La funzione di Dirichlet non e' integrabile in [a,b]. Criterio di integrabilita'. Le funzioni monotone in [a,b] sono integrabili in [a,b]. Le funzioni continue in [a,b] sono integrabili in [a,b]. f e' integrabile in [a,b] sse f e' integrabile in [a,c] e [c,b]. Se f e' integrabile in [a,b] allora l'integrale in [a,b] e' la somma degli integrali in [a,c] e [c,b].
L08 Me 22/3/17 Proprieta' delle funzioni integrabili: linearita', monotonia, il valore assoluto di un integrale e' minore o uguale dell'integrale del valore assoluto. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Definizioni di integrale indefinito, integrale definito, funzione integrale e primitiva. Qualche esempio di calcolo di integrale definito con la primitiva.
T02 Me 22/3/17 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L09 Ve 24/3/17 Primitive di alcune funzioni elementari. Tecniche di integrazione: integrazione per sostituzione e integrazione per parti. Vari esempi di calcolo di una primitiva. Teorema della media integrale. Se una funzione e' limitata in [a,b] ed e' integrabile in [c,b] per ogni c in (a,b) allora e' integrabile in [a,b]. Se due funzioni sono integrabili in [a,b] e coincidono a meno di un numero finito di punti allora hanno lo stesso integrale.
L10 Lu 27/3/17 Decomposizione di una funzione razionale. Algoritmo per l'integrazione delle funzioni razionali con esempi svolti.
L11 Me 29/3/17 Integrali che si riconducono a integrali di funzioni razionali. Vari esempi svolti di integrali indefiniti e definiti.
T03 Me 29/3/17 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L12 Ve 31/3/17 Se una funzione e' integrabile in [a,b] e (sigma_n) e' una successione di suddivisioni di [a,b] tali che |sigma_n| tende a zero allora le corrispondenti somme superiori e inferiori tendono all'integrale di f in [a,b]. Altri esempi svolti di integrali indefiniti e definiti. Le funzioni iperboliche e le loro inverse. L'integrale di (sin(x))^n in [0,pi] e il prodotto di Wallis.
L13 Lu 3/4/17 Definizione di integrale improprio su intervalli non limitati e su intervalli limitati per funzioni non limitate. Teoremi del confronto e del confronto asintotico. Integrali impropri delle funzioni 1/(x^a|ln(x)|^b).
L14 Me 5/4/17 Esempi di utilizzo del teoremi del confronto e confronto asintotico (nozione di funzioni asintoticamente equivalenti). Integrabilita' assoluta: definizione, proprieta' ed esempi. La funzione sin(x)/x e' integrabile, ma non assolutamente integrabile, in senso improprio in (0,+infinito).
T04 Me 5/4/17 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L15 Ve 7/4/17 Altri esempi svolti di integrali impropri. Se una f ha una primitiva limitata in [a,+infinito) e g e' decrescente e derivabile in [a,+infinito) con limite 0 all'infinito allora l'integrale improprio del prodotto fg in [a,+infinito) e' convergente. Esempio di una funzione continua e non negativa il cui integrale improprio in [0,+infinito) e' convergente, ma tale che non tende a zero all'infinito.
L16 Lu 10/4/17 Le serie numeriche: definizioni, esempi elementari, prime proprieta'. Condizione necessaria per la convergenza. Le serie telescopiche e la serie geometrica. Un'applicazione della formula della somma della serie geometrica: ogni numero decimale periodico e' un numero razionale. Criteri di convergenza per serie a termini non negativi (prima parte): del confronto, del confronto asintotico, dell'integrale.
L17 Me 12/4/17 Criteri di convergenza per serie a termini non negativi (seconda parte): della radice n-esima e del rapporto. Criteri di convergenza per serie a termini di segno qualunque (prima parte): dell'assoluta convergenza e di Leibniz.
T05 Me 12/4/17 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L18 Ve 14/4/17 Criteri di convergenza per serie a termini di segno qualunque (seconda parte): criterio di Dirichlet. La convergenza assoluta implica la convergenza di ogni riordinamento alla stessa somma. La somma parziale di sen(n) e' limitata. Cenno al teorema di Riemann sul riordino delle serie non assolutamente convergenti.
Lu 17/4/17 Lunedi' di Pasqua
L19 Me 19/4/17 Studio asintotico dei numeri armonici: H_N=ln(N)+ gamma +o(1). Discussione di un esempio esplicito di riordinamento di una serie: 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7+...->ln(2) e 1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+...->3ln(2)/2. Cenni al fatto che la serie dei reciproci dei quadrati converge a pi^2/6 e che la serie dei reciproci dei numeri primi diverge.
T06 Me 19/4/17 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L20 Ve 21/4/17 Definizioni di convergenza puntuale e convergenza uniforme per una successione di funzioni con esempi. La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale ma non viceversa. Il limite uniforme di una successione di funzioni continue e' una funzione continua.
Lu 24/4/17 Chiusura programmata d'Ateneo
L21 Me 26/4/17 Esempi di studio della convergenza puntuale e uniforme. Passaggio al limite sotto segno di integrale: se (f_n)_n e' una successione di funzioni integrabili e uniformemente limitate in [a,b] che convergono puntualmente a f in [a,b] e uniformemente in [c,d] per ogni a<c<d<b allora f e' integrabile e il limite dell'integrale di f_n in [a,b] e' uguale all'integrale di f in [a,b].
L22 Ve 28/4/17 Esempio di passaggio al limite sotto segno di integrale quando l'intervallo di integrazione e' non limitato. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. Risoluzione di y'(x)=x-y(x) con il metodo grafico (isocline) e analitico.
Lu 1/5/17 Festa dei lavoratori
L23 Me 3/5/17 Equazioni differenziali lineari del primo ordine : fattore integrante, soluzione generale, esistenza e unicita' del problema di Cauchy, esempi. Esempio di equazione differenziale non-lineare riducibile a lineare: l' equazione differenziale di Bernoulli.
T07 Me 3/5/17 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L24 Ve 5/5/17 Struttura delle soluzioni di una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Wronskiano e indipendenza lineare di un insieme di funzioni. Le soluzioni di una equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti di ordine 2 formano uno spazio vettoriale di dimensione 2.
L25 Lu 8/5/17 Determinazione di una soluzione particolare di una equazione differenziale lineare non omogenea a coefficienti costanti di ordine 2 con il metodo delle variazioni delle costanti e con il metodo della somiglianza.
L26 Me 10/5/17 Equazione differenziale lineari di ordine n a coefficienti costanti: la soluzione generale e' la somma della soluzione omogenea (combinazione lineare di n funzioni linearmente indipendenti) e della soluzione particolare (formula esplicita ottenuta con il metodo della variazione delle costanti). Il relativo problema di Cauchy ha una e una sola soluzione. L' oscillatore armonico forzato e il fenomeno della risonanza. Cenno alle ricorsioni lineari omogenee con un esempio del secondo ordine, i numeri di Fibonacci. Un sistema di n equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti si riduce allo studio di un'equazione differenziale lineare di ordine n a coefficienti costanti.
T08 Me 10/5/17 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L27 Ve 12/5/17 Cenno all' esponenziale di una matrice. Le soluzioni del sistema lineare omogeneo X'(t)=AX(t) si scrivono come X(t)=exp(At)X(0). Calcolo di exp(At) nel caso in cui A sia diagonalizzabile. Esempio di un problema di Cauchy NON-lineare con infinite soluzioni. Un esempio di equazione differenziale NON-lineare a variabili separabili con discussione grafica della soluzione: l' equazione differenziale logistica (dinamica delle popolazioni).
L28 Lu 15/5/17 Enunciati del teorema di esistenza e del teorema di esistenza e unicita' per un problema di Cauchy del primo ordine. Risoluzione delle equazioni differenziali a variabili separabili. Esempi svolti con discussione grafica delle soluzioni al variare del punto iniziale.
L29 Me 17/5/17 Esempi svolti di equazioni differenziali tratti dalla fisica: caduta libera-frenata, tempo di svuotamento di un serbatoio, legge di raffreddamento-riscaldamento. Un esempio interessante di problema di Cauchy.
T09 Me 17/5/17 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L30 Ve 19/5/17 Definizioni di distanza e spazio metrico con esempi. Definizioni di norma e spazio vettoriale normato con esempi. Ogni spazio metrico e' uno spazio topologico: definizione di insieme aperto, di insieme chiuso, di frontiera di un insieme e di successione convergente. Ogni spazio normato e' metrico. La norma p in R^N e forma delle palle unitarie. Spazi vettoriali con prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e identita' del parallelogramma.
L31 Lu 22/5/17 Definizione di insieme compatto (per successioni). In C([0,1]) con la norma della convergenza uniforme, la palla unitaria chiusa non e' compatta. Teorema di Weierstrass (nel caso di uno spazio metrico): ogni funzione reale e continua su un compatto ammette massimo e minimo. Teorema di Heine-Borel: in R^N, rispetto alla norma 2 (euclidea), un insieme e' compatto se e solo se e' un insieme chiuso e limitato.
L32 Me 24/5/17 In uno spazio metrico, ogni compatto e' chiuso e limitato. In R^N tutte le norme sono equivalenti (e inducono la stessa topologia). Cenno al teorema fondamentale dell'algebra.
T10 Me 24/5/17 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L33 Ve 26/5/17 Definizioni di successione di Cauchy e di spazio metrico completo. Ogni successione convergente e' di Cauchy. R^N con qualunque norma e C([a,b]) con la norma uniforme sono spazi completi.
L34 Lu 29/5/17 Definizione di spazio di Banach e spazio di Hilbert. C([a,b]) con la norma L^2 non e' completo. Il teorema delle contrazioni o di punto fisso di Banach. Un metodo per approssimare la radice quadrata (positiva di un numero reale positivo). Cenno al teorema di esistenza e unicita' per un problema di Cauchy del primo ordine.
L35 Me 31/5/17 Pi greco e' irrazionale : lettura della dimostrazione di Ivan Niven (BAMS 1947).
L36 Me 31/5/17 (pom) Qualche esercizio di riepilogo tratto dalle prove d'esame dell'anno precedente.
Ve 2/6/17 Festa della Repubblica
L37 Lu 5/6/17 Qualche esercizio di riepilogo tratto dalle prove d'esame dell'anno precedente.
L38 Me 7/6/17 Studio asintotico del fattoriale: la formula di Stirling.
Me 7/6/17 Incontro con il tutore
L39 Ve 9/6/17 Cenno alla funzione Gamma di Eulero. Qualche esercizio di riepilogo tratto dalle prove d'esame dell'anno precedente.