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L01 |
Ma 22/9/20 |
Introduzione al corso. L'insieme dei numeri reali R. Retta orientata e descrizione dei sottoinsiemi
N,
Z,
Q.
Rappresentazione decimale dei numeri reali.
I numeri decimali periodici
sono razionali.
sqrt(2) è irrazionale.
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L02 |
Me 23/9/20 |
R è un
campo
totalmente ordinato e
completo. Un esercizio sulle disequazioni.
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L03 |
Gi 24/9/20 |
Introduzione alle funzioni. Funzioni
iniettive,
suriettive e
biunivoche.
Funzione inversa.
Funzioni
crescenti e decrescenti (monotone).
Funzioni
pari e dispari.
Funzioni reali elementari (prima parte):
funzione retta,
valore assoluto,
funzioni potenza con esponente intero n,
radici n-sime.
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L04 |
Ve 25/9/20 |
Funzioni reali elementari (seconda parte):
seno, coseno e tangente,
arcoseno, arcocoseno e arcotangente.
Grafici di f(x+a), f(x)+a, f(-x), -f(x), f(|x|), f(-|x|), |f(x)|.
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FOGLIO DI ESERCIZI n. 1
Testi:
Soluzioni:
Video:
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L05 |
Ma 29/9/20 |
Disuguaglianza triangolare
Risoluzione di qualche disequazione con interpretazione grafica.
Principio di induzione con esempi.
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L06 |
Me 30/9/20 |
Disuguaglianza di Bernoulli.
Coefficienti binomiali e loro proprietà.
Sviluppo della potenza n-esima di un binomio.
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L07 |
Gi 1/10/20 |
Maggiorante, minorante, massimo, minimo di un insieme.
Assioma di completezza.
Estremo superiore e
estremo inferiore di un insieme di numeri reali.
N non è limitato superiormente.
Alcuni esempi di determinazione del sup e dell'inf di un insieme di numeri reali.
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L08 |
Ve 2/10/20 |
Caratterizzazione dell'estremo superiore e dell'estremo inferiore.
Alcuni esempi di determinazione del sup e dell'inf di un insieme di numeri reali.
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FOGLIO DI ESERCIZI n. 2
Testi:
Soluzioni:
Video:
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L09 |
Ma 6/10/20 |
Altro esempio di determinazione del sup e dell'inf di un insieme di numeri reali.
Q è denso in R: per ogni a,b in R esiste q in Q tale che a< q < b.
Limite di una
successioni di numeri reali: definizione e primi esempi.
Proprietà dei limiti (prima parte):
unicità del limite, limite di sottosuccessione, ogni successione con limite finito è limitata, permanenza del segno,
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L10 |
Me 7/10/20 |
Proprietà dei limiti (seconda parte):
confronto e
doppio confronto, limiti della somma, del prodotto e del quoziente.
Il prodotto di una successione limitata e di una successione infinitesima tende a zero.
Convergenza delle successioni monotone.
Forme indeterminate (prima parte). Qualche esempio di calcolo di limite.
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L11 |
Gi 8/10/20 |
Qualche esempio di calcolo di limite.
Forme indeterminate (seconda parte).
Criterio del rapporto per successioni.
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L12 |
Ve 9/10/20 |
Ordine di infinito e confronto tra infiniti con esempi.
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FOGLIO DI ESERCIZI n. 3
Testi:
Soluzioni:
Video:
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L13 |
Ma 13/10/20 |
Definizione del
numero di Nepero e come limite della successione (1+1/n)n (e sue forme equivalenti).
La funzione
parte intera di x.
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L14 |
Me 14/10/20 |
Intorni di un punto nella
retta reale estesa
.
Punti di accumulazione di un insieme di numeri reali.
Limite per funzioni reali: definizione, prime proprietà e qualche esempio.
Relazione tra i limiti di funzioni e limiti di successioni
(teorema ponte).
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L15 |
Gi 15/10/20 |
Proprietà dei limiti di funzioni.
Limite destro e sinistro.
Funzioni continue: definizione, esempi e prime proprietà.
Limiti notevoli per x → 0 (prima parte): (1+x)1/x, (ax-1)/x,
loga(1+x)/x, ((1+x)a-1)/x.
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L16 |
Ve 16/10/20 |
Limiti notevoli per x → 0 (seconda parte)
sen(x)/x, (1-cos(x))/x2, tan(x)/x.
Ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi con esempi.
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FOGLIO DI ESERCIZI n. 4
Testi:
Soluzioni:
Video:
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L17 |
Ma 20/10/20 |
Teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi: l'immagine di una funzione continua in un intervallo è un intervallo. Esempi di utilizzo del teorema degli zeri. Introduzione al calcolo differenziale: definizioni di rapporto incrementale,
derivata,
retta tangente.
Ogni funzione derivabile è continua.
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L18 |
Me 21/10/20 |
Calcolo delle
derivate delle funzioni elementari.
Calcolo della
derivata di una combinazione lineare di funzioni.
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L19 |
Gi 22/10/20 |
Calcolo della
derivata del prodotto di funzioni e della
derivata del quoziente di due funzioni.
Calcolo della derivata di una funzione composta.
Esempi di calcolo di derivate.
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L20 |
Ve 23/10/20 |
Definizioni di
punto di massimo/minimo assoluto e relativo di una funzione.
Teorema di Bolzano-Weierstrass: ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente.
Teorema di Weierstrass
: una funzione continua in un un intervallo chiuso e limitato ammette un punto di massimo e un punto di minimo.
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FOGLIO DI ESERCIZI n. 5
Testi:
Soluzioni:
Video:
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L21 |
Ma 27/10/20 |
Teorema di
Fermat sui punti stazionari.
Teorema di Lagrange (o teorema del valor medio).
Criterio di monotonia per funzioni derivabili in un intervallo: applicazioni ed esempi.
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L22 |
Me 28/10/20 |
Asintoti: definizione e primi esempi.
Punti di discontinuità:
di salto
e eliminabile.
Punti di non derivabilità:
punto angoloso,
cuspide
e flesso con tangente verticale.
Un primo esempio di studio del grafico di funzione.
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L23 |
Gi 29/10/20 |
Teorema di Cauchy e
teorema di de L'Hopital-Bernoulli.
Esempi di applicazione del teorema de L'Hopital al calcolo dei limiti.
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L24 |
Ve 30/10/20 |
Definizione di
polinomio di Taylor di una funzione di ordine n centrato in x0.
Esempi di calcolo del polinomio di Taylor con la definizione. Polinomi di Taylor in 0 di exp(x), ln(1+x), sin(x), cos(x), (1+x)a. Definizione di
o-piccolo
.
Formula di Taylor con il resto di Peano.
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FOGLIO DI ESERCIZI n. 6
Testi:
Soluzioni:
Video:
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L25 |
Ma 3/11/20 |
Lista dei principali sviluppi di Taylor.
Algebra degli o-piccoli
.
Alcuni esempi di calcolo di limite con i polinomi di Taylor e la notazione o-piccolo.
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L26 |
Me 4/11/20 |
Altri esempi di calcolo di limite con i polinomi di Taylor e la notazione o-piccolo.
Il calcolo di polinomio di Taylor senza l'uso diretto della definizione.
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L27 |
Gi 5/11/20 |
Definizione di
funzione convessa (e concava) in un intervallo
con esempi. La convessità come crescenza del rapporto incrementale
x → Rf(x0,x). Criteri di convessità: f' è crescente, f'' è non negativa.
Definizione di
punto di flesso.
Il grafico di una funzione convessa (concava) e derivabile sta sopra (sotto) le sue rette tangenti.
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L28 |
Ve 6/11/20 |
Un esempio di studio di funzione con discussione della convessità/concavità.
Le
funzioni iperboliche e le loro inverse.
Altri esempi sull'uso dell'o-piccolo nel calcolo di limiti e dei polinomi di Taylor.
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FOGLIO DI ESERCIZI n. 7
Testi:
Soluzioni:
Video:
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L29 |
Ma 10/11/20 |
Metodo di esaustione-compressione per il calcolo dell'area del cerchio.
Definizione di funzione integrabile e di integrale definito
secondo Riemann-Darboux con somme superiori e inferiori. La funzione di Dirichlet non e' integrabile in [a,b].
Proprietà delle funzioni integrabili: additività rispetto all'intervallo di integrazione, linearità e monotonia. Il valore assoluto di un integrale è minore o uguale dell'integrale del valore assoluto.
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L30 |
Me 11/11/20 |
Definizione di funzione
uniformemente continua su un insieme. Teorema di
Heine-Cantor. Le funzioni continue sono integrabili.
Definizioni di funzione primitiva.
Primitive di alcune funzioni elementari.
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L31 |
Gi 12/11/20 |
Teorema della media integrale.
Definizioni di integrale indefinito, funzione integrale.
Teorema fondamentale del calcolo integrale.
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L32 |
Ve 13/11/20 |
Tecniche di integrazione:
integrazione per sostituzione e
integrazione per parti. Alcuni primi esempi di integrali indefiniti.
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FOGLIO DI ESERCIZI n. 8
Testi:
Soluzioni:
Video:
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L33 |
Ma 17/11/20 |
Algoritmo di integrazione delle funzioni razionali con
riduzione a combinazione lineare di integrali di fratti semplici.
Qualche esempio di applicazione dell'algoritmo (prima parte).
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L34 |
Me 18/11/20 |
Qualche esempio di applicazione dell'algoritmo (seconda parte).
Integrali riconducibili ad integrali di funzioni razionali mediante sostituzioni: esponenziale, radici,
trigonometrico.
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L35 |
Gi 19/11/20 |
Esercizi vari sul calcolo integrale.
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L36 |
Ve 20/11/20 |
Definizione di
integrale improprio su intervalli non limitati e su intervalli limitati per funzioni non limitate.
Primi esempi e discussione della convergenza dell'integrale di
1/xα in (0,1] e in [1,+∞).
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FOGLIO DI ESERCIZI n. 9
Testi:
Soluzioni:
Video:
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L37 |
Ma 24/11/20 |
Teorema del confronto
per gli integrali impropri di funzioni non negative.
Discussione della convergenza dell'integrale di
1/(xα|log(x)|β) in (0,1/2] e in [2,+∞).
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L38 |
Me 25/11/20 |
Definizione di equivalenza asintotica
e teorema del confronto asintotico per gli integrali impropri di funzioni non negative.
Alcuni esempi di discussione della convergenza di un integrale improprio.
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L39 |
Gi 26/11/20 |
Esercizi vari sugli integrali impropri.
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L40 |
Ve 27/11/20 |
Altri esempi di discussione e calcolo di integrali impropri.
Gli integrali impropri di funzioni di segno variabile:
l'integrabilità assoluta implica l'integrabilità. Discussione della convergenza dell'integrale di
sin(x)/xα in [1,+∞).
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FOGLIO DI ESERCIZI n. 10
Testi:
Soluzioni:
Video:
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L41 |
Ma 1/12/20 |
Equazioni differenziali lineari del primo ordine:
fattore integrante, soluzione generale e
problema di Cauchy. Alcuni esempi svolti.
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L42 |
Me 2/12/20 |
Equazioni differenziali a
variabili separabili y'(x)=a(x)b(y(x)) (NON-lineari). Alcuni esempi svolti.
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L43 |
Gi 3/12/20 |
Esercizi vari sulle equazioni differenziali.
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L44 |
Ve 4/12/20 |
Numeri complessi (prima parte): forma cartesiana, definizioni di
somma, prodotto, coniugio, modulo. Divisione di due numeri complessi.
Risoluzione di un'equazione polinomiale di secondo grado a coefficienti reali nel campo complesso.
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FOGLIO DI ESERCIZI n. 11
Testi:
Soluzioni:
Video:
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Ma 8/12/20 - Immacolata Concezione
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L45 |
Me 9/12/20 |
Equazione differenziale lineari a coefficienti costanti di ordine 2: la soluzione generale è la somma della soluzione omogenea, combinazione lineare di 2 funzioni (linearmente indipendenti)
e della soluzione particolare. Determinazione della
soluzione omogeneo con l'equazione caratteristica e della
soluzione particolare con il metodo della somiglianza.
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L46 |
Gi 10/12/20 |
Esercizi vari sulle equazione differenziale lineari a coefficienti costanti di ordine 2.
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L47 |
Ve 11/12/20 |
Esempi di applicazioni delle equazione differenziali alla fisica: il
moto di un grave,
il pendolo e le piccole oscillazioni,
l'
oscillatore armonico libero, smorzato e forzato e il fenomeno della
risonanza
(geogebra app).
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FOGLIO DI ESERCIZI n. 12
Testi:
Soluzioni:
Video:
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L48 |
Ma 15/12/20 |
Notazione esponenziale di un numero complesso e formula di Eulero.
Potenze di un numero complesso.
Radici n-esime di un numero complesso.
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L49 |
Me 16/12/20 |
Esempi di calcolo di radici n-sime.
Risoluzione di un'equazione polinomiale di secondo grado a coefficienti complessi nel campo complesso.
Disuguaglianza triangolare in C. Altri esempi di equazioni in C.
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L50 |
Gi 17/12/20 |
Altri esempi di equazioni in C.
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L51 |
Ve 18/12/20 |
L'esponenziale complesso e il suo utilizzo nel calcolo integrale reale.
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FOGLIO DI ESERCIZI n. 13
Testi:
Soluzioni:
Video:
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L52 |
Ma 22/12/20 |
Esercizi di riepilogo
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NATALE
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L53 |
Gi 7/1/21 |
Esercizi di riepilogo
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L54 |
Ve 8/1/21 |
Esercizi di riepilogo
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FOGLIO DI ESERCIZI n. 14
Testi:
Soluzioni:
Svolti nelle lezioni 55-58
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L55 |
Ma 12/1/21 |
Esercizi di riepilogo
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L56 |
Me 13/1/21 |
Esercizi di riepilogo
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L57 |
Gi 14/1/21 |
Esercizi di riepilogo
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L58 |
Ve 15/1/21 |
Esercizi di riepilogo
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The End
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