ESAME DEL 16/2/2021

Nella sezione ESAMI sono pubblicati i testi e le soluzioni delle prove e l'elenco degli ammessi alla prova orale con il relativo calendario. La prova orale consiste in una discussione sugli argomenti del programma d'esame (si veda elenco degli argomenti per la prova orale).

Ricordo che per le prove online, sia scritte che orali, devono essere rispettate le regole di inquadratura stabilite dall'Ateneo altrimenti non è possibile sostenere l'esame.

Analisi Matematica 1
per i Corsi di Laurea Triennale in Ingegneria
Canale Lj-O - a.a. 2020-21

ORARIO (21 Settembre 2020 - 16 Gennaio 2021)

Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì
9:30-11:15 14:00-15:45 11:30-13:15
11:30-13:15
Aula B2 Aula B2 Aula B2 Aula B2



DOCENTE
Roberto Tauraso - e-mail:

LINK UTILI
- Canale Teams del corso TAURASO-8037829-ANALISI_MATEMATICA_I-(Canale 4)
- Canale su MS Stream con le lezioni registrate.
- Canale su YouTube
con una playlist degli svolgimenti di alcuni esercizi proposti nei fogli settimanali.
- Pagina web con le informazioni su tutti i 6 canali del corso.

ORARIO DI RICEVIMENTO
Dal 21 Settembre 2020 al 16 Gennaio 2021: sul canale TEAMS prima e dopo le lezioni oppure per appuntamento da concordare via email.

TUTORATO
Docente: Mattia Coloma - e-mail: coloma AT axp.mat.uniroma2.it - pagina web: LINK
Dal 1 Ottobre 2020 al 16 Gennaio 2021, ogni giovedì sul canale Tutorato dalle 16:00 alle 17:30.
I testi e le soluzioni degli esercizi proposti saranno via via disponibili nel diario delle lezioni.

OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO
Il corso si propone di illustrare alcuni concetti base del calcolo differenziale. L'obiettivo è quello di rendere lo studente capace di elaborare tali concetti in maniera critica e di acquisire le conoscenze necessarie per risolvere con rigore i problemi proposti.

PROGRAMMA DEL CORSO
I dettagli degli argomenti svolti si possono consultare nel diario delle lezioni.

INSIEMI NUMERICI
- Cenni di teoria degli insiemi. Numeri reali e loro proprietà.
- Estremo superiore e inferiore e loro proprietà.
- Radici, potenze e logaritmi.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
- Nozioni di base: dominio, immagine, grafico.
- Funzioni monotone e funzioni invertibili.
- Richiami sulle funzioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche.
SUCCESSIONI
- Limiti di successioni: definizione e proprietà.
- Il principio di induzione.
- Successioni monotone.
- Successioni infinitesime, infinite e confronti.
- Forme indeterminate, limiti notevoli, il numero e.
- Sottosuccessioni. Il teorema di Bolzano-Weierstrass.
LIMITI E CONTINUITA' PER FUNZIONI REALI
- Intorni e punti di accumulazione sulla retta reale.
- Limite di una funzione: definizione e proprietà.
- Infinitesimi, infiniti e confronti.
- Forme indeterminate, limiti notevoli.
- Funzioni continue. Punti di discontinuità.
- Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass.
- Teorema degli zeri.
- Uniforme continuità.
CALCOLO DIFFERENZIALE
- Derivabilità e retta tangente.
- Derivata delle funzioni elementari, regole di derivazione.
- Estremi locali e derivate.
- Teorema di Rolle, del valor medio e di Cauchy.
- Monotonia e derivate.
- Teorema di de L'Hopital e applicazioni.
- Derivate successive; concavità e convessità.
- Studio del grafico di funzioni.
- Il polinomio di Taylor, applicazioni al calcolo dei limiti.
CALCOLO INTEGRALE
- Definizione di integrale di Riemann e sue proprietà.
- Classi di funzioni integrabili.
- Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
- Metodi di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione.
- Integrazione delle funzioni razionali.
- Integrabilità in senso improprio.
- Criteri di convergenza: criterio del confronto e sue conseguenze.
- Assoluta integrabilità in senso improprio.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
- Equazioni differenziali lineari del primo ordine a variabili separabili e problema di Cauchy.
- Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee.
- Applicazione all'equazione dell'oscillatore armonico.
NUMERI COMPLESSI
- Definizione.
- Rappresentazione cartesiana e esponenziale.
- Radici n-sime complesse.

TESTI CONSIGLIATI
- M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli
- A. Languasco, Analisi Matematica 1, Hoepli
- M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill
- B. P. Demidovich, Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Ed. Riuniti (edizione in inglese)
- S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Matematica Vol 1, Zanichelli

ESAMI
Possono sostenere l'esame in questo canale ESCLUSIVAMENTE gli studenti con il cognome compreso nell'intervallo [Lj-O]. Questo vale anche per gli studenti ripetenti che l'anno precedente hanno seguito il corso di un altro docente.
In quest'anno accademico sono previsti 6 appelli d'esame:
2 appelli nella sessione invernale: 27/1/2021, 16/2/2021
2 appelli nella sessione estiva: ././2021, ././2021
2 appelli nella sessione autunnale: ././2021, ././2021
L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. Durante gli esami non si possono usare libri, appunti e calcolatrici e i telefoni cellulari devono essere rigorosamente spenti. Per essere ammessi alla prova orale è necessario che la prova scritta sia sufficiente. La prova orale consiste in una discussione sugli argomenti del programma d'esame (si veda elenco degli argomenti per la prova orale). La prova orale va svolta nella stessa sessione della prova scritta. Se anche la prova orale è sufficiente e lo studente accetta il voto finale, si verbalizza e l'esame è concluso, altrimenti va rifatta la prova scritta in uno degli appelli successivi.

Queste sono le prove dell'anno accademico 2020-21:
Data Testi Svolgimenti Voti
27/1/2021
16/2/2021


Queste sono le prove dell'anno accademico 2019-20:

Prova scritta del 29/1/2020

Testo: Svolgimento:

Prova scritta del 17/2/2020

Testo: Svolgimento:

Prova scritta del 19/6/2020 (online)

Testo: Svolgimento:

Prova scritta del 13/7/2020 (online)

Testo: Svolgimento:

Prova scritta del 1/9/2020 (online)

Testo: Svolgimento:

Prova scritta del 14/9/2020 (online)

Testo: Svolgimento:

Queste sono le prove dell'anno accademico 2018-19:

Prova scritta del 30/1/2019

Testo: Svolgimento:

Prova scritta del 20/2/2019

Testo: Svolgimento:

Prova scritta del 19/6/2019

Testo: Svolgimento:

Prova scritta del 10/7/2019

Testo: Svolgimento:

Prova scritta del 5/9/2019

Testo: Svolgimento:

Prova scritta del 18/9/2019

Testo: Svolgimento:


DIARIO DELLE LEZIONI

E' disponibile un singolo file PDF con la raccolta (in progress) di tutte le lezioni:

Nr. Giorno Argomento Pdf Video
L01 Ma 22/9/20 Introduzione al corso. L'insieme dei numeri reali R. Retta orientata e descrizione dei sottoinsiemi N, Z, Q. Rappresentazione decimale dei numeri reali. I numeri decimali periodici sono razionali. sqrt(2) è irrazionale.
L02 Me 23/9/20 R è un campo totalmente ordinato e completo. Un esercizio sulle disequazioni.
L03 Gi 24/9/20 Introduzione alle funzioni. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Funzione inversa. Funzioni crescenti e decrescenti (monotone). Funzioni pari e dispari. Funzioni reali elementari (prima parte): funzione retta, valore assoluto, funzioni potenza con esponente intero n, radici n-sime.
L04 Ve 25/9/20 Funzioni reali elementari (seconda parte): seno, coseno e tangente, arcoseno, arcocoseno e arcotangente. Grafici di f(x+a), f(x)+a, f(-x), -f(x), f(|x|), f(-|x|), |f(x)|.
   FOGLIO DI ESERCIZI n. 1    Testi:    Soluzioni:    Video:
L05 Ma 29/9/20 Disuguaglianza triangolare Risoluzione di qualche disequazione con interpretazione grafica. Principio di induzione con esempi.
L06 Me 30/9/20 Disuguaglianza di Bernoulli. Coefficienti binomiali e loro proprietà. Sviluppo della potenza n-esima di un binomio.
L07 Gi 1/10/20 Maggiorante, minorante, massimo, minimo di un insieme. Assioma di completezza. Estremo superiore e estremo inferiore di un insieme di numeri reali. N non è limitato superiormente. Alcuni esempi di determinazione del sup e dell'inf di un insieme di numeri reali.
L08 Ve 2/10/20 Caratterizzazione dell'estremo superiore e dell'estremo inferiore. Alcuni esempi di determinazione del sup e dell'inf di un insieme di numeri reali.
   FOGLIO DI ESERCIZI n. 2    Testi:    Soluzioni:    Video:
L09 Ma 6/10/20 Altro esempio di determinazione del sup e dell'inf di un insieme di numeri reali. Q è denso in R: per ogni a,b in R esiste q in Q tale che a< q < b. Limite di una successioni di numeri reali: definizione e primi esempi. Proprietà dei limiti (prima parte): unicità del limite, limite di sottosuccessione, ogni successione con limite finito è limitata, permanenza del segno,
L10 Me 7/10/20 Proprietà dei limiti (seconda parte): confronto e doppio confronto, limiti della somma, del prodotto e del quoziente. Il prodotto di una successione limitata e di una successione infinitesima tende a zero. Convergenza delle successioni monotone. Forme indeterminate (prima parte). Qualche esempio di calcolo di limite.
L11 Gi 8/10/20 Qualche esempio di calcolo di limite. Forme indeterminate (seconda parte). Criterio del rapporto per successioni.
L12 Ve 9/10/20 Ordine di infinito e confronto tra infiniti con esempi.
   FOGLIO DI ESERCIZI n. 3    Testi:    Soluzioni:    Video:
L13 Ma 13/10/20 Definizione del numero di Nepero e come limite della successione (1+1/n)n (e sue forme equivalenti). La funzione parte intera di x.
L14 Me 14/10/20 Intorni di un punto nella retta reale estesa . Punti di accumulazione di un insieme di numeri reali. Limite per funzioni reali: definizione, prime proprietà e qualche esempio. Relazione tra i limiti di funzioni e limiti di successioni (teorema ponte).
L15 Gi 15/10/20 Proprietà dei limiti di funzioni. Limite destro e sinistro. Funzioni continue: definizione, esempi e prime proprietà. Limiti notevoli per x → 0 (prima parte): (1+x)1/x, (ax-1)/x, loga(1+x)/x, ((1+x)a-1)/x.
L16 Ve 16/10/20 Limiti notevoli per x → 0 (seconda parte) sen(x)/x, (1-cos(x))/x2, tan(x)/x. Ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi con esempi.
   FOGLIO DI ESERCIZI n. 4    Testi:    Soluzioni:    Video:
L17 Ma 20/10/20 Teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi: l'immagine di una funzione continua in un intervallo è un intervallo. Esempi di utilizzo del teorema degli zeri. Introduzione al calcolo differenziale: definizioni di rapporto incrementale, derivata, retta tangente. Ogni funzione derivabile è continua.
L18 Me 21/10/20 Calcolo delle derivate delle funzioni elementari. Calcolo della derivata di una combinazione lineare di funzioni.
L19 Gi 22/10/20 Calcolo della derivata del prodotto di funzioni e della derivata del quoziente di due funzioni. Calcolo della derivata di una funzione composta. Esempi di calcolo di derivate.
L20 Ve 23/10/20 Definizioni di punto di massimo/minimo assoluto e relativo di una funzione. Teorema di Bolzano-Weierstrass: ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente. Teorema di Weierstrass : una funzione continua in un un intervallo chiuso e limitato ammette un punto di massimo e un punto di minimo.
   FOGLIO DI ESERCIZI n. 5    Testi:    Soluzioni:    Video:
L21 Ma 27/10/20 Teorema di Fermat sui punti stazionari. Teorema di Lagrange (o teorema del valor medio). Criterio di monotonia per funzioni derivabili in un intervallo: applicazioni ed esempi.
L22 Me 28/10/20 Asintoti: definizione e primi esempi. Punti di discontinuità: di salto e eliminabile. Punti di non derivabilità: punto angoloso, cuspide e flesso con tangente verticale. Un primo esempio di studio del grafico di funzione.
L23 Gi 29/10/20 Teorema di Cauchy e teorema di de L'Hopital-Bernoulli. Esempi di applicazione del teorema de L'Hopital al calcolo dei limiti.
L24 Ve 30/10/20 Definizione di polinomio di Taylor di una funzione di ordine n centrato in x0. Esempi di calcolo del polinomio di Taylor con la definizione. Polinomi di Taylor in 0 di exp(x), ln(1+x), sin(x), cos(x), (1+x)a. Definizione di o-piccolo . Formula di Taylor con il resto di Peano.
   FOGLIO DI ESERCIZI n. 6    Testi:    Soluzioni:    Video:
L25 Ma 3/11/20 Lista dei principali sviluppi di Taylor. Algebra degli o-piccoli . Alcuni esempi di calcolo di limite con i polinomi di Taylor e la notazione o-piccolo.
L26 Me 4/11/20 Altri esempi di calcolo di limite con i polinomi di Taylor e la notazione o-piccolo. Il calcolo di polinomio di Taylor senza l'uso diretto della definizione.
L27 Gi 5/11/20 Definizione di funzione convessa (e concava) in un intervallo con esempi. La convessità come crescenza del rapporto incrementale x → Rf(x0,x). Criteri di convessità: f' è crescente, f'' è non negativa. Definizione di punto di flesso. Il grafico di una funzione convessa (concava) e derivabile sta sopra (sotto) le sue rette tangenti.
L28 Ve 6/11/20 Un esempio di studio di funzione con discussione della convessità/concavità. Le funzioni iperboliche e le loro inverse. Altri esempi sull'uso dell'o-piccolo nel calcolo di limiti e dei polinomi di Taylor.
   FOGLIO DI ESERCIZI n. 7    Testi:    Soluzioni:    Video:
L29 Ma 10/11/20 Metodo di esaustione-compressione per il calcolo dell'area del cerchio. Definizione di funzione integrabile e di integrale definito secondo Riemann-Darboux con somme superiori e inferiori. La funzione di Dirichlet non e' integrabile in [a,b]. Proprietà delle funzioni integrabili: additività rispetto all'intervallo di integrazione, linearità e monotonia. Il valore assoluto di un integrale è minore o uguale dell'integrale del valore assoluto.
L30 Me 11/11/20 Definizione di funzione uniformemente continua su un insieme. Teorema di Heine-Cantor. Le funzioni continue sono integrabili. Definizioni di funzione primitiva. Primitive di alcune funzioni elementari.
L31 Gi 12/11/20 Teorema della media integrale. Definizioni di integrale indefinito, funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale.
L32 Ve 13/11/20 Tecniche di integrazione: integrazione per sostituzione e integrazione per parti. Alcuni primi esempi di integrali indefiniti.
   FOGLIO DI ESERCIZI n. 8    Testi:    Soluzioni:    Video:
L33 Ma 17/11/20 Algoritmo di integrazione delle funzioni razionali con riduzione a combinazione lineare di integrali di fratti semplici. Qualche esempio di applicazione dell'algoritmo (prima parte).
L34 Me 18/11/20 Qualche esempio di applicazione dell'algoritmo (seconda parte). Integrali riconducibili ad integrali di funzioni razionali mediante sostituzioni: esponenziale, radici, trigonometrico.
L35 Gi 19/11/20 Esercizi vari sul calcolo integrale.
L36 Ve 20/11/20 Definizione di integrale improprio su intervalli non limitati e su intervalli limitati per funzioni non limitate. Primi esempi e discussione della convergenza dell'integrale di 1/xα in (0,1] e in [1,+∞).
   FOGLIO DI ESERCIZI n. 9    Testi:    Soluzioni:    Video:
L37 Ma 24/11/20 Teorema del confronto per gli integrali impropri di funzioni non negative. Discussione della convergenza dell'integrale di 1/(xα|log(x)|β) in (0,1/2] e in [2,+∞).
L38 Me 25/11/20 Definizione di equivalenza asintotica e teorema del confronto asintotico per gli integrali impropri di funzioni non negative. Alcuni esempi di discussione della convergenza di un integrale improprio.
L39 Gi 26/11/20 Esercizi vari sugli integrali impropri.
L40 Ve 27/11/20 Altri esempi di discussione e calcolo di integrali impropri. Gli integrali impropri di funzioni di segno variabile: l'integrabilità assoluta implica l'integrabilità. Discussione della convergenza dell'integrale di sin(x)/xα in [1,+∞).
   FOGLIO DI ESERCIZI n. 10    Testi:    Soluzioni:    Video:
L41 Ma 1/12/20 Equazioni differenziali lineari del primo ordine: fattore integrante, soluzione generale e problema di Cauchy. Alcuni esempi svolti.
L42 Me 2/12/20 Equazioni differenziali a variabili separabili y'(x)=a(x)b(y(x)) (NON-lineari). Alcuni esempi svolti.
L43 Gi 3/12/20 Esercizi vari sulle equazioni differenziali.
L44 Ve 4/12/20 Numeri complessi (prima parte): forma cartesiana, definizioni di somma, prodotto, coniugio, modulo. Divisione di due numeri complessi. Risoluzione di un'equazione polinomiale di secondo grado a coefficienti reali nel campo complesso.
   FOGLIO DI ESERCIZI n. 11    Testi:    Soluzioni:    Video:
Ma 8/12/20 - Immacolata Concezione
L45 Me 9/12/20 Equazione differenziale lineari a coefficienti costanti di ordine 2: la soluzione generale è la somma della soluzione omogenea, combinazione lineare di 2 funzioni (linearmente indipendenti) e della soluzione particolare. Determinazione della soluzione omogeneo con l'equazione caratteristica e della soluzione particolare con il metodo della somiglianza.
L46 Gi 10/12/20 Esercizi vari sulle equazione differenziale lineari a coefficienti costanti di ordine 2.
L47 Ve 11/12/20 Esempi di applicazioni delle equazione differenziali alla fisica: il moto di un grave, il pendolo e le piccole oscillazioni, l' oscillatore armonico libero, smorzato e forzato e il fenomeno della risonanza (geogebra app).
   FOGLIO DI ESERCIZI n. 12    Testi:    Soluzioni:    Video:
L48 Ma 15/12/20 Notazione esponenziale di un numero complesso e formula di Eulero. Potenze di un numero complesso. Radici n-esime di un numero complesso.
L49 Me 16/12/20 Esempi di calcolo di radici n-sime. Risoluzione di un'equazione polinomiale di secondo grado a coefficienti complessi nel campo complesso. Disuguaglianza triangolare in C. Altri esempi di equazioni in C.
L50 Gi 17/12/20 Altri esempi di equazioni in C.
L51 Ve 18/12/20 L'esponenziale complesso e il suo utilizzo nel calcolo integrale reale.
   FOGLIO DI ESERCIZI n. 13    Testi:    Soluzioni:    Video:
L52 Ma 22/12/20 Esercizi di riepilogo

NATALE
L53 Gi 7/1/21 Esercizi di riepilogo
L54 Ve 8/1/21 Esercizi di riepilogo
   FOGLIO DI ESERCIZI n. 14    Testi:    Soluzioni:   
Svolti nelle lezioni 55-58
L55 Ma 12/1/21 Esercizi di riepilogo
L56 Me 13/1/21 Esercizi di riepilogo
L57 Gi 14/1/21 Esercizi di riepilogo
L58 Ve 15/1/21 Esercizi di riepilogo
The End