Seminari sul flusso di Ricci

G. Bellettini e C. Sinestrari.


Prossimi seminari

Carlo Sinestrari: Singolarità del flusso di Ricci su 3-varietà
giovedì 19 maggio, ore 11-12.30, aula 1103,
venerdì 20 maggio, ore 11-12.30, aula 1103.

Programma

Le equazioni di evoluzione geometriche (moto per curvatura media, flusso di Ricci, flusso di mappe armoniche, flusso di Yamabe, e molti altri) sono state oggetto di numerosi studi negli ultimi decenni, con motivazioni che vanno dalla geometria (classificazione di varietà, esistenza di mappe armoniche) alla fisica matematica (evoluzione di interfacce, limiti macroscopici).

Recentemente, G. Perelman ha pubblicato tre lavori in cui si utilizza il flusso di Ricci per dimostrare la cosiddetta "geometrization conjecture" di Thurston, uno dei più interessanti problemi aperti in topologia. Tale congettura fornisce una classificazione completa delle varietà compatte tridimensionali, e implica in particolare la ben nota congettura di Poincaré.

I lavori di Perelman portano a compimento un programma iniziato da R.S. Hamilton nel 1982, in cui si utilizza il flusso di Ricci per definire una deformazione canonica della varietà e farla convergere a dei profili limite che si possano classificare. In generale durante l'evoluzione si formano delle singolarità; esse vengono rimosse con opportune chirurgie in cui il cambiamento di topologia viene controllato. Al termine dell'evoluzione si ottiene che la varietà di partenza è omeomorfa alla somma connessa dei profili limite ottenuti.

L'obiettivo dei seminari è di fornire le nozioni di base sul flusso di Ricci, di dare una panoramica dettagliata del programma di Hamilton per l'approccio alla congettura di Thurston e di esporre le idee principali degli articoli di Perelman.

Bibliografia

W. P. Thurston. Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 6 (1982), no. 3, 357--381.
R. S. Hamilton. Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Differential Geom. 17 (1982), no. 2, 255--306.
R.S. Hamilton. The formation of singularities in the Ricci flow. Surveys in differential geometry, Vol. II (Cambridge, MA, 1993), 7--136, Internat. Press, Cambridge, MA, 1995.
R. S. Hamilton. Four-manifolds with positive isotropic curvature. Comm. Anal. Geom. 5 (1997), no. 1, 1--92.
R. S. Hamilton. Non-singular solutions of the Ricci flow on three-manifolds. Comm. Anal. Geom. 7 (1999), no. 4, 695--729.
H-D. Cao, B. Chow. Recent developments on the Ricci flow. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 36 (1999), no. 1, 59--74. (Articolo di rassegna).
B. Chow, D. Knopf. The Ricci flow: an introduction. Mathematical Surveys and Monographs, 110. AMS, 2004. (Monografia)
G. Perelman. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. Preprint (2002)
G. Perelman. Ricci flow with surgery on three-manifolds. Preprint (2003)
G. Perelman. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds Preprint (2003)
M.T. Anderson, Geometrization of 3-manifolds via the Ricci flow. Notices Amer. Math. Soc. 51 (2004), 184--193. (articolo di rassegna sui risultati di Perelman)
E. Singer, The reluctant celebrity, Nature 427 (2004), 388--389.

I lavori di Perelman sono reperibili sull'archivio arXiv.org

Altre referenze sono disponibili sulla pagina web di Bruce Kleiner (Univ. Michigan), cliccare qui