Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”, facoltà di Ingegneria

Analisi I per Ingegneria Online 29–02–2020 A.A. 2019/2020, Scritto–orale 90 min.

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1) (15 punti) Sia data una funzione f: [a, b] → R continua in [a, b] e derivabile k volte in (a, b). Si dimostri il Teorema di Peano: per un qualsiasi punto x_{0} ∈ (a, b) esiste un polinomio P (x) di

grado uguale od inferiore a k tale che f(x) = P (x) + R(x) e lim_{x→x_{0}} \frac{R(x)}{x^{k}} = 0. Inoltre il polinomio

è unico

1.1) Si dia un esempio di funzione f(x): [0, 2] → R tale che esiste il polinomio di Peano di grado 1 in x = 0 ma non di grado 2.

2) (15 punti) 2.1) Dimostrare il teorema: Siano date le funzioni f, g: [a, +∞) → R tale che 0 ≤ f(x) ≤ g(x). Inoltre sia f che g sono integrabili su ogni intervallo [a, b] con b > a. Se esiste

ed è finito lim_{A→+∞} ∫_{a}^{A} g(x)dx ≐ ∫_{a}^{+∞} g(x)dx lo è pure lim_{A→+∞} ∫_{a}^{A} f(x)dx ≐ ∫_{a}^{+∞} f(x)dx.

2.2) È utile il teorema per stabilire l’eistenza o meno dell’integrale ∫_{0}^{+∞} \frac{sin^{2} x}{x^{2}}dx Argomentare

2.3) È utile il teorema per stabilire l’eistenza o meno dell’integrale ∫_{0}^{+∞} \frac{sin x}{x}dx Argomentare

28/febbraio/2020; Esclusivamente per uso personale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione 1