Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”, facoltà di Ingegneria

Analisi I per Ingegneria Online, Sessione invernale, Scritto–orale della terza prova scritta (11–05–2020) A.A. 2019/2020

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Le risposte vanno motivate. Se immotivate, ancorché esatte, non verranno prese in

considerazione. Chi intende ritirarsi scriva ritirata/o sotto il proprio cognome

Si possono consultare libri, appunti, note etc.

1) Sia data una generica serie ∑_{k=1}^{+∞} a_{k} convergente. Dimostrare che converge anche la serie ∑_{k=1}^{+∞} a_{k}^{2}

oppure trovare un esempio esplicito tale che la prima serie converge e la seconda no.

La serie ∑(−1)^{k}/\sqrt{k} è di Leibnitz e quindi converge ma la serie ∑ 1/k diverge. Se i termini avessero definitivamente segno costante sarebbe vero in quanto se ∑ a_{k} converge, allora a_{k} → 0 e quindi 0 ≤ a_{k}^{2} < a_{k} e scatta il Teorema del confronto.

2) Sappiamo che vale il seguente teorema

Ipotesi. Siano date le funzioni f, g: [a, +∞) → R tale che 0 ≤ f(x) ≤ g(x). Inoltre f e g sono

integrabili su ogni intervallo [a, b]. Esiste ed è finito lim_{A→+∞} ∫_{a}^{A} g(x)dx ≐ ∫_{a}^{+∞} g(x)dx

Tesi. Esiste lim_{A→+∞} ∫_{a}^{A} f(x)dx ≐ ∫_{a}^{+∞} f(x)dx

Dimostrare il seguente teorema.

Ipotesi. Siano date le funzioni f, g, h: [a, +∞) → R tale che f(x) ≤ h(x) ≤ g(x). Inoltre

f, g, h sono integrabili su ogni intervallo [a, b]. Esistono e sono finiti i limiti lim_{A→+∞} ∫_{a}^{A} g(x)dx ≐

∫_{a}^{+∞} g(x)dx, lim_{A→+∞} ∫_{a}^{A} f(x)dx ≐ ∫_{a}^{+∞} f(x)dx

Tesi. Esiste lim_{A→+∞} ∫_{a}^{A} h(x)dx ≐ ∫_{a}^{+∞} h(x)dx

Osservazione: rispetto al teorema precedente, stavolta non è detto f sia sempre non negativa

Scriviamo h = f + (h − f). L’integrale ∫_{a}^{+∞} f(x)dx esiste per ipotesi. Inoltre 0 ≤ h − f ≤ g − f

e usiamo il teorema precedente in quanto ∫_{a}^{+∞}(g(x) − f(x))dx = ∫_{a}^{+∞} g(x)dx − ∫_{a}^{+∞} f(x)dx

esiste.

3) Sia data una generica funzione derivabile f: [0, 1] → R tale che f(0) = f(1) = 0. Dimostrare che esiste un punto c ∈ [0, 1] tale che f′(c) = f(c) e un punto d ∈ [0, 1] tale che f′(d) = −f(d).

Applichiamo il Teorema di Rolle alle due funzioni e^{x}f(x) e e^{−x}f(x). Il fatto che f(0) e f(1) siano uguali a zero è inessenziale.

4) Sia f: [a, b] → R continua e siano a ≤ x_{1} < x_{2} < … < x_{n} ≤ b. Dimostrare che esiste ξ ∈ [a, b] tale che f(ξ) = (f(x_{1}) + … + f(x_{n}))/n

La funzione è continua in [a, b] chiuso e limitato e quindi ammette massimo e minimo m ≤ f(x) ≤

M. Inoltre m = \frac{1}{n}(m + m + … + m) ≤ \frac{1}{n}(f(x_{1}) + … + f(x_{n})) ≤ \frac{1}{n}(M + M + … M) = M. Per il

teorema dei valori intermedi di una funzione continua su di un intervallo (non necessariamente chiuso e/o limitato) esiste ξ.