Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”, facoltà di Ingegneria

Analisi II per Ingegneria Gestionale online 09–09–2020 A.A. 2019/2020, Quinto appello

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Le risposte vanno motivate sul foglio protocollo. Se immotivate, ancorché esatte, non verranno prese in considerazione.

1) (7.5 punti) Sia dato nel piano (y, z) in R^{3} l’insieme D = \{(y, z): \sqrt{y} ≤ z ≤ 2 − \sqrt{y}\}.

1.1) Si ruoti D di 360 gradi intorno all’asse z generando il volume V_{z}. Si calcoli il volume di V_{z} (|V_{z}|) e l’area della superficie laterale di V_{z} (|∂V_{z}|)

1.2) Si ruoti D di 360 gradi intorno all’asse y generando il volume V_{y}. Si calcoli il volume di V_{y} (|V_{y}|) e l’area della superficie laterale di V_{y} (|∂V_{y}|)

1.3) Si ruoti D di 360 gradi intorno alla bisettrice del primo e terzo quadrante generando il volume il volume \overline{V} . Si calcoli il volume di \overline{V} (|\overline{V} |) e l’area della superficie laterale di \overline{V} (|∂\overline{V} |)

Gli studenti esibiscano esplicitamente tutti i passaggi per il calcolo degli integrali

2) (7.5 punti) Si consideri la funzione F (x, y, z) = x^{3} + y^{3} − x^{2} − y^{2}/2 + xyz^{2}. Si dimostri che nell’intorno del punto (1, 1/3, 0) la relazione F (x, y, z) + 1/54 = 0 definisce una funzione x = f(y, z) tale che f(1/3, 0) = 1. Si dimostri inoltre che il punto (y, z) = (1/3, 0) è critico per f(y, z) e se ne stabilisca la natura.

3) (7.5 punti) Sia data la serie ∑_{k=1}^{+∞} \frac{ln(1 + kx^{2})}{k^{2}}. 1) Trovare l’insieme I in cui la serie con-

verge puntualmente 2) Dire se in I la serie converge uniformemente 3) Si consideri la serie

∑_{k=1}^{+∞} \frac{d}{dx} \frac{ln(1 + kx^{2})}{k^{2}} e si dica se converge uniformemente in I.

4) (7.5 punti) Sia data la forma differenziale ω = \frac{2xy^{2}dx}{x^{4} + y^{4}} − \frac{2yx^{2}dy}{x^{4} + y^{4}} . Calcolare ∫_{γ} ω lungo la

curva che in coordinate polari (ϑ, ρ) è data da ρ(ϑ) = e^{ϑ}, π/4 ≤ ϑ ≤ 6π.

Soluzioni

3) 1) Il termine generale della serie è positivo e asintoticamente ln(1 + kx^{2}) ≤ \sqrt{kx^{2}}. Essendo

∑_{k=1} \frac{\sqrt{kx^{2}}}{k^{2}} < +∞ la serie converge per ogni valore di x. I = R.

2) Ossrviamo che

sup_{x∈I} ∑_{k=m}^{n} \frac{ln(1 + kx^{2})}{k^{2}} ≥ sup_{x>A} ∑_{k=m}^{n} \frac{2 ln |x| + ln k + ln(1 + \frac{1}{kx^{2}} )}{k^{2}} > sup_{x>A} ∑_{k=m}^{n} \frac{2 ln |x|}{k^{2}} = +∞

per cui non è uniformemente convergente in I.

3) ∑_{k=1}^{+∞} \frac{2kx}{k^{2}(1 + kx^{2})} è la serie da analizzare.

|sup_{x∈I} ∑_{k=m}^{n} \frac{2kx}{k^{2}(1 + kx^{2})}| ≤ sup_{x∈I} ∑_{k=m}^{n} \frac{2k|x|}{k^{2}2\sqrt{k}|x|} = sup_{x∈I} ∑_{k=m}^{n} \frac{1}{k\sqrt{k}} < ε

da cui la convergenza uniforme.

Per le soluzioni degli altri esercizi si vedano le soluzioni qui http://www.mat.uniroma2.it/ perfetti/didattica/analisi-II-elettronica+informatica+internet-19-20.html