Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”, facoltà di Ingegneria

Analisi II per Ingegneria Gestionale online 29–02–2020 A.A. 2019/2020, Seconda sessione invernale

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Le risposte vanno motivate sul foglio protocollo. Se immotivate, ancorché esatte, non verranno prese in considerazione.

1) (7.5 punti) Sia data la funzione F: R^{3} → R, F (x, y, z) = x^{3} + y^{3} − x − y^{2} − z^{2}.

i) Dimostrare che l’equazione F (x, y, z) = 0 definisce implicitamente una funzione x = f(y, z) nell’intorno del punto (x, y, z) = (0, 0, 0).

ii) Dimostrare che il punto (y, z) = (0, 0) è critico per la funzione f(y, z) e poi determinarne la natura

2) (7.5 punti) Calcolare l’integrale curvilineo

∫\underline{γ} \frac{x^{3} + yx^{4} + y^{5}}{x^{4} + y^{4}} dx + \frac{x^{4} + y^{3} + y^{4}}{x^{4} + y^{4}} dy

dove \underline{γ} è data nell’ordine dal quarto di circonferenza x^{2} + y^{2} = 1 da (1, 0) a (0, 1), dal segmento da (0, 1) a (0, 3) e dal quarto di ellisse 9x^{2} + 4y^{2} = 36 da (0, 3) a (2, 0).

3) (7.5 punti) Calcolare l’integrale ∫∫∫_{D} z^{2}dx dy dz dove D è il volume dell’insieme definito da

D = \{\underline{x} ∈ R^{3}: x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 4z, 0 ≤ z ≤ (x^{2} + y^{2})

4) (7.5 punti) Si trovino gli insiemi di convergenza puntuale e uniforme della serie ∑_{k=1}^{+∞} \frac{kx}{k^{4} + x^{4}}

25/febbraio/2020; Esclusivamente per uso personale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione 1