Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”, facoltà di Ingegneria

Analisi II per Ingegneria Gestionale online 15–06–2020 A.A. 2019/2020, Sessione estiva, primo appello

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Le risposte vanno motivate sul foglio protocollo. Se immotivate, ancorché esatte, non verranno prese in considerazione.

Analisi II per Ingegneria Gestionale online 31–07–2020 A.A. 2019/2020, Sessione estiva, secondo appello

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Le risposte vanno motivate sul foglio protocollo. Se immotivate, ancorché esatte, non verranno prese in considerazione.

1) (10 punti) Sia data la funzione F: R^{3} → R, F (x, y, z) = x^{3} + y^{3} − x − y^{2} − z^{2}.

i) Dimostrare che l’equazione F (x, y, z) = 0 definisce implicitamente una funzione x = f(y, z) nell’intorno del punto (x, y, z) = (0, 0, 0).

ii) Dimostrare che il punto (y, z) = (0, 0) è critico per la funzione f(y, z) e poi determinarne la natura

2) (5 punti) Sia data la forma differenziale ω = (f(y) + x^{2}y + xy^{2})dx + (\frac{x^{3}}{3} + x^{2}y + xy^{2} + y^{2})dy.

Trovare f(y) tale che la forma sia esatta e calcolare ∫_{γ} ω dove γ(t) = (arcsin t, arctan t), 0 ≤ t ≤

1.

3) (7.5 punti) Calcolare l’integrale ∫∫∫_{D} z^{2}dx dy dz dove D è il volume dell’insieme definito da

D = \{\underline{x} ∈ R^{3}: x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 4z, 0 ≤ z ≤ (x^{2} + y^{2})

4) (7.5 punti) Sia data la serie di funzioni {S_{n}} data da S_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n} k|x|e^{−kx^{2}}

4.1) si trovi l’insieme di convergenza puntuale

4.2) argomentando si dica se nell’intervallo (a, 1], a > 0 è uniformemente convergente

4.3) argomentando si dica se nell’intervallo [0, 1], è uniformemente convergente

4.4) argomentando si dica se nell’intervallo [1/2, 3], è uniformemente convergente

4.5) argomentando si dica quanto vale lim_{n→+∞} ∫_{0}^{1} S_{n}(x)dx

4.6) Detta S(x) = lim_{n→+∞} S_{n}(x), argomentando si dica quanto vale ∫_{1}^{2} S(x)dx Soluzioni

Certamente F (0, 0, 0) = 0. Inoltre F_{x}(0, 0, 0) = 1 ≠ 0 per cui applichiamo il teorema delle funzioni implicite e quindi possiamo dire che in un cerchietto aperto intorno a (y, z) = (0, 0) esiste una funzione f(y, z) che definisce la variabile x. Quindi si ha f(0, 0) = 0. Se definiamo U il cerchietto di cui sopra, in formule il teorema delle funzione implicite ci consente di scrivere F (f(y, z), y, z) ≡ 0 per (y, z) ∈ U. Per trovare le derivate di f dobbiamo procedere come segue.

(F (f(y, z), y, z))_{y} = F_{x}(f(y, z), y, z)f_{y} + F_{y}(f(y, z), y, z) ≡ 0,

⟹ f_{y}(0, 0) = \frac{−F_{y}(f(y, z), y, z)}{F_{x}(f(y, z), y, z)}|_{(0,0,0)}= \frac{0}{1} = 0

(F (f(y, z), y, z))_{z} = F_{x}(f(y, z), y, z)f_{z} + F_{z}(f(y, z), y, z) ≡ 0

⟹ f_{z}(0, 0) = \frac{−F_{z}(f(y, z), y, z)}{F_{x}(f(y, z), y, z)}|_{(0,0,0)}= \frac{0}{1} = 0

Poi dobbiamo trovare le derivate seconde.

(F (f(y, z), y, z))_{yy} = F_{xx}(f_{y})^{2} + F_{yx}f_{y} + F_{x}f_{yy} + F_{xy}f_{y} + F_{yy} \underbrace{=}_{(0,0,0)} −f_{yy}(0, 0) − 2 = 0

(F (f(y, z), y, z))_{zz} = F_{xx}(f_{z})^{2} + F_{zx}f_{z} + F_{x}f_{zz} + F_{xz}f_{z} + F_{zz} \underbrace{=}_{(0,0,0)} −f_{zz}(0, 0) − 2 = 0

(F (f(y, z), y, z))_{zy} = F_{xx}f_{z}f_{y}+F_{zx}f_{y}+F_{x}f_{zy}+F_{xy}f_{z}+F_{zy} \underbrace{=}_{(0,0,0)} F_{x}(0, 0, 0)f_{zy}(0, 0) = −f_{zy}(0, 0) = 0

Quindi si tratta di un massimo.

2) La condizione di chiusura è f′ +x^{2} +2xy = x^{2} +2xy +y^{2} ossia f(y) = y^{3}/3 (più una costante ma nell’integrale non conta) e la forma diventa (y^{3}/3+x^{2}y+xy^{2}/3)dx+(x^{2}y+xy^{2}+x^{3}/3+y^{2})dy.

La primitiva è U(x, y) = \frac{xy^{3}}{3} + \frac{yx^{3}}{3} + \frac{x^{2}y^{2}}{2} + \frac{y^{3}}{3} e ∫_{γ} ω = \frac{π^{4}}{48} + \frac{π^{3}}{192}

3) L’insieme D è lo spazio compreso fra il paraboloide z = x^{2}+y^{2} e la sfera x^{2}+y^{2}+(z−2)^{2} = 4. L’intersezione delle due figure è una circonferenza che si ottiene mettendo a sistema le due equazioni ed otteniamo z = 0, z = 3. Fissato un valore di z_{0} ∈ [0, 3], l’insieme D si riduce all’anello compreso fra le due circonferenze x^{2} + y^{2} = R^{2}(z) = 4z − z^{2}, e x^{2} + y^{2} = r^{2}(z) = z. Conviene introdurre coordinate cilindriche x = r cos t, y = r sin t, z = u, 0 ≤ u ≤ 3, \sqrt{u} ≤ r ≤ \sqrt{4u − u^{2}}, 0 ≤ t ≤ 2π da cui

∫_{0}^{2π} dt ∫_{0}^{3} du ∫\begin{matrix}√ & \overline{4u−u^{2}} \\ √ & \overline{u} \end{matrix} ru^{2}dr = π \frac{243}{20}

4)

4.1) Per x = 0 evidentemente S_{n}(0) = 0 e quindi converge. Per x ≠ 0 basta osservare che lim_{k→+∞} k^{3}e^{−kx^{2}} = 0 e quindi definitivamente 0 < k|x|e^{−kx^{2}} < ε/k^{2} e scatta il teorema del

confronto. Il fatto che il limite sia zero non è importante ma conta solo che non sia +∞.

4.2) e^{−kx^{2}} ≤ e^{−ka^{2}} e quindi la serie converge totalmente e quindi uniformemente dal momento

che la serie ∑_{k=0}^{+∞} ke^{−ka^{2}} converge. Si capisce pure che tale ragionamento non funziona per a = 0.

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”, facoltà di Ingegneria

4.3) Ci orientiamo verso la convergenza uniforme o la convergenza non uniforme? Rispondere alla domanda è importante al fine di stabilire quale strategia impostare. Osserviamo che il massimo di x^{−kx^{2}} è assunto per x_{k} = 1/\sqrt{2ek} e il massimo di kx^{−kx^{2}} vale \sqrt{k/(2e)} che tende a +∞. Siamo quindi indotti a propendere verso la convergenza non uniforme.

Prima dimostrazione

Ricordo che dobbiamo mostrare

∃ ε > 0 : ∀ N ∃ n > N : sup_{x∈[0,1]} ∑_{k=n}^{+∞} k|x|e^{−kx^{2}} > ε

sup_{x∈[0,1]} ∑_{k=n}^{+∞} k|x|e^{−kx^{2}} ≥ sup_{x∈[0,1]} n|x|e^{−nx^{2}} = nx_{n}e^{−nx_{n}^{2}} = \sqrt{n/(2e)} → +∞

e quindi non converge uniformemente.

Seconda dimostrazione

C’è un secondo modo evidenziato a pagina 54 del Giornale delle lezioni. Dalla continuità delle successioni uniformemente convergenti, ∑_{k=0}^{+∞} lim_{x→0} k|x|e^{−kx^{2}} = 0 deve essere

uguale a lim_{x→0} ∑_{k=0}^{+∞} k|x|e^{−kx^{2}}. Sia x ≠ 0.

∑_{k=0}^{+∞} ke^{−kx^{2}} + ∑_{k=0}^{+∞} e^{−kx^{2}} = ∑_{k=0}^{+∞}(k + 1)e^{−kx^{2}} = ∑_{k=1}^{+∞} ke^{−(k−1)x^{2}} = e^{x^{2}} ∑_{k=1}^{+∞} ke^{−kx^{2}}

e quindi

∑_{k=0}^{+∞} ke^{−kx^{2}}(1 − e^{x^{2}}) = − ∑_{k=0}^{+∞} e^{−kx^{2}} \frac{−1}{1 − e^{−x^{2}}} ⟹ ∑_{k=0}^{+∞} ke^{−kx^{2}} = \frac{e^{x^{2}}}{(e^{x^{2}} − 1)^{2}}

Evidentemente lim_{x→0} ∑_{k=0}^{+∞} k|x|e^{−kx^{2}} = +∞ e si ha conferma della non uniforme convergenza in [0, 1].

4.4) Essendo x_{k} → 0, il massimo in [1/2, 3] della funzione kxe^{−kx^{2}} è pari a \frac{k}{2} e^{−k/4} e quindi per n grande abbastanza (ossia ne^{−n/4}/2 < 1/2)

sup_{[1/2,3]} ∑_{k=n}^{+∞} kxe^{−kx^{2}} ≤ ∑_{k=n}^{+∞} \frac{k}{2} e^{−k/4} < ε

e quindi per ogni ε > 0 troviamo n_{ε} per cui se n > n_{ε}, la precedente espressione è minore da ε. 4.5)

lim_{n→+∞} ∫_{0}^{1} ∑_{k=0}^{n} kxe^{−kx^{2}}dx = lim_{n→+∞} ∑_{k=0}^{n} k (\frac{1}{2k} − \frac{e^{−k}}{2k} ) = +∞

4.6) Grazie all’uniforme convergenza

∫_{0}^{1} S(x)dx =^{def} ∫_{1}^{2} lim_{n→+∞} S_{n}(x)dx = lim_{n→+∞} ∫_{1}^{2} S_{n}(x)dx

lim_{n→+∞} ∫_{1}^{2} ∑_{k=0}^{n} kxe^{−kx^{2}}dx = lim_{n→+∞} ∑_{k=0}^{n} k (\frac{e^{−k}}{2k} − \frac{e^{−2k}}{2k} ) = \frac{1}{2} \frac{e}{e − 1} − \frac{1}{2} \frac{e^{2}}{e^{2} − 1} = \frac{1}{2} \frac{e}{e^{2} − 1}