Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”, facoltà di Ingegneria

Analisi II per Ingegneria Gestionale online 09–09–2020 A.A. 2019/2020, Quinto appello

Nome(Stampatello)  Cognome(Stampatello)  Matricola

Inserire il presente foglio nel foglio protocollo

Le risposte vanno motivate sul foglio protocollo. Se immotivate, ancorché esatte, non verranno prese in considerazione.

1) (7.5 punti) Sia dato l’insieme D = \{\underline{x} ∈ R^{2}: x ∈ [−1, 1], y ∈ [0, 1]\}. Si calcoli il volume dell’insieme \{\underline{x} ∈ R^{3}: (x, y) ∈ D, z ≤ x^{2} + 2y^{2}, z ≤ 3x^{2} + y^{2}\}

1.1) Si consideri quella parte di D, detta E tale che y ≤ \sqrt{2}x, x ≥ 0 e la si ruoti di 180 gradi intorno alla retta di equazione y = −\sqrt{2}x. Si calcoli il volume della regione dello spazio generata

1.2) Si ruoti D intorno all’asse delle y di 180 gradi e sia V il volume generato. Calcolare il flusso attravesro la superficie esterna di V del campo vettoriale \underline{F} (x, y, z) = x^{3}\underline{i} + y^{3}\underline{j} + z^{3}\underline{k}

Gli studenti esibiscano esplicitamente tutti i passaggi per il calcolo degli integrali

2) (7.5 punti) Si trovino massimo e minimo assoluti della funzione f(x, y) = x + y soggetti alla condizione x^{2} + y^{2} − x − y − 1/16 = 0.

3) (7.5 punti) Sia data la serie di funzioni ∑_{n=1}^{+∞} \frac{n}{1 + x^{4}x^{n}} , x ≥ 0. 1) Si trovi l’insieme I in cui

converge puntualmente 2) Si dica se in I è uniformemente convergente

4) (7.5 punti) Sia data la forma differenziale ω = \frac{−3x^{2}y^{3}dx}{x^{6} + y^{6}} + \frac{3x^{3}y^{2}dy}{x^{6} + y^{6}} . Calcolare ∫_{γ} ω dove

\underline{γ} = \underline{γ}_{1} ∪ \underline{γ}_{2}.

\underline{γ}_{1} = (2^{\frac{2ϑ}{5π}} cos ϑ, 2^{\frac{2ϑ}{5π}} sin ϑ), 0 ≤ ϑ ≤ \frac{5π}{2} , \underline{γ}_{2} = (t, t^{2} − 2), 0 ≤ t ≤ 2

Soluzioni

Problema 3 Per |x| < 1 si ha lim_{n→+∞} n^{4}x^{n} = 0 e quindi lim_{n→+∞} \frac{n}{1 + n^{4}x^{n}} ≠ 0 (in realtà è +∞).

Inoltre per x > 1 si ha 0 < \frac{n}{1 + n^{4}x^{n}} ≤ 1, n^{3}, da cui la convergenza e pure uniforme.

Se x < −1 |\frac{n}{1 + n^{4}x^{n}} | = \frac{n}{|1 + n^{4}(−1)^{n}||^{n}|} ≤ \frac{2n}{n^{4}|x|^{n}} = \frac{2}{n^{3}} e lo stesso si ha convergenza e pure

uniforme.

Per le altre soluzioni si veda qui http://www.mat.uniroma2.it/ perfetti/didattica/analisi-II-elettronica+informatica+internet-19-20.html

14/settembre/2020; Esclusivamente per uso personale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione 1