Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”, facoltà di Ingegneria

Analisi II per Ingegneria Gestionale online 04–02–2019 A.A. 2018/2019, Sessione Invernale, secondo appello

Nome(Stampatello)  Cognome(Stampatello)  Matricola

Inserire il presente foglio nel foglio protocollo

Le risposte vanno motivate sul foglio protocollo. Se immotivate, ancorché esatte, non verranno prese in considerazione.

1) (7.5 punti) Si trovino i punti di estremo della funzione f(x, y) = x^{3} + xy^{2} − x^{2}y^{2} − y^{4} + x^{2} + 2y^{2} − x e se ne stabilisca la natura

2) (7.5 punti) Si calcoli il volume compreso fra i due parabolidi z = x^{2} + y^{2} + 2x + 2 e z = −x^{2} − y^{2} − 2x + 1

3) (7.5 punti) Si calcoli l’integrale curvilineo ∫_{γ} ω dove γ è la curva il cui sostegno è dato

dall’insieme z = x^{2} + y^{2} + 2x + 2 e z = −x^{2} − y^{2} − 2x + 1 La curva è percorsa in modo che la sua proiezione sul piano (x, y) è percorsa in senso antiorario. Inoltre ω = (\frac{1}{3}x^{3} + x^{2} + x + \frac{1}{3} − 2xy^{2} − 2y^{2})dy − (xy + y)dz

4) (7.5 punti) Sia data la serie di funzioni ∑_{k=0}^{+∞} x^{2}e^{−kx^{2}}, x ∈ R. Motivando adeguatamente le

risposte

1) Si stabilisca l’insieme di convergenza puntuale

2) Si dica se nell’intervallo [1, +∞) la convergenza è uniforme.

3) Si dica se nell’intervallo [0, +∞) la convergenza è uniforme.

Soluzioni

1) La soluzione è standard. Normalmente gli studenti non sbagliano tale tipo di esercizi. Difficoltà sorgono quando il determnante della matrice hessiana è nullo. Il risultato è

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}) e (\frac{−1}{2}, \frac{−1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}) massimi, (0, ±1) selle, (\frac{1}{3}, 0) minimo

(−1, 0) è un punto critico ma la matrice hessiana è ( \begin{matrix}4 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) . Certamente non è un massimo e

potrebbe essere un minimo o una sella. Cerchino gli studenti di capire la natura del punto pensando a cosa farebbero per una funzione di una variabile che avesse derivata prima e seconda nulle in un punto

2) , 3). Si veda qui http://www.mat.uniroma2.it/ perfetti/didattica/analisi-II-elettronica&internet+informatica-18-19/Appello-21-01-2019-Elettronica-Internet-Informatica.pdf, compito A.

4). Si veda qui, pag.51 http://www.mat.uniroma2.it/ perfetti/didattica/gestionale-analisiII-14-15/Materiale-non-presente-ing-gest-analis-II-2015-2015.pdf

25/febbraio/2019; Esclusivamente per uso personale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione 1