Calendario Analisi 1 - Canale 4 (Lb-O)
Università di Roma "Tor Vergata" a.a. 2025/26

Martedì 23 settembre - I: Presentazione del corso. Richiami di insiemistica e logica, numeri naturali, interi e razionali [paragrafi 1.1 e 1.2]. Significato di contare: funzioni biiettive (o bigettive, o invertibili) [1.7].
Mercoledì 24 settembre - II: Q è numerabile [1.7]. Cardinalità di un insieme, cardinalità di N, Z [1.7]. Introduzione del concetto di composizione di funzioni e di funzione inversa [1.8,1.9]. Non completezza dei razionali: non esiste r in Q t.c. r^2=2. Dimostrazioni per assurdo e per induzione [1.18]. Esercizi sull'induzione [1.19].
Giovedì 25 settembre - III: Richiami alla definizione e proprietà di sommatoria [1.17]. Richiami alla definizione e proprietà del fattoriale [1.19]. Esercizi sull'induzione e binomio di Newton (triangolo di Tartaglia) con richiami alla definizione e proprietà del coefficiente binomiale [1.19].
Venerdì 26 settembre - IV: Costruzione assiomatica dei numeri reali: R è un campo con un ordinamento che lo rende un campo ordinato [1.2,1.3]. Assioma di di completezza (via assioma di Dedekind), maggioranti, minoranti, massimo, minimo, Teorema di esistenza del minimo dei maggioranti: estremi superiori e inferiori [1.4].


Martedì 30 settembre - V: Caratterizzazione degli estremi superiori e inferiori, espansione decimale dei numeri reali, non numerabilità di R (secondo procedimento diagonale di Cantor), esistenza della radice di 2 in R, notazione per gli esponenti razionali [1.4]. Densità dei razionali nei reali e dei reali nei razionali [1.3]. Qualche nozione sulla definizione di potenze ed esponenziali [1.11, 1.12]
Mercoledì 1 ottobre - VI: Qualche nozione sulla definizione di potenze e richiami sugli esponenziali e i logaritmi [1.11, 1.12]. Funzioni trigonometriche (solo introduzione) [1.13].
Giovedì 2 ottobre - VII: arcsen, arccos, arctg [1.13]. Proprietà del valore assoluto (in particolare è una distanza) [1.10]. Successioni: prime definizioni (1.31) ed esempi [2.1].


Martedì 7 ottobre - VIII: Successioni limtate e monotone; limite di successioni: intorni nella retta reale estesa, significato "definitivamente", definizione via intorni e lettura nei casi concreti, qualche primo commento sulle diverse possibili definizioni [2.2,2.3,2.4].
Mercoledì 8 ottobre - IX: Ulteriori commenti sulle conseguenze della definzione di limite (a_n infinitesima allora ca_n infinitesima, a_n converge a l se e solo se a_n-l ...); qualche limite di successione via definizione, comportamento della successione aⁿ, al variare di a in R, proprietà dei limiti di successioni: criterio di Cauchy, [2.4, 2.13].
Giovedì 9 ottobre - X: Unicità del limite, teorema di permanenza del segno, teoremi di confronto, successione limitata per infinitesima è infinitesima, successioni convergenti sono limitate; algebra dei limiti. ed esercizi: limiti delle funzioni trigonometriche, degli esponenziali, delle potenze e dei logaritmi (loro "continuità") [2.5].
Venerdì 10 ottobre - XI: Successioni: limiti delle funzioni trigonometriche, degli esponenziali, delle potenze e dei logaritmi (loro "continuità") [2.5]. Esercizi.


Martedì 14 ottobre - XII: Successioni: ulteriori osservazioni, esercizi e forme indeterminate (simbolo o(1)) [2.6,2,7,2.8].
Mercoledì 15 ottobre - XIII: Successioni monotòne ammettono limite e numero di Nepero [2.9,2.10]. Esercizi.
Giovedì 16 ottobre - XIV: Successioni asintotiche, ordine di infiniti, criterio del rapporto tra successioni, confronto tra infiniti [2.11]. Esercizi.
Venerdì 17 ottobre - XV: Esercizi su limiti di successioni, con limiti notevoli, scrittura della formula di Stirling [2.11], sottosuccessioni [2.12].


Lunedì 21 ottobre - XVI: Teorema di Bolzano-Weierstrass [2.12]. Esercizi sulle successioni. Punti di accumulazione e punti isolati; definizione di Limite di funzione e prime osservazioni [4.1].
Mercoledì 22 ottobre - XVII: Limiti di funzioni: limiti da destra, da sinistra per eccesso e per difetto, funzioni infinitesime e infinite in un punto [4.1]. osservazioni sulla definizione e come verificare dei limiti tramite la definizione. Teorema di unicità del limite e teorema di permanenza del segno in versione generale Limite per funzioni monotone, teorema ponte [4.2,4.3]
Giovedì 23 ottobre - XVIII: Estensione di teoremi sulle successioni successioni via teorema ponte, per esempio algebra dei limiti, limiti di funzioni elementari e limiti notevoli; teoremi di confronto, algebra "estesa" dei limiti, limite delle funzioni composte/cambio di variabile nei limiti, [4.3,4.4,4.5,4.7].
Venerdì 24 ottobre - XIX: Forme indeterminate e gerarchie di infiniti e di infinitesimi, esercizi [4.6, 4.7].


Martedì 28 ottobre - XX: Funzioni asintoticamente equivalenti, simboli di Landau ed esercizi [4.7, 4.8].
Mercoledì 29 ottobre - XXI: Funzioni continue: definizioni e proprietà elementari, permanenza del segno e algebra delle funzioni continue, lettura via successioni, continuità da destra e da sinistra, esempi con in particolare continuità del massimo e del minimo di due funzioni [5.1].
Giovedì 30 ottobre - XXII: Funzioni continue: continuità del massimo e del minimo di due funzioni punti di discontinuità, (dis)continuità delle funzioni monotone, teorema degli zeri [5.1,5.2,5.3].
Venerdì 31 ottobre - XXIII: Funzioni continue: controesempi al teorema degli zeri in mancanza di ipotesi e suo corollario sulla soluzione di equazioni teorema dei valori intermedi e corollario, funzioni invertibili e continue su intervalli sono monotone ed hanno inversa continua, con osservazioni sulla necessarietà delle ipotesi e conseguenze su funzioni inverse note, teorema di Weierstrass [5.3,5.4,5.5].


Martedì 4 novembre - XXIV: Osservazioni sul Teorema di Weierstrass; asintoti; funzioni uniformemente continue e Teorema di Heine-Cantor [5.5,5.6,5.8]. Problema della definzione di retta tangente e definzione di derivata [6.1].
Mercoledì 5 novembre - XXV: Derivata: definizioni, rette tangenti, derivate di alcune funzioni elementari, derivabile implica continua ma il viceversa è falso, derivate di funzioni elementari [6.1,6.2].
Giovedì 6 novembre - XXVI: Funzioni pari e dispari e derivata di una funzioni pari è una funzione dispari (e viceversa), algebra delle derivate, rette tangenti vs limiti notevoli, derivata di funzioni composte [1.6.2, 6.2, 6.3, 6.5].
Venerdì 7 novembre - XXVII: Derivata della funzione inversa ed applicazioni. Punti di non derivabilità con tangenti verticali, punti angolosi e cuspidi (derivata destra e derivata sinistra), ulteriori esempi di punti di non derivabilità, punti estremi e punti stazionari (o critici) [6.4,6.6,6.7].


Martedì 11 novembre - XXVIII: Teoremi di Rolle e Lagrange e con interpretazione grafica ed esempi/controesempi, Teorema di Cauchy, segno derivata e monotonia della funzione, due relazioni trigonometriche notevoli (sull'arcotangente e l'arcoseno) [6.7,6.8].
Mercoledì 12 novembre - XXIX: Teorema di Cauchy, segno derivata e monotonia della funzione, due relazioni trigonometriche notevoli (sull'arcotangente e l'arcoseno) [6.8, 6.9, 6.10]. Definzione di primitiva e sua unicità a meno di costanti su intervalli [7.6].
Giovedì 13 novembre - XXX: Derivate successive e formula di Leibnitz per derivate successive (solo enunciato) [6.12]. Funzioni concave e convesse [6.13].
Venerdì 14 novembre - XXXI: Funzioni concave e convesse [6.13]. Studio di grafici di funzioni [6.14]. Seno e coseno iperbolico con grafici e inverse [6.15].


Martedì 18 novembre - XXXII: Studio di grafici di funzioni [6.14]. Seno e coseno iperbolico con grafici e inverse [6.15].
Mercoledì 19 novembre - XXXIII: Esercizi sullo studio di grafici di funzioni [6.14].
Giovedì 20 novembre - XXXIV: Teorema di de l'Hôpital, osservazioni ed esercizi vari (calcolo degli asintoti obliqui, calcolo della derivata, ...) [6.11].
Venerdì 21 novembre - XXXV: Formula di Taylor con resto di Peano [6.16].


Martedì 25 novembre - XXXVI: Sviluppo di Maclaurin delle funzioni elementari, con resto di Peano, esercizi ed osservazion sullo sviluppo di Taylor, applicazioni del Teorema di Peano nello studio dei punti critici [6.16,6.17].