Calendario Analisi 1 - Canale 1 (A-L)
Università di Roma "Tor Vergata" a.a. 2024/25

Lunedì 23 settembre - I: Presentazione del corso. Richiami di insiemistica e logica, numeri naturali, interi e razionali [paragrafi 1.1 e 1.2]. Significato di contare: funzioni biiettive e cardinalità di un insieme, cardinalità di N, Z [1.7]. Introduzione del concetto di funzione inversa [1.8].

Mercoledì 25 settembre - II: Q è numerabile [1.7]. Non completezza dei razionali: non esiste r in Q t.c. r^2=2. Dimostrazioni per assurdo e per induzione [1.18]. Richiami alla definizione e proprietà di sommatoria [1.17]. Esercizi sull'induzione [1.19]. Richiami alla definizione e proprietà del fattoriale [1.19].

Giovedì 26 settembre - III: Esercizi sull'induzione e binomio di Newton (triangolo di Tartaglia) con richiami alla definizione e proprietà del coefficiente binomiale [1.19]. Costruzione assiomatica dei numeri reali: R è un campo con un ordinamento che lo rende un campo ordinato [1.2,1.3].

Venerdì 27 settembre - IV: Assioma di di completezza (via assioma di Dedekind), maggioranti, minoranti, massimo, minimo, Teorema di esistenza del minimo dei maggioranti: estremi superiori e inferiori e loro caratterizzazione, espansione decimale dei numeri reali, non numerabilità di R (secondo procedimento diagonale di Cantor) [1.4].




Lunedì 30 settembre - V: Non numerabilità di R (secondo procedimento diagonale di Cantor), esistenza della radice di 2 in R, notazione per gli esponenti razionali [1.4]. Densità dei razionali nei reali e dei reali nei razionali [1.3]. Qualche nozione sulla definizione di potenze ed esponenziali [1.11, 1.12]

Mercoledì 2 ottobre - VI: Ulteriori richiami sugli esponenziali e logaritmi [1.12]. Funzioni trigonometriche (solo introduzione), in particolare arcsen, arccos, arctg [1.13].

Giovedì 3 ottobre - VII: Composizione di funzioni [1.9]. Valore assoluto [1.10]. Successioni: prime definizioni (1.31, monotone, limitate ,...) ed esempi [2.1].

Venerdì 4 ottobre - VIII: Limite di successioni: intorni nella retta reale estesa, significato "definitivamente", definizione via intorni e lettura nei casi concreti, commenti sulle diverse possibili definizioni e conseguenze (a_n infinitesima allora ca_n infinitesima, a_n converge a l se e solo se a_n-l ...) [2.2,2.3,2.4].




Mercoledì 9 ottobre - IX: Qualche limite di successione via definizione, comportamento della successione aⁿ, al variare di a in R, proprietà dei limiti di successioni: criterio di Cauchy, unicità del limite, teorema di permanenza del segno, teoremi di confronto [2.4, 2.5, 2.13].

Giovedì 10 ottobre - X: Successione limitata per infinitesima è infinitesima, successioni convergenti sono limitate; algebra dei limiti ed esercizi: limiti delle funzioni trigonometriche, degli esponenziali, delle potenze e dei logaritmi (loro "continuità") [2.5].

Venerdì 11 ottobre - XI: Successioni: limiti delle funzioni esponenziali, delle potenze e dei logaritmi (loro "continuità") [2.5]. Esercizi e forme indeterminate (simbolo o(1)) [2.6,2,7,2.8].




Lunedì 14 ottobre - XII: Successioni: esercizi e forme indeterminate (simbolo o(1)); successioni monotòne ammettono limite [2.6,2,7,2.8,2.9].

Mercoledì 16 ottobre - XIII: Numero di Nepero, [2.10], esercizi.

Giovedì 17 ottobre - XIV: Successioni asintotiche, ordine di infiniti, criterio del rapporto tra successioni, confronto tra infiniti [2.11]. Esercizi.

Venerdì 18 ottobre - XV: Esercizi su limiti di successioni, con limiti notevoli, scrittura della formula di Stirling [2.11], sottosuccessioni (in particolare Teorema di Bolzano-Weierstrass) [2.12]. Punti di accumulazione e punti isolati [4.1].




Lunedì 21 ottobre - XVI: Limiti di funzioni: definizione, limiti da destra, da sinistra per eccesso e per difetto, funzioni infinitesime e infinite in un punto [4.1]. Osservazioni sulla definizione e come verificare dei limiti tramite la definzione.

Mercoledì 23 ottobre - XVII: Teorema di unicità del limite e teorema di permanenza del segno in versione generale Limite per funzioni monotone, teorema ponte, estensione di teoremi per successioni via teorema ponte, per esempio algebra dei limiti, limiti di funzioni elementari e limiti notevoli [4.2,4.3,4.5]

Giovedì 24 ottobre - XVIII: Teoremi di confronto, algebra "estesa" dei limiti, limite delle funzioni composte/cambio di variabile nei limiti, forme indeterminate e limiti notevoli [4.3,4.4,4.6,4.7].

Venerdì 25 ottobre - XIX: limiti notevoli, gerarchie di infiniti e di infinitesimi, funzioni asintoticamente equivalenti, simboli di Landau [4.6, 4.7, 4.8].




Lunedì 28 ottobre - XX: Esercizi sui limiti di funzione usando gli o(·). Funzioni continue: definizione e proprietà elementari, permanenza del segno e algebra delle funzioni continue [5.1].

Mercoledì 30 ottobre - XXI: Altri esercizi e considerazioni sui limiti di funzione con gestione degli o(·). Funzioni continue: lettura via successioni, esempi con in particolare continuità del massimo e del minimo di due funzioni [5.1].

Giovedì 31 ottobre - XXII: Funzioni continue: punti di discontinuità, (dis)continuità delle funzioni monotone, teorema degli zeri e controesempi, corollario al teorema degli zeri sulla soluzione di equazioni [5.2,5.3].




Lunedì 4 novembre - XXIII: Funzioni continue: teorema dei valori intermedi e corollario, funzioni invertibili e continue su intervalli sono monotone ed hanno inversa continua, con osservazioni sulla necessarietà delle ipotesi e conseguenze, teorema di Weierstrass, asintoti [5.3,5.4,5.5,5.6].

Mercoledì 6 novembre - XXIV: Funzioni uniformemente continue, Teorema di Heine-Cantor [5.8]. Derivata: definizioni, rette tangenti, derivate di alcune funzioni elementari [6.1, 6.2].

Giovedì 7 novembre - XXV: Derivata: derivabile implica continua ma il viceversa è falso, derivate di funzioni elementari, algebra delle derivate [6.2].

Mercoledì 8 novembre - XXVI: Funzioni pari e dispari e derivata di una funzioni pari è una funzione dispari (e viceversa), rette tangenti vs limiti notevoli, derivata di funzioni composte, derivata delle funzioni inverse [1.6.2, 6.3, 6.5, 6.6].




Lunedì 11 novembre - XXVII: Esercizi sulle rette tangenti a un grafico. Punti di non derivabilità con tangenti verticali, punti angolosi e cuspidi (derivata destra e derivata sinistra), ulteriori esempi di punti di non derivabilità, punti estremi e punti stazionari (o critici) [6.4, 6.7].

Mercoledì 13 novembre - XXVIII: Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange e con interpretazione grafica ed esempi/controesempi [6.7, 6.8].

Giovedì 14 novembre - XXIX: Teorema di Cauchy, segno derivata e monotonia della funzione, due relazioni trigonometriche notevoli (sull'arcotangente e l'arcoseno) [6.8, 6.9, 6.10]. Definzione di primitiva e sua unicità a meno di costanti su intervalli [7.6]. (Prof.ssa Pacchiarotti)

Venerdì 15 novembre - XXX: Dominio naturale o massimale di una funzione. Studio di grafici di funzioni [1.14, 6.14]. (Prof. Sorrentino)




Lunedì 18 novembre - XXXI: Derivate successive e formula di Leibnitz per derivate successive (solo enunciato) [6.12]. Funzioni concave e convesse [6.13].

Mercoledì 20 novembre - XXXII: Funzioni concave e convesse [6.13]. Seno e coseno iperbolico con grafici e inverse [6.15]. Esercizi su grafici di funzione.

Giovedì 21 novembre - XXXIII: Teorema di de l'Hôpital, osservazioni ed esercizi vari [6.11].

Venerdì 22 novembre - XXXIV: Osservazioni ed esercizi sul Teorema di de l'Hôpital tipo calcolo degli asintoti obliqui e calcolo della derivata [6.11]. Introduzione alla formula di Taylor, enunciato con resto di Peano e inzio della dimostrazione [6.16].




Lunedì 25 novembre - XXXV: Formula di Taylor con resto di Peano, fine dimostrazione; sviluppo di Maclaurin delle funzioni elementari, con resto di Peano, e qualche esercizio ed osservazione [6.16, 6.17].

Mercoledì 27 novembre - XXXVI: Ulteriori sviluppi di Taylor, applicazioni del Teorema di Peano nello studio dei punti critici [6.16, 6.17].

Giovedì 28 novembre - XXXVII: Sviluppo di Taylor funzioni composte, arcotangente e tangente, sviluppo di Taylor con resto di Lagrange ed applicazioni in stime numeriche Applicazioni in stime numeriche dello sviluppo di Taylor ed irrazionalità del numero di Nepero [6.17, 6.19].

Venerdì 29 novembre - XXXIII: Esercizi sul calcolo di limiti con sviluppo di Taylor. Numeri complessi: proprietà di campo [1.16].




Lunedì 2 dicembre - XXXIX: Numeri complessi: forma algebrica o cartesiana, piano di Gauss, coniugato e modulo (e relative proprietà), distanza [1.16]. Esercizio sulla formula di Taylor.

Mercoledì 4 dicembre - XL: Numeri complessi: forma trigonometrica o polare, interpretazione del prodotto e del rapporto, potenze - formula di De Moivre, forma esponenziale e formula di Eulero [1.16]. Esercizi sui numeri complessi e sulla formula di Taylor.

Giovedì 5 dicembre - XLI: Esercizi sulla formula di Taylor. Numeri complessi: esercizi ed estrazione della radice n-esima [1.16].

Venerdì 6 dicembre - XLII: Numeri complessi: scomposizione di un polinomio di secondo grado, teorema fondamentale dell'algebra e caso di polinomio a coefficienti reali, C non è un campo ordinato [1.16]. Esercizi.




Lunedì 9 dicembre, XLIII: Esercizi sui numeri complessi. Inizio definizione dell'integrale di Riemann con lemma fondamentale [7.1, 7.2].

Mercoledì 11 dicembre - XLIV: Definizione dell'integrale di Riemann e criterio di integrabilità Equivalenza della definizione dell'integrale di Riemann via estremo superiore ed inferiore e via successioni di partizioni con ampiezza infinitesima. [7.1, 7.2].

Giovedì 12 dicembre - XLV: Additività dell'integrale rispetto al dominio di integrazione, integrabilità delle funzioni monotone, delle funzioni continue e delle funzioni continue a meno di un numero finito di punti, funzioni uguali a meno di un numero finito di punti hanno lo stesso integrale (se esiste) [7.1, 7.3].

Venerdì 13 dicembre - XLVI: Linearità e monotonia dell'integrale Il valore assoluto di una funzione integrabile è integrabile, Teorema della media integrale, [7.4].




Lunedì 16 dicembre - XLVII: Funzione integrale e sua continuità, primo teorema fondamentale del calcolo integrale e relazione tra funzione integrale e primitive, primitive e integrali indefiniti e unicità a meno di costanti [7.5, 7.6].

Mercoledì 18 dicembre - mattina - XLVIII: Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale, integrazione per parti e per sostituzione, integrale di funzioni pari/dispari, esercizi [7.7, 7.8, 7.9].

Mercoledì 18 dicembre - pomeriggio - XLIX: Esercizi su grafici, limiti e numeri complessi.

Giovedì 19 dicembre - L: Richiamo alla scomposizione in fattori irriducibili di un polinomio a coefficienti reali. Integrazione di funzioni razionali e integrali ad essi riconducibili [7.11,7.12] .

Venerdì 20 dicembre - LI: Integrali impropri: definizioni, esempi e funzioni test [7.14].




Lunedì 23 dicembre - LII: Esercizi su numeri complessi e integrali riconducibili a integrali di funzioni razionali [7.12].




Pausa Natalizia.





Mercoledì 8 gennaio - mattina - LIII: Integrali impropri: ulteriori definizioni ed esempi e criteri di confronto [7.14, 7.15]. Esercizi.

Mercoledì 8 gennaio - pomeriggio - LIV: Esercizi sugli integrali (in particolare fine [7.12]), sviluppi Taylor e grafici.

Giovedì 9 gennaio - LV: Integrali impropri: assoluta integrabilità come condizione sufficiente per l'integrabilità [7.16]. Esercizi.

Venerdì 10 gennaio - LVI: Equazioni differenziali ordinarie (EDO): definizioni ed EDO lineari del primo ordine e struttura delle soluzioni delle EDO lineari [9.1, 9.2].




Lunedì 13 gennaio - LVII: EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee [9.3]. Soluzioni particolari di EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti nel caso di termini noti di tipo polinomiale, esponenziale, trigonometrico e loro somme [9.4]. Problema di Cauchy [9.5].

Mercoledì 15 gennaio - mattina - LVIII: Problema di Cauchy [9.5]. Equazioni nonlineari del primo ordine a variabili separabili, intervallo di definizione (massimale) [9.6]. Esercizi.

Mercoledì 15 gennaio - pomeriggio - LIX: Esercizi di ricapitolazione.

Giovedì 16 gennaio - LX: Esercizi di ricapitolazione - Foto di fine corso.

Venerdì 17 gennaio: Ricevimento con svolgimento esercizi.




FINE CORSO