Calendario Analisi 1 - Canale 5 (P-Sc)
Università di Roma "Tor Vergata" a.a. 2023/24

Martedì 26 settembre - I: Presentazione del corso. Richiami di insiemistica e logica, numeri naturali, interi e razionali [paragrafi 1.1 e 1.2]. Significato di contare: funzioni biiettive e cardinalità di un insieme [1.7].

Mercoledì 27 settembre - II: Cardinalità di N, Z, Q [1.7]. Introduzione del concetto di funzione inversa [1.8]. Non completezza dei razionali: non esiste r in Q t.c. r^2=2. Dimostrazioni per assurdo e per induzione [1.18]. Richiami alla definizione e proprietà di sommatoria [1.17]. Esercizi sull'induzione [1.19].

Giovedì 28 settembre - III: Esercizi sull'induzione e binomio di Newton (triangolo di Tartaglia) con richiami alla definizione e proprietà del fattoriale e coefficiente binomiale [1.19]. Costruzione assiomatica dei numeri reali: R è un campo con un ordinamento che lo rende un campo ordinato, in cui vale l'assioma di di completezza (via assioma di Dedekind) [1.2,1.3].

Venerdì 29 settembre - IV: Assioma di di completezza (via assioma di Dedekind), maggioranti, minoranti, massimo, minimo, Teorema di esistenza del minimo dei maggioranti: estremi superiori e inferiori e loro caratterizzazione, espansione decimale dei numeri reali, non numerabilità di R (secondo procedimento diagonale di Cantor) [1.4].




Martedì 3 ottobre - V: Esistenza della radice di 2 in R, notazione per gli esponenti razionali [1.4]. Densità dei razionali nei reali e dei reali nei razionali [1.3]. Qualche nozione sulla definizione di potenze ed esponenziali [1.11, 1.12]

Mercoledì 4 ottobre - VI: Ulteriori richiami sugli esponenziali e logaritmi [1.12]. Funzioni trigonometriche (solo introduzione), in particolare arcsen, arccos, arctg [1.13].

Giovedì 5 ottobre - VII: Composizione di funzioni [1.9]. Valore assoluto [1.10]. Numeri complessi: proprietà di campo, forma algebrica o cartesiana, piano di Gauss [1.16].

Venerdì 6 ottobre - VIII: Numeri complessi: proprietà di campo, forma algebrica o cartesiana, piano di Gauss, coniugato e modulo (e relative proprietà), distanza, forma trigonometrica o polare, interpretazione del prodotto e del rapporto [1.16].




Martedì 10 ottobre - IX: Numeri complessi: potenze - formula di De Moivre, forma esponenziale e formula di Eulero, radici n-esime [1.16]. Esercizi sui numeri complessi.

Mercoledì 11 ottobre - X: Numeri complessi: scomposizione di un polinomio di secondo grado, Teorema fondamentale dell'algebra e caso di polinomio a coefficienti reali, C non è un campo ordinato [1.16]. Esercizi sui numeri complessi.

Giovedì 12 ottobre - XI: Esercizi da esame sui numeri complessi.

Venerdì 13 ottobre - XII: Successioni: definizioni (1.31, monotone, limitate ,...) ed esempi [2.1]. Limite di successioni, definizione e prime osservazioni [2.2,2.3,2.4].




Martedì 17 ottobre - XIII: Limite di successioni, in particolare comportamento della successione aⁿ, al variare di a in R [2.2,2.3,2.4].

Mercoledì 18 ottobre - XIV: Proprietà dei limiti di successioni: criterio di Cauchy [2.13], unicità del limite, teorema di permanenza del segno, teoremi di confronto, "limitata per infinitesima", successioni convergenti sono limitate, algebra dei limiti, esercizi (continuità delle funzioni trigonometriche) [2.5].

Giovedì 19 ottobre - XV: Successioni: esercizi limiti delle funzioni trigonometriche, degli esponenziali, delle potenze e dei logaritmi (loro "continuità") [2.5].

Venerdì 20 ottobre - XVI: Successioni: esercizi e forme indeterminate [2.6,2.8].




Martedì 24 ottobre - XVII: Successioni monotòne ammettono limite, numero di Nepero [2.9,2.10], esercizi.

Mercoledì 25 ottobre - XVIII: Successioni asintotiche, ordine di infiniti, criterio del rapporto tra successioni, confronto tra infiniti [2.11], esercizi.

Giovedì 26 ottobre - XIX: Confronto tra infiniti, scrittura della formula di Stirling [2.11], sottosuccessioni (in particolare Teorema di Bolzano-Weierstrass) [2.12]. Introduzione ai limiti di funzioni [4.1].

Venerdì 27 ottobre - XX: Limiti di funzioni: definizione, limiti da destra, da sinistra per eccesso e per difetto, funzioni infinitesime e infinite in un punto, teorema di permanenza del segno in versione generale [4.1, 4.3].




Martedì 31 ottobre - XXI: Limite per funzioni monotone, teorema ponte, estensione di teoremi per successioni via teorema ponte, per esempio algebra dei limiti e teoremi di confronto, limiti di funzioni elementari, qualche altra proprietà elementare di limiti, limite delle funzioni composte/cambio di variabile nei limiti [4.2,4.3,4.5]

Giovedì 2 novembre - XXII: Teoremi di confronto, algebra "estesa" dei limiti, limite delle funzioni composte/cambio di variabile nei limiti, forme indeterminate e limiti notevoli [4.3,4.4,4.5,4.6,4.7].

Venerdì 3 novembre - XXIII: limiti notevoli, gerarchie di infiniti e di infinitesimi, funzioni asintoticamente equivalenti, simboli di Landau [4.6, 4.7, 4.8].




Martedì 7 novembre - XXIV: Qualche ulteriore considerazione sui simboli di Landau. Funzioni continue: definizione e proprietà elementari, lettura via successioni, permanenza del segno, continuità da destra e da sinistra [5.1]. Dominio naturale (o massimale) di una funzione [8.1].

Mercoledì 8 novembre - XXV: Funzioni continue: lettura via successioni, esempi con in particolare continuità del massimo e del minimo di due funzioni, punti di discontinuità, (dis)continuità delle funzioni monotone [5.1, 5.2].

Giovedì 9 novembre - XXVI: Funzioni continue: teorema degli zeri e controesempi, corollario al teorema degli zeri sulla soluzione di equazioni, teorema dei valori intermedi e corollario, funzioni invertibili e continue su intervalli sono monotone ed hanno inversa continua, con osservazioni sulla necessarietà delle ipotesi e conseguenze, teorema di Weierstrass (enunciato e osservazioni) [5.3, 5.4, 5.5].

Venerdì 11 novembre - XXVII: Funzioni continue: dimostrazione del teorema di Weierstrass, asintoti, definizione del seno e coseno iperbolico, funzioni uniformemente continue [5.5, 5.6, 5.8].




Martedì 14 novembre - XXVIII: Teorema di Heine-Cantor [5.8]. Derivata: definizioni, rette tangenti, derivate di alcune funzioni elementari [6.1, 6.2].

Mercoledì 15 novembre - XXIX: Derivata: derivabile implica continua ma il viceversa è falso, derivate di funzioni elementari, Funzioni pari e dispari e derivata di una funzioni pari è una funzione dispari (e viceversa), rette tangenti vs limiti notevoli, algebra delle derivate [6.1, 6.2, 1.6.2].

Giovedì 16 novembre - XXX: Derivata di funzioni composte, derivata delle funzioni inverse, fine della derivazione di funzioni elementari, punti di non derivabilità con tangenti verticali, punti angolosi e cuspidi (derivata destra e derivata sinistra) [6.3, 6.4, 6.5, 6.6].

Venerdì 17 novembre - XXXI: Ulteriori esempi di punti di non derivabilità, punti estremi e punti stazionari (o critici), teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange e Cauchy con interpretazione grafica ed esempi/controesempi [6.6, 6.7, 6.8].




Martedì 21 novembre - XXXII: Teorema di Cauchy, segno derivata e monotonia della funzione, due relazioni trigonometriche notevoli (sull'arcotangente e l'arcoseno), derivate successive [6.8, 6.9, 6.10, 6.12].

Mercoledì 22 novembre - XXXIII: Formula di Leibnitz per derivate successive (solo enunciato), funzioni concave e convesse, definizione dei flessi e inizio studio di grafici di funzioni [6.12, 6.13].

Giovedì 23 novembre - XXXIV: Definizione dei flessi e studio di grafici di funzioni [6.13, 1.14, 6.14].

Venerdì 24 novembre - XXXV: Grafici di funzioni, funzioni iperboliche e loro inverse [6.14, 6.15].




Martedì 28 novembre - XXXVI: Grafici di funzioni e introduzione al Teorema di de l'Hôpital [6.15,6.11].

Mercoledì 29 novembre - XXXVII: Teorema di de l'Hôpital e osservazioni varie (p.es uso del Teorema di de l'Hôpital o Lagrange nel calcolo degli asintoti obliqui), uso del Teorema di de l'Hôpital o Lagrange nel calcolo della derivata [6.11].

Giovedì 30 novembre - XXXVIII: Uso del Teorema di de l'Hôpital o Lagrange nel calcolo della derivata, formula di Taylor e sviluppo di Maclaurin dell'esponenziale, con resto di Peano [6.11, 6.16].

Venerdì 1 dicembre - XXXIX: Formula di Taylor e sviluppo di Maclaurin delle funzioni elementari, con resto di Peano, e qualche esercizio ed osservazione [6.16, 6.17].




Martedì 5 dicembre - XL: Applicazioni del Teorema di Peano nello studio dei punti critici e sviluppo di funzioni composte, arcotangente e tangente, Ulteriori sviluppi di Taylor, Sviluppo di Taylor con resto di Lagrange ed applicazioni in stime numeriche [6.16, 6.17, 6.19].

Mercoledì 6 dicembre - XLI: Applicazioni in stime numeriche dello sviluppo di Taylor con resto di Lagrange ed irrazionalità del numero di Nepero [6.17, 6.19]. Esercizi sul calcolo di limiti con sviluppo di Taylor.

Giovedì 7 dicembre, XLII: Definizione dell'integrale di Riemann e criterio di integrabilità Equivalenza della definizione dell'integrale di Riemann via estremo superiore ed inferiore e via successioni di partizioni con ampiezza infinitesima [7.1, 7.2].




Martedì 12 dicembre - XLIII: Fine dimostrazione criteri di integrabilità. Equivalenza della definizione dell'integrale di Riemann via estremo superiore ed inferiore e via successioni di partizioni con ampiezza infinitesima, additività dell'integrale rispetto al dominio di integrazione [7.1].

Mercoledì 13 dicembre - XLIV: Integrabilità delle funzioni monotone, delle funzioni continue e delle funzioni continue a meno di un numero finito di punti, funzioni uguali a meno di un numero finito di punti hanno lo stesso integrale (se esiste), linearità e monotonia dell'integrale Il valore assoluto di una funzione integrabile è integrabile, teorema della media integrale, funzione integrale e sua continuità, primo teorema fondamentale del calcolo integrale [7.3, 7.4, 7.5].

Giovedì 14 dicembre - XLV: Teorema della media integrale, funzione integrale e sua continuità, primo teorema fondamentale del calcolo integrale, primitive [7.5, 7.6].

Venerdì 15 dicembre - XLVI: Primitive e integrali indefiniti e unicità a meno di costanti, secondo teorema fondamentale del calcolo integrale, integrazione per parti, integrazione, esercizi [7.6, 7.7, 7.8].




Lunedì 18 dicembre - XLVII: Esercizi.

Martedì 19 dicembre - XLVIII: Integrazione per sostituzione, integrale di funzioni pari/dispari, esercizi [7.9].

Mercoledì 20 dicembre - XLIX: Richiamo alla scomposizione in fattori irriducibili di un polinomio a coefficienti reali. Integrazione di funzioni razionali e integrali ad essi riconducibili [7.11,7.12] .

Giovedì 21 dicembre - L: Integrazione di funzioni riconducibili a funzioni razionali [7.12]. Integrali impropri: definizioni, esempi e funzioni test [7.14].

Venerdì 22 dicembre - LI: Integrali impropri: ulteriori definizioni ed esempi e criteri di confronto [7.14, 7.15]. Esercizi.




Pausa Natalizia.






Martedì 9 gennaio - LII: Integrali impropri: criteri di confronto asintotico per funzioni di segno costante, assoluta integrabilità come condizione sufficiente per l'integrabilità [7.15, 7.16]. Esercizi.

Mercoledì 10 gennaio - LIII: Equazioni differenziali ordinarie (EDO): definizioni ed EDO lineari del primo ordine e struttura delle soluzioni delle EDO lineari [9.1, 9.2].

Giovedì 11 gennaio - LIV: EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee [9.3]. Soluzioni particolari di EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti nel caso di termini noti di tipo polinomiale, esponenziale, trigonometrico e loro somme [9.4]. Problema di Cauchy [9.5].

Venerdì 12 gennaio - LV: Problema di Cauchy [9.5]. Equazioni nonlineari del primo ordine a variabili separabili, intervallo di definizione (massimale) [9.6]. Esercizi.




Lunedì 15 gennaio - LVI: Esercitazione.

Martedì 16 gennaio - LVII: Esercitazione sugli integrali impropri.

Mercoledì 17 gennaio - LVIII: Esercitazione.

Giovedì 18 gennaio - LIX: Esercitazione.

Venerdì 19 gennaio - LX: Esercitazione.

FINE CORSO