Calendario Analisi 1 - Canale 2 (A-Ca)
Università di Roma "Tor Vergata" a.a. 2022/23

Martedì 27 settembre - I: Presentazione del corso. Richiami di insiemistica e logica, numeri naturali, interi e razionali [paragrafi 1.1 e 1.2].
Mercoledì 28 settembre - II: Significato di contare: funzioni biiettive e cardinalità di N, Z, Q [1.7]. Introduzione del concetto di funzione inversa [1.8]. Non completezza dei razionali: non esiste r in Q t.c. r^2=2. Dimostrazioni per assurdo e per induzione [1.18]. Richiami alla definizione e proprietà di sommatoria [1.17]. Esercizi sull'induzione.
Giovedì 29 settembre - III: Esercizi sull'induzione e binomio di Newton [1.19] (triangolo di Tartaglia) con richiami alla definizione e proprietà del fattoriale e coefficiente binomiale.
Venerdì 30 settembre - IV: Costruzione assiomatica dei numeri reali: R è un campo con un ordinamento che lo rende un campo ordinato, in cui vale l'assioma di di completezza (via assioma di Dedekind), maggioranti, minoranti, massimo, minimo [1.2,1.3,1.4].


Martedì 4 ottobre - V: Esistenza del minimo dei maggioranti, Estremi superiori e inferiori e loro caratterizzazione, espansione decimale dei numeri reali, non numerabilità di R (secondo procedimento diagonale di Cantor) [1.4].
Mercoledì 5 ottobre - VI: Esistenza della radice di 2 in R [1.4]. Densità dei razionali nei reali e dei reali nei razionali [1.3]. Qualche nozione sulla definizione di potenze ed esponenziali [1.11, 1.12]
Giovedì 6 ottobre - VII: Qualche nozione sulla definizione dei logaritmi. Ulteriori richiami sugli esponenziali e logaritmi [1.12]. Funzioni trigonometriche (solo introduzione) [1.13].
Venerdì 7 ottobre - VIII: Funzioni arcsen, arccos, arctg [1.13]. Composizione di funzioni. Valore assoluto [1.10]. Numeri complessi: introsuzione e definizione formale. [1.16].


Martedì 11 ottobre - IX: Numeri complessi: proprietà di campo, forma algebrica o cartesiana, piano di Gauss, coniugato e modulo [1.16].
Mercoledì 12 ottobre - X: Numeri complessi: distanza, forma trigonometrica o polare, interpretazione del prodotto e del rapporto, potenze - formula di De Moivre, forma esponenziale e formula di Eulero [1.16].
Giovedì 13 ottobre - XI: Numeri complessi: radici ennesime, scomposizione di un polinomio di secondo grado [1.16].
Venerdì 14 ottobre - XII: Teorema fondamentale dell'algebra e caso di polinomio a coefficienti reali [1.16]. Esercizi sui numeri complessi.


Martedì 18 ottobre - XIII: Esercizi sui numeri complessi. Successioni: definizioni (1.31, monotone, limitate ,...) ed esempi [2.1].
Mercoledì 19 ottobre - XIV: Limite di successioni, in particolare comportamento della successione aⁿ, al variare di a in R [2.2,2.3,2.4].
Giovedì 20 ottobre - XV: Proprietà dei limiti di successioni: criterio di Cauchy [2.13], unicità del limite, teorema di permanenza del segno, teoremi di confronto, "limitata per infinitesima" [2.5], successioni convergenti sono limitate.
Venerdì 21 ottobre - XVI: Successioni: esercizi (continuità delle funzioni trigonometriche), algebra dei limiti, limiti degli esponenziali e delle potenze [2.5].


Martedì 25 ottobre - XVII: Successioni: limiti dei logaritmi [2.5] forme indeterminate [2.6,2.8].
Mercoledì 26 ottobre - XVIII: forme indeterminate [2.6,2.8]. Successioni monotòne ammettono limite, numero di Nepero [2.9,2.10].
Giovedì 27 ottobre - XIX: Confronto tra infiniti [2.11], esercizi.
Venerdì 28 ottobre - XX: Esercizi sul confronto tra infiniti, con scrittura della formula di Stirling [2.11], sottosuccessioni (in particolare Teorema di Bolzano-Weierstrass). Introduzione ai limiti di funzioni [4.1]


Mercoledì 2 novembre - XXI: Qualche esercizio sui limiti di successioni. Limiti di funzioni: definizione, limiti da destra, da sinistra [4.1].
Giovedì 3 novembre - XXII: Limiti di funzioni: per eccesso e per difetto, funzioni infinitesime e infinite in un punto, teoremi analoghi a corrispndenti per successioni, per esempio unicità del limite, teorema di permanenza del segno, teorema ponte [4.1, 4.2, 4.3].
Venerdì 4 novembre - XXIII: Estensione di teoremi per successioni via teorema ponte, per esempio algebra dei limiti e teoremi di confronto, limiti di funzioni elementari, qualche altra proprietà elementare di limiti, limite delle funzioni composte/cambio di variabile nei limiti [4.3, 4.4, 4.5].


Martedì 8 novembre - XXIV: Forme indeterminate e limiti notevoli, gerarchie di infiniti e di infinitesimi [4.6, 4.7].
Mercoledì 9 novembre - XXV: Simboli di Landau (solo per infinitesimi) [4.8]. Funzioni continue: definizione e proprietà elementari, lettura via successioni, permanenza del segno, continuità da destra e da sinistra, esempi [5.1]. Dominio naturale (o massimale) di una funzione [8.1].
Giovedì 10 novembre - XXVI: Funzioni continue: esempi con in particolare continuità del massimo e del minimo di due funzioni, punti di discontinuità, (dis)continuità delle funzioni monotone, teorema degli zeri e controesempi [5.2, 5.3]
Venerdì 11 novembre mattina - XXVII: Funzioni continue: corollario al teorema degli zeri sulla soluzione di equazioni, teorema dei valori intermedi e corollario, funzioni invertibili e continue su intervalli sono monotone ed hanno inversa continua, con osservazioni sulla necessarietà delle ipotesi e conseguenze teorema di Weierstrass [5.3, 5.4, 5.5].
Venerdì 11 novembre pomeriggio - XXVIII: Asintoti, funzioni uniformemente continue, teorema di Heine-Cantor [5.6, 5.8].


Mercoledì 16 novembre - XXIX: Derivata: definizioni, rette tangenti, derivabile implica continua ma il viceversa è falso, derivate delle funzioni elementari [6.1, 6.2].
Giovedì 17 novembre - XXX: Funzioni pari e dispari e derivata di una funzioni pari è una funzione dispari (e viceversa), rette tangenti vs limiti notevoli, algebra delle derivate [1.6.2, 6.2].
Venerdì 18 novembre - XXXI: Derivata di funzioni composte, derivata delle funzioni inverse, fine della derivazione di funzioni elementari, punti di non derivabilità con tangenti verticali, punti angolosi e cuspidi (derivata destra e derivata sinistra), ulteriori esempi di punti di non derivabilità [6.3, 6.4, 6.5, 6.6].


Martedì 22 novembre - XXXII: Punti estremi e punti stazionari (o critici), teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy con interpretazione grafica ed esempi/controesempi, segno derivata e monotonia della funzione [6.7, 6.8, 6.9,6.10].
Mercoledì 23 novembre - XXXIII: Due relazioni trigonometriche notevoli (sull'arcotangente e l'arcoseno) [6.9]. Derivate successive, formula di Leibnitz (solo enunciato), funzioni concave e convesse [6.12, 6.13].
Giovedì 24 novembre - XXXIV: Funzioni concave e convesse, definizione dei flessi e inizio studio di grafici di funzioni [6.13, 1.14].
Venerdì 25 novembre - XXXV: Grafici di funzioni, funzioni iperboliche e loro inverse [6.14, 6.15].


Martedì 29 novembre - XXXVI: Grafici di funzioni e introduzione al Teorema di de l'Hôpital [6.15,6.11].
Mercoledì 30 novembre - XXXVII: Teorema di de l'Hôpital e osservazioni varie (p.es uso del Teorema di de l'Hôpital o Lagrange nel calcolo degli asintoti obliqui [6.11].
Giovedì 1 dicembre - XXXVIII: Uso del Teorema di de l'Hôpital o Lagrange nel calcolo della derivata, formula di Taylor con resto di Peano [6.11, 6.16].
Venerdì 2 dicembre - XXXIX: Formula di Taylor e sviluppo di Maclaurin delle funzioni elementari, con resto di Peano [6.16].


Martedì 6 dicembre - XL: Applicazioni del Teorema di Peano nello studio dei punti critici e sviluppo di funzioni composte, arcotangente e tangente [6.16, 6.17].
Mercoledì 7 dicembre - XLI: Ulteriori sviluppi di Taylor, Sviluppo di Taylor con resto di Lagrange ed applicazioni in stime numeriche, irrazionalità del numero di Nepero [6.17, 6.19].
Venerdì 9 dicembre, mattina - XLII: Definizione dell'integrale di Riemann e criterio di integrabilità [7.1, 7.2].
Venerdì 9 dicembre, pomeriggio - XLIII: Applicazioni del Teorema di Peano nel calcolo dei limiti [6.17].


Martedì 13 dicembre - XLIV: Fine dimostrazione criteri di integrabilità. Equivalenza della definizione dell'integrale di Riemann via estremo superiore ed inferiore e via successioni di partizioni con ampiezza infinitesima [7.1].
Mercoledì 14 dicembre - XLV: Additività dell'integrale rispetto al dominio di integrazione; integrabilità delle funzioni monotone, delle funzioni continue e delle funzioni continue a meno di un numero finito di punti funzioni uguali a meno di un numero finito di punti hanno lo stesso integrale (se esiste), linearità e monotonia dell'integrale [7.1, 7.3, 7.4].
Giovedì 15 dicembre - XLVI: Il valore assoluto di una funzione integrabile è integrabile, teorema della media integrale, funzione integrale e sua continuità, primo teorema fondamentale del calcolo integrale [7.4, 7.5].
Venerdì 16 dicembre - XLVII ORE 16:15: Primitive e integrali indefiniti e unicità a meno di costanti, secondo teorema fondamentale del calcolo integrale, integrazione per parti [7.6, 7.7, 7.8].


Martedì 20 dicembre - XLVIII: Integrazione per sostituzione, integrale di funzioni pari/dispari, esercizi [7.9].
Mercoledì 21 dicembre - XLIX: Integrali impropri: definizioni, esempi e funzioni test [7.14].
Giovedì 22 dicembre - L: Integrali impropri: criteri di confronto e di confronto asintotico per funzioni di segno costante [7.15].
Venerdì 23 dicembre - LI: Integrali impropri: assoluta integrabilità come condizione sufficiente per l'integrabilità [7.16], esercizi.


Pausa Natalizia.



Martedì 10 gennaio - LII: Equazioni differenziali ordinarie (EDO): definizioni ed EDO lineari del primo ordine [9.1, 9.2]. (prof.ssa Pacchiarotti).
Mercoledì 11 gennaio - LIII: Struttura delle soluzioni delle EDO lineari ed EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee [9.3]. (prof.ssa Pacchiarotti).
Venerdì 13 gennaio - LIV: EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee nel caso di termini noti di tipo polinomiale, esponenziale e trigonometrico [9.4]. Problema di Cauchy [9.5]. (prof.ssa Pacchiarotti).


Martedì 17 gennaio - LV: EDO lineari nel caso in cui il termine noto sia somma di termini noti che si sanno trattare (linearità), equazioni nonlineari del primo ordine a variabili separabili [9.6]. Richiamo alla scomposizione in fattori irriducibili di un polinomio a coefficienti reali.
Mercoledì 18 gennaio - LVI: Integrazione di funzioni razionali e integrali ad essi riconducibili [7.11,7.12] .
Giovedì 19 gennaio - LVII: Integrali riconducibili ad integrali di funzioni razionali [7.12]. Esercizi sugli integrali impropri.
Venerdì 20 gennaio - LVIII: Esercizi sugli integrali impropri, con in particolare funzioni test che coinvolgono il logaritmo.
FINE CORSO