Calendario Analisi 1 - Canale 2 (Cb-D), Ingegneria
Università di Roma "Tor Vergata" a.a. 2021/22

Martedì 21 settembre - I: Presentazione del corso. Richiami di insiemistica e logica, numeri naturali, interi e razionali [paragrafi 1.1 e 1.2].
Mercoledì 22 settembre - II: Significato di contare: funzioni biiettive e cardinalità di N, Z, Q [1.7]. Non completezza dei razionali: non esiste r in Q t.c. r^2=2. Dimostrazioni per assurdo e per induzione [1.18]. Esercizi sull'induzione.
Giovedì 23 settembre - III: Esercizi sull'induzione e introduzione al binomio di Newton [1.19] (triangolo di Tartaglia) con richiami alla definizione e proprietà di sommatoria [1.17], fattoriale e coefficiente binomiale.
Venerdì 24 settembre - IV: Dimostrazione del binomio di Newton. Costruzione assiomatica dei numeri reali: R è un campo con un ordinamento che lo rende un campo ordinato, in cui vale la proprietà di Archimede e completo [1.2,1.3,1.4].


Martedì 28 settembre - V: Qualche osservazione sulla proprietà di Archimede: densità dei razionali nei reali; completezza dei numeri reali via assioma di Dedekind (o di completezza), maggioranti, minoranti, massimo, minimo ed esistenza del minimo dei maggioranti (se esistono) [1.4].
Mercoledì 29 settembre - VI: Estremi superiori e inferiori e loro caratterizzazione, non numerabilità di R (secondo procedimento diagonale di Cantor), esistenza della radice di 2 in R. [1.4]
Giovedì 30 settembre - VII: Qualche nozione sulla definizione di potenze, esponenziali e logaritmi [1.11, 1.12], con introduzione del concetto di funzione inversa [1.8].
Venerdì 1 ottobre - VIII: Fine richiamo sugli esponenziali e logaritmi [1.12]. Funzioni trigonometriche (solo introduzione) [1.13]. Valore assoluto [1.10].


Martedì 5 ottobre - IX: Funzioni arcsen, arccos, arctg [1.13]. Numeri complessi: proprietà di campo, forma algebrica o cartesiana, piano di Gauss, coniugato e modulo [1.16].
Mercoledì 6 ottobre - X: Numeri complessi: proprietà del coniugato e del modulo, distanza, forma trigonometrica o polare, forma esponenziale e formula di Eulero [1.16].
Giovedì 7 ottobre - XI: Numeri complessi: radici ennesime, scomposizione di un polinomio di secondo grado teorema fondamentale dell'algebra[1.16]. Esercizi sui numeri complessi.
Venerdì 8 ottobre - XII: Numeri complessi: teorema fondamentale dell'algebra e caso di polinomio a coefficienti reali [1.16]. Esercizi sui numeri complessi.


Martedì 12 ottobre - XIII: Esercizi sui numeri complessi. Successioni: definizioni (1.31, monotone, limitate ,...) ed esempi [2.1].
Mercoledì 13 ottobre - XIV: Limite di successioni, in particolare comportamento della successione aⁿ, al variare di a in R [2.2,2.3,2.4], un esercizio sui numeri complessi.
Giovedì 14 ottobre - XV: Proprietà dei limiti di successioni: criterio di Cauchy [2.13], unicità del limite, teorema di permanenza del segno, teoremi di confronto, "limitata per infinitesima" [2.5], esercizi (continuità della funzione seno).
Venerdì 15 ottobre - XVI: Successioni: algebra dei limiti, limiti degli esponenziali e delle potenze [2.5].


Martedì 19 ottobre - XVII: Successioni: limiti dei logaritmi [2.5] forme indeterminate [2.6,2.8].
Mercoledì 20 ottobre - XVIII: Successioni monotòne ammettono limite, numero di Nepero ed esercizi [2.9,2.10].
Giovedì 21 ottobre - XIX: Confronto tra infiniti [2.11], esercizi.
Venerdì 22 ottobre - XX: Esercizi sul confronto tra infiniti, con scrittura della formula di Stirling [2.11], sottosuccessioni (in particolare Teorema di Bolzano-Weierstrass). Introduzione ai limiti di funzioni con definizione di punti di accumulazione e di punti isolati [4.1]


Martedì 26 ottobre - XXI: Limiti di successioni con la radice ennesima. Limiti di funzioni: definizione, limiti da destra, da sinistra, per eccesso e per difetto, funzioni infinitesime e infinite in un punto [4.1].
Mercoledì 27 ottobre - XXII: Limiti di funzioni: teoremi analoghi a corrispndenti per successioni, per esempio unicità del limite, teoremi di permanenza del segno e teoremi do confronto, teorema ponte ed estensione di teoremi per successioni via teorema ponte, per esempio algebra dei limiti e limiti di funzioni elementari [4.2, 4.3].
Giovedì 28 ottobre - XXIII: Limiti di funzioni elementari, limiti notevoli, qualche altra proprietà elementare di limiti, limite delle funzioni composte/cambio di variabile nei limiti [4.3, 4.4, 4.5, 4.7].
Venerdì 29 ottobre - XXIV: Gerarchie di infiniti e di infinitesimi, simboli di Landau (solo per infinitesimi) [4.6, 4.8]. Continuità: definizione e proprietà elementari [5.1].


Martedì 2 novembre - XXV: Funzioni continue: lettura via successioni, permanenza del segno, continuità da destra e da sinistra, esempi con in particolare continuità del massimo e del minimo di due funzioni, punti di discontinuità, (dis)continuità delle funzioni monotone, controesempi per il teorema degli zeri [5.1, 5.2, 5.3].
Mercoledì 3 novembre - XXVI: Funzioni continue: dimostrazione del teorema degli zeri e corollario sulla soluzione di equazioni, teorema dei valori intermedi e corollario, funzioni invertibili e continue su intervalli sono monotone ed hanno inversa continua, con osservazioni sulla necessarietà delle ipotesi e conseguenze [5.3, 5.4]
Giovedì 4 novembre - XXVII: Funzioni continue: teorema di Weierstrass, asintoti, funzioni uniformemente continue, teorema di Heine-Cantor, funzioni pari e dispari [5.5, 5.6, 5.8, 1.6.2].
Venerdì 5 novembre - XXVIII: Qualche osservazione sugli asintoti. Derivata: definizioni, rette tangenti, derivabile implica continua ma il viceversa è falso, derivate delle funzioni elementari, la funzione derivata di una funzioni pari è una funzione dispari (e viceversa) [6.1, 6.2].


Martedì 9 novembre - XXIX: Rette tangenti vs limiti notevoli, algebra delle derivate, derivata di funzioni composte [6.2, 6.3].
Mercoledì 10 novembre - XXX: Derivata delle funzioni inverse, fine della derivazione di funzioni elementari, punti di non derivabilità con tangenti verticali, punti angolosi e cuspidi (derivata destra e derivata sinistra), ulteriori esempi di punti di non derivabilità, punti estremi e punti stazionari, teorema di Fermat [6.4, 6.5, 6.6, 6.7].
Giovedì 11 novembre - XXXI: Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy con interpretazione grafica ed esempi/controesempi, segno derivata e monotonia della funzione, due relazioni trigonometriche notevoli (sull'arcotangente e l'arcoseno) [6.8, 6.9, 6.10].
Venerdì 12 novembre - XXXII: Derivate successive, formula di Leibnitz (solo enunciato), funzioni concave e convesse [6.12, 6.13].


Martedì 16 novembre - XXXIII: Definizione dei flessi e studio di grafici di funzioni [6.13, 1.14, 6.14].
Mercoledì 17 novembre - XXXIV: Grafici di funzioni, funzioni iperboliche e loro inverse [6.14, 6.15].
Giovedì 18 novembre - XXXV: Teorema di de l'Hôpital [6.11].
Venerdì 19 novembre - XXXVI: Uso del Teorema di de l'Hôpital o Lagrange nel calcolo della derivata, Formula di Taylor con resto di Peano ed inizio dimostrazione [6.11, 6.16].


Martedì 23 novembre - XXXVII: Formula di Taylor e sviluppo di Maclaurin delle funzioni elementari, con resto di Peano [6.16].
Mercoledì 24 novembre - XXXVIII: Applicazioni del Teorema di Peano nello studio dei punti critici e sviluppo di funzioni composte [6.16, 6.17].
Giovedì 25 novembre - XXXIX: Sviluppo di Taylor per la derivata ed applicazione allo sviluppo dell'arcotangente, ulteriori sviluppi di funzioni composte [6.16].
Venerdì 26 novembre - XL: Sviluppo di Taylor con resto di Lagrange ed applicazioni in stime numeriche. Applicazioni del Teorema di Peano nel calcolo dei limiti [6.17, 6.19].


Martedì 30 dicembre - XLI: Limiti con lo sviluppo di Taylor [6.17]. Integrazione secondo Riemann (Darboux), prime definizioni [7.1].
Mercoledì 1 dicembre - XLII: Definizione dell'integrale di Riemann e criterio di integrabilità [7.1].
Giovedì 2 dicembre - XLIII: Equivalenza della definizione dell'integrale di Riemann via estremo superiore ed inferiore e via successioni di partizioni, additività dell'integrale rispetto al dominio di integrazione, integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue [7.1, 7.3].
Venerdì 3 dicembre - XLIV: Integrabilità delle funzioni continue a meno di un numero finito di punti, funzioni uguali a meno di un numero finito di punti hanno lo stesso integrale (se esiste), linearità e monotonia dell'integrale [7.3, 7.4].


Martedì 7 dicembre - XLV: Il valore assoluto di una funzione integrabile è integrabile, theorema della media integrale, funzione integrale e sua continuità, primo teorema fondamentale del calcolo integrale [7.4, 7.5].
Giovedì 9 dicembre - XLVI: Primitive e integrali indefiniti e unicità a meno di costanti, secondo teorema fondamentale del calcolo integrale, integrazione per parti [7.6, 7.7, 7.8].
Venerdì 10 dicembre - XLVII: Integrazione per sostituzione, integrale di funzioni pari/dispari, esercizi [7.9]


Martedì 14 dicembre - XLVIII: Integrazione delle funzioni razionali [7.11].
Mercoledì 15 dicembre - XLIX: Integrali riconducibili a integrale di funzioni razionali [7.12]. Integrali impropri, prime definizioni [7.14]
Giovedì 16 dicembre - L: Integrali impropri: definizioni, funzioni test e criterio di confronto per funzioni di segno costante [7.14, 7.15].
Venerdì 17 dicembre - LI: Integrali impropri: criteri di confronto asintotico, funzioni assolutamente integrabili [7.15, 7.16].


Martedì 21 dicembre - LII: Integrabile in senso improrpio non implica assolutamente integrabile in senso improprio, esercizi [7.16].
Mercoledì 22 dicembre - LIII: Equazioni differenziali ordinarie (EDO): definizioni ed EDO lineari del primo ordine [9.1, 9.2].
Giovedì 23 dicembre - LIV: Struttura delle soluzioni delle EDO lineari ed EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, nel caso di termini noti di tipo polinomiale, esponenziale e trigonometrico [9.3, 9.4].
Pausa Natalizia.


Martedì 11 gennaio - LV: EDO: problema di Cauchy ed equazioni nonlineari del primo ordine a variabili separabili [9.5, 9.6].
Mercoledì 12 gennaio - LVI: Esercizi di ricapitolazione.
Giovedì 13 gennaio - LVII: Esercizi di ricapitolazione.
Venerdì 14 gennaio - LVIII: Tutorato.


FINE CORSO