[E] = "Partial Differential Equations" - Second Edition di L.C. Evans, 2010.
[AP] = "A Primer of Nonlinear Analysis" di A. Ambrosetti e G. Prodi.
[S] = "Variational Methods" di M. Struwe, IV edizione, 2008.
- Lunedì 5 ottobre - I (3 ore): Presentazione del corso. Definizione di equazioni alle derivate parziali lineari, semilineari, quasilineari, completamente nonlineari ed esempi. Soluzioni classiche e problematica di esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati [Capitolo 1 di [E]]. Richiami sui teoremi di Gauss-Green, Green e divergenza. Equazione del trasporto lineare omogenea [2.1 [E]].
- Martedì 6 ottobre - II (2 ore): Equazione del trasporto lineare non-omogenea [2.1 [E]]. Equazione di Laplace: interpretazione fisica, costruzione della soluzione fondamentale su R^n, soluzione dell'equazione di Poisson intera: enunciato e inizio dimostrazione [2.2.1 [E]].
- Venerdì 9 ottobre - III: Soluzione dell'equazione di Poisson intera: fine dimostrazione [2.2.1 [E]]. Proprietà della media integrale sulle sfere e sulle palle per funzioni armoniche. Principio del massimo per equazioni armoniche [2.2.2 [E]]. Unicità delle soluzioni dell'equazione di Poisson [2.2.3 [E]].
- Lunedì 12 ottobre - IV: Richiamo alla definizione di regolarità del bordo di un aperto in R^n [C.1 [E]]. Introduzione alla funzione di Green e sua definizione [2.2.4 [E]]. Simmetria della funzione di Green (non dimostrato). Introduzione all'uso dei mollificatori [C.5 [E]].
- Martedì 13 ottobre - V: Regolarità di funzioni che verificano la proprietà del valor medio, stima delle derivate per funzioni armoniche (non dimostrato) e Teorema di Liouville, formula di rappresentazione per soluzioni limitate dell'equazione di Poisson, Teorema di Harnack [2.2.3 [E]]. Metodi di "energia" [2.2.5 [E]]. Equazione del calore: motivazione fisica e soluzione fondamentale [2.3 [E]].
- Venerdì 17 ottobre - VI: Equazione del calore: motivazione fisica [2.3 [E]]. Equazione del calore: soluzione fondamentale e soluzione del problema ai valori iniziali per l'equazione omogenea (enunciato, interpretazione intuitiva, osservazioni e prima parte dimostrazione) [2.3.1 [E]].
- Lunedì 19 ottobre - VII: Equazione del calore: fine dimostrazione della formula di rappresentazione per il problema ai valori iniziali per l'equazione omogenea [2.3.1 [E]]; soluzione dell'equazione del calore non omogenea [2.3.1 [E]].
- Martedì 20 ottobre - VIII: Media integrale (non dimostrata) e principio del massimo per l'equazione del calore, unicità delle soluzioni dell'equazione del calore sia nel caso dominio spaziale limitato che tutto Rn [2.3.2 e 2.3.3 [E]].
- Venerdì 23 ottobre - IX (1 ora): Regolarità delle soluzioni dell'equazione del calore [2.3.3 [E]].
- Lunedì 26 ottobre - X: Regolarità delle soluzioni dell'equazione del calore - fine dimostrazione [2.3.3 [E]]. Metodi di energia per l'equazione del calore [2.3.4 [E]]. Equazione delle onde, motivazioni fisiche e caso unidimensionale - prima parte [2.4.1 [E]].
- Martedì 27 ottobre - XI: Stima delle derivate per le soluzioni dell'equazione del calore [2.3.3 [E]]. Equazione delle onde: caso unidimensionale - seconda parte, metodo della riflessione su una semiretta, equazione di Eulero-Poisson-Darboux, introduzione alla soluzione dell'equazione omogenea su R3 per n=2,3 [2.4.1 [E]].
- Venerdì 30 ottobre - XII: Equazione delle onde: derivazione delle soluzione dell'equazione omogenea su Rn per n=2,3 e presentazione delle soluzioni per n>3 dispari [2.4.1 [E]].
- Lunedì 2 novembre - XIII: Equazione delle onde: soluzione dell'equazione omogenea su Rn per n>3 pari [2.4.1 [E]]. Problemi non omogenei [2.4.2 [E]]. Metodi di energia per l'equazione delle onde [2.4.3 [E]].
- Martedì 3 novembre - XIV: Unicità della soluzione per l'equazione delle onde [2.4.3 [E]]. Richiami/anticipi su spazi di Lebesgue [capitolo 5 [E]].
- Venerdì 6 novembre - XV: Richiami/anticipi su spazi di Lebesgue [capitolo 5 [E]].
- Lunedì 9 novembre - XVI: Richiami/anticipi su spazi di Sobolev - I [capitolo 5 [E]].
- Martedì 10 novembre - XVII: Compattezza di immersioni ed osservazioni su spazi di Lebesgue e di Sobolev. Formulazione debole per equazioni del secondo ordine ellittiche lineari [6.1 [E]].
- Venerdì 13 novembre - XVIII: Soluzioni deboli per equazioni del secondo ordine ellittiche lineari, Teorema di Lax-Milgram ed applicazioni all'esistenza di soluzioni deboli, lettura astratta via Lax-Milgram di equazioni ellittiche lineari "coercive" [6.2 [E]].
- Lunedì 16 novembre - XIX: Alternativa di Fredholm con richiami alla convergenza debole in spazi di Banach [D5 [E]] (cfr. anche Brezis, Functional Analysis).
- Martedì 17 novembre - XX: Fine dimostrazione alernativa di Fredholm ed applicazione ad operatori ellittici, continuità L2 per il risolvente di un'equazione ellittica senza risonanza [6.2 [E]]. Spettro di operatori ellittici [6.5 [E]].
- Venerdì 20 novembre - XXI: Risultati di regolarità [6.3 [E]]. Principi del massimo per operatori ellittici e Lemma di Hopf [6.4 [E]]. Introduzione al Calcolo delle Variazioni: variazione prima ed equazione di Eulero-Lagrange, esempi [8.1 [E]]. Problemi agli autovalori non lineari: vincoli [8.4 [E]]. Esistenza di minimi vincolati: enunciato [8.4 [E]].
- Lunedì 23 novembre - XXII: Esistenza di minimi vincolati: dimostrazione, moltiplicatori di Lagrange ed applicazioni alla soluzione dell'equazione di Laplace con nonlinearità omogenea polinomiale e sottocritica. [8.4 [E]].
- Martedì 24 novembre - XXIII: Caratterizzazione variazionale del primo autovalore dell'operatore di Laplace, esso è semplice e l'autovettore corrispondente ha segno costante. Vincoli unilaterali e disequazioni variazionali [8.4 [E]].
- Venerdì 27 novembre - XXIV: Esistenza di soluzioni tra soprasoluzione e sottosoluzioni [9.3 [E]]. Principio del massimo per l'equazione del calore [7.1 [E]].
- Lunedì 30 novembre - XXV: Fenomeni di blow-up per equazione del calore nonlineari con dimostrazione nel caso di nonlinearità quadratica; identità di Pohozaev [9.4 [E]].
- Martedì 1 dicembre - XXVI: Nonesistenza di soluzioni per il problema ellittico nonlineare modello a crescita critica e sopracritica [9.4 [E]]. Esercizi su esistenza di soluzione per alcune equazioni ellittiche e proprietà geometriche delle soluzioni di una di esse: insiemi di livello stellati [9.5 [E]].
- Venerdì 4 dicembre - XXVII: Differenziale di Frechét per funzioni tra spazi di Banach: definizione, unicità ed esempi, invarianza del differenziale di Frechét per norme equivalenti, regola della catena, definizione di funzionali ed operatori variazionali, gradiente e sua dipendenza dal prodotto scalare, [1.1 [AP]].
- Venerdì 11 dicembre - XXVIII: Calcolo differenziale: differenziale di Gâteaux, disuguaglianza di Lagrange, teorema del differenziale totale, esempi di calcolo di derivate successive in spazi funzionali [1.1 [AP]].
- Lunedì 14 dicembre - XXIX: Esempi di calcolo di derivate successive in spazi funzionali, teorema di inversione locale ed una applicazione ad equazioni differenziali (risultati perturbativi) [1.1 [AP]]. Operatori di Nemytskii - buona posizione [1.2 [AP]].
- Martedì 15 dicembre - XXX: Operatori di Nemytskii - differenziabilità [1.2 [AP]].
- Venerdì 18 dicembre - XXXI: Operatori di Nemytskii - casi particolari [1.2 [AP]]. Impostazioni variazionale per equazioni ellittiche non autonome sotto opportune ipotesi di crescita. Esistenza di soluzioni per equazioni ellittiche con nonlinearità sottolineare.
- Lunedì 21 dicembre - XXXII: Introduzione ai metodi topologici nel calcolo delle variazioni: condizione di Palais-Smale e Lemma di Deformazione [II.2 e II.3 [S]] ed [8.5 [E]].
- Venerdì 8 gennaio 2021 - XXXIII: Teorema del passo montano di Ambrosetti-Rabinowitz, Lemma di compattezza per nonlinearità sottocritiche su aperti limitati. Proposizione astratta sulla validità della (PS) per operatori del tipo applicazione lineare continua invertibile più operatore compatto [II.6 [S]] e [8.5 [E]].
- Lunedì 11 gennaio 2021 - XXXIV: Applicazione del teorema di passo montano ad equazioni ellittiche [II.6 [S]] e [8.5 [E]] Introduzione alle varietà di Nehari ed a problemi con termine lineare di ordine 0 (potenziale nell'equazione di Schroedinger associata).
- Martedì 12 gennaio 2021 - XXXV: Introduzione a problemi su domini illimitati, problema degli autovalori nonlineare. - Foto
FINE CORSO