Analisi Reale e Complessa - I Parte (analisi reale)   A.A. 2017-2018
Corso di laurea in Matematica, Università di Roma "Tor Vergata"


Scopo di questa pagina è cercare di dare un quadro del corso e rispondere a tutti gli eventali dubbi sulla sua organizzazione. Siete pregati di leggerla per avere informazioni su programmi, testi, modalità esame, etc. Nel caso mi giungano domande la cui risposta è contenuta qui e mi trovi oberato con altri compiti da svolgere, mi riservo di non rispondere alle richieste ridondanti.
La costituzione.


In evidenza Gli orali saranno al mattino in aula Dal Passo ed al pomeriggio in Sala Comune.
Pagina aggiornata al 6 marzo 2018



Versioni a piena risoluzione delle foto: 1, 2, 3, 4, 5.


Docenti - Ricevimenti

I titolari del corso sono i Prof. Riccardo Molle che curerà la prima parte (analisi reale) e la Prof.ssa Laura Geatti che curerà la seconda parte (analisi complessa).
Per il ricevimento studenti relativamente ad analisi reale contattare via e-mail il docente (molle@mat.uniroma2.it) per fissare l'orario.

Per chi fosse interessato può contattarmi per avviare un Erasmus presso l'Università di Parigi-Est - Créteil Val-de-Marne.



Orario e programma

Il corso è di 8 crediti (circa 64 ore ripartite in 32 dedicate alla parte reale e 32 alla parte complessa).
La parte complessa inizierà il 20 novembre.

Le lezioni si svolgeranno in Aula 11 con il seguente orario:
  • lunedì dalle 11:15 alle 13:00,
  • martedì dalle 16:00 alle 18:00: tutorato,
  • mercoledì dalle 11:15 alle 13:00,
  • giovedì dalle 9:00 alle 10:45.
  • Ci sarà qualche minuto di pausa tra le due ore delle lezioni in cui gli studenti potranno porre i loro quesiti al docente.
    Il 1/4 d'ora accademico è stato inserito direttamente nell'orario. Verranno pertanto rispettati gli orari effettivi sopra scritti.

    Durante il corso ci saranno 8 ore di tutorato.

    La parte reale tratterà i seguenti argomenti:
    -) richiami sulla topologia di Rn e sull'integrale di Riemann,
    -) la misura di Lebesgue,
    -) funzioni misurabili secondo Lebesgue,
    -) integrale di Lebesgue,
    -) integrazione su prodotti cartesiani,
    -) cambiamento di variabile negli integrali,

    La seconda parte del programma sarà così articolata:
    Numeri complessi, le funzioni exp, sin, cos e logaritmo sui complessi. Derivate parziali rispetto alla variabile complessa ed il suo coniugato. Integrali curvilinei complessi. Forme differenziali chiuse ed esatte, la forma f(z)dz. Funzioni olomorfe, condizione di Cauchy-Riemann. Esempi di funzioni olomorfe, tra quali le serie di potenze. Funzioni armoniche, armoniche coniugate. Teorema integrale di Cauchy, primitive di funzioni olomorfe. Formula integrale di Cauchy. Sviluppo locale delle funzioni olomorfe in serie di potenze. Disuguaglianze di Cauchy, teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'Algebra. Il principio dell'unicità per funzioni olomorfe. Teorema di Morera. Molteplicità degli zeri di funzioni olomorfe. L'inversione delle funzioni olomorfe. Teorema dell'applicazione aperta. Principio del massimo. Teorema di convergenza di Weierstrass. Teorema di Montel. Punti singolari isolati, sviluppo in serie di Laurent, classificazione delle singolarità. Residui, Funzioni meromorfe, principio dell'argomento. Teorema dei residui. Calcolo di integrali col metodo dei residui. Funzioni biolomorfe, teorema della mappa di Riemann.

    Per il dettaglio del programma svolto lezione per lezione si potrà consultare il CALENDARIO DEL CORSO.



    Testi

    In linea di massima il corso seguirà un libro classico su questa materia:
    *) "Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis" di Richard L. Wheeden e Antoni Zygmund, second edition, CRC press 2015.

    Per la parte sul cambiamento di variabile seguiremo invece
    *) "Measure Theory", di Donald L. Cohn, Springer, 2013.

    Si possono consultare anche le Dispense Analisi reale e complessa di Claudio Rea.

    Per la parte complessa consultare la bibliografia sulla pagina web dedicata.

    I libri verranno integrati con osservazioni a lezione e note.
    Comunque, gli argomenti trattati durante il corso sono istituzionali per cui si può reperire una gran mole di materiale di studio su Internet, sì da soddisfare tutti i gusti. In particolare è possibile trovare una gran quantità di esercizi, anche svolti, per fare un po' di pratica con i concetti presentati in questo corso.



    Modalità d'esame

    Un informazione per chi si iscrive con la cautelativa: apriremo un'iscrizione all'esame anche per il corso dello scorso anno e l'esame stesso, nel caso superato, verrà regolarmente verbalizzato come esame dello scorso anno senza necessità di reiscrizione.

    L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale.
    La prova scritta dura 3 ore.
    Durante la prova scritta non si può consultare alcun testo e/o appunto, non si possono usare calcolatrici e non si possono avere cellulari/smartphone .... .
    Lo scritto si ritiene superato se si ha un voto maggiore o uguale a 18.

    La prova orale (alla lavagna) può essere sostenuta solo nella sessione in cui si è superata la prova scritta. Per intendersi, nella prima sessione si può passare lo scritto al primo appello e sostenere l'orale al secondo appello ma non al terzo, che ricade nella sessione estiva.

    Ci sarà un esonero alla fine della parte Analisi Reale, nella settimana 13-17 novembre, e ce ne sarà uno alla fine della parte Analisi Complessa.
    Gli studenti che superano gli esoneri con un voto maggiore o uguale a 18 in ENTRAMBE le prove possono sostenere la prova orale SOLAMENTE nella sessione invernale (tutti gli appelli della sessione).
    Chi passa un solo esonero può recuperare l'esonero non passato SOLO durante il primo scritto del primo appello della sessione invernale.



    Qualche link interessante e materiale didattico

    In questa sezione sono contenuti link a pagine collegate a questo corso, esercizi ed eventuali soluzioni degli stessi. Si segnala che nel caso sia stato scritto qualche svolgimento ad esercizi proposti in questo o nel passato anno accademico, esso sarà reperibile in questa sezione o seguendo i link qui presentati.

  • Testi dei tutorati: I (10 ottobre), II (17 ottobre), III (24 ottobre), IV (31 ottobre), V (13 novembre).
  • Corso corrispondente tenuto nell'anno accademico 2016/17 (che seguiremo).
  • Dispense Analisi reale e complessa di Claudio Rea.
  • In questo articolo del 1970 si può trovare un modello di teoria insiemistica che non preveda l'assioma della scelta in cui ogni insieme è Lebesgue misurabile (cioè non è possibile costruire insiemi non misurabili).
  • Un enunciato per la derivazione sotto il segno di integrale.
  • Per una versione più generale del teorema di cambiamento di variabile di quella vista a lezione si può vedere il Teorema 6.7.6 negli appunti di Analisi Funzionale del Prof. Acquistapace: link.
  • Esercizio: sia d in (0,1). Verificare che esiste un insieme E in [0,1] non misurabile tale che |E|_e=d.
  • Esercizio con esempio di funzione in L1 illimitata nell'intorno di un qualunque punto.




  • Esami

    ESONERO ANALISI REALE (15 NOVEMBRE 2017):
    Testo,
    Nel seguente esercizio si trova un esempio di una funzione in L1 illimitata nell'intorno di un qualunque punto, quindi nell'esercizio (3) dell'esonero non si poteva supporre supporre la funzione limitata in alcun intervallo.
    risultati.

    PRIMO APPELLO (1 febbraio 2018):
    Testo
    risultati.

    SECONDO APPELLO (27 febbraio 2018):
    Testo
    risultati.

    TERZO APPELLO (bo giugno 2018):
    Testo
    risultati.

    QUARTO APPELLO (bo SETTEMBRE 2018):
    Testo
    risultati.