Analisi Reale e Complessa - I Parte (analisi reale)   A.A. 2016-2017
Corso di laurea in Matematica, UniversitÓ di Roma "Tor Vergata"


La matematica è una delle manifestazioni più significative dell'amore per la sapienza. Come tale è caratterizzata da un lato da una grande libertÓ, dall'altro dall'intuizione che il mondo è fatto di cose visibili e invisibili e la matematica ha forse una capacità, unica fra le altre scienze, di passare dall'osservazione delle cose visibili all'immaginazione delle cose invisibili. Questo forse è il segreto della forza della matematica.  (E. De Giorgi)

La costituzione.


Per chi fosse interessato pu˛ contattarmi per avviare un Erasmus presso l'UniversitÓ di Parigi-Est - CrÚteil Val-de-Marne.




IL CORSO ╚ FINITO.

Pagina aggiornata al 26 settembre 2017


Docenti - Ricevimenti

I titolari del corso sono i Prof. Riccardo Molle che curerà la prima parte (analisi reale) e la Prof.ssa Laura Geatti che curerà la seconda parte (analisi complessa).
Per il ricevimento studenti relativamente ad analisi reale contattare via e-mail il docente (molle@mat.uniroma2.it) per fissare l'orario.

Per chi fosse interessato può contattarmi per avviare un Erasmus presso l'Università di Parigi-Est - CrÚteil Val-de-Marne.



Orario e programma

Il corso è di 8 crediti (circa 64 ore ripartite in 36 dedicate alla parte reale e 28 alla parte complessa).

Le lezioni si svolgeranno in Aula 11 con il seguente orario:
  • martedý dalle 11:00 alle 13:00,
  • mercoledý dalle 9:00 alle 11:00,
  • venerdý dalle 9:00 alle 11:00.
  • Ci sarà il 1/4 d'ora accademico prima dell'inizio della lezione e qualche minuto di pausa tra le due ore delle lezioni in cui gli studenti potranno porre i loro quesiti al docente.

    Durante il corso ci saranno 10 ore di tutorato. Al tutorato è dedicato il seguente orario:
  • martedì dalle 16:00 alle 18:00, aula 11,
  • il tutorato inzierà alle 16:00 precise.

    La parte reale tratterà i seguenti argomenti:
    -) richiami sulla topologia di R^n e sull'integrale di Riemann,
    -) la misura di Lebesgue,
    -) funzioni misurabili secondo Lebesgue,
    -) integrale di Lebesgue,
    -) integrazione su prodotti cartesiani,
    -) cambiamento di variabile negli integrali,
    -) rudimenti sugli spazi Lp.

    La seconda parte del programma sarÓ cosý articolata:
    Numeri complessi, le funzioni exp, sin, cos e logaritmo sui complessi. Derivate parziali rispetto alla variabile complessa ed il suo coniugato. Integrali curvilinei complessi. Forme differenziali chiuse ed esatte, la forma f(z)dz. Funzioni olomorfe, condizione di Cauchy-Riemann. Esempi di funzioni olomorfe, tra quali le serie di potenze. Funzioni armoniche, armoniche coniugate. Teorema integrale di Cauchy, primitive di funzioni olomorfe. Formula integrale di Cauchy. Sviluppo locale delle funzioni olomorfe in serie di potenze. Disuguaglianze di Cauchy, teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'Algebra. Il principio dell'unicitÓ per funzioni olomorfe. Teorema di Morera. MolteplicitÓ degli zeri di funzioni olomorfe. L'inversione delle funzioni olomorfe. Teorema dell'applicazione aperta. Principio del massimo. Teorema di convergenza di Weierstrass. Teorema di Montel. Punti singolari isolati, sviluppo in serie di Laurent, classificazione delle singolaritÓ. Residui, Funzioni meromorfe, principio dell'argomento. Teorema dei residui. Calcolo di integrali col metodo dei residui. Funzioni biolomorfe, teorema della mappa di Riemann.

    Per il dettaglio del programma svolto lezione per lezione si potrà consultare il CALENDARIO DEL CORSO.



    Testi

    In linea di massima il corso seguirà un libro classico su questa materia:
    *) "Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis" di Richard L. Wheeden e Antoni Zygmund, Marcel Dekker, 1977.

    Per la parte sul cambiamento di variabile seguiremo invece
    *) "Measure Theory", di Donald L. Cohn, Springer, 2013.

    Si possono consultare anche le Dispense Analisi reale e complessa di Claudio Rea.

    Per la parte complessa verrà utilizzato il libro
    *) "Complex Analysis", di Ian Stewart e David Tall, Cambridge University Press, 1990.

    I libri verranno integrati con osservazioni a lezione e note.
    Comunque, gli argomenti trattati durante il corso sono istituzionali per cui si può reperire una gran mole di materiale di studio su Internet, sì da soddisfare tutti i gusti. In particolare è possibile trovare una gran quantità di esercizi, anche svolti, per fare un po' di pratica con i concetti presentati in questo corso.



    ModalitÓ d'esame

    L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale.
    La prova scritta dura 3 ore.
    Durante la prova scritta non si può consultare alcun testo e/o appunto, non si possono usare calcolatrici e non si possono avere cellulari/smartphone .... .
    Lo scritto si ritiene superato se si ha un voto maggiore o uguale a 18.

    La prova orale (alla lavagna) può essere sostenuta solo nella sessione in cui si è superata la prova scritta.

    C'è stato un esonero alla fine della parte Analisi Reale (l'11 novembre) e ce ne sarà uno alla fine della parte Analisi Complessa.
    Gli studenti che superano gli esoneri con un voto maggiore o uguale a 18 in ENTRAMBE le prove possono sostenere la prova orale SOLAMENTE nella sessione invernale (tutti gli appelli della sessione).
    Chi passa un solo esonero può recuperare l'esonero non passato SOLO durante il primo scritto del primo appello della sessione invernale.



    Qualche link interessante e materiale didattico

    In questa sezione sono contenuti link a pagine collegate a questo corso, esercizi ed eventuali soluzioni degli stessi. Si segnala che nel caso sia stato scritto qualche svolgimento ad esercizi proposti in questo o nel passato anno accademico, esso sarà reperibile in questa sezione o seguendo i link qui presentati.

  • Testi dei tutorati: I (4 ottobre), II (11 ottobre); III (18 ottobre); IV (25 ottobre); V (8 novembre).
  • In questo articolo del 1970 si può trovare un modello di teoria insiemistica che non preveda l'assioma della scelta in cui ogni insieme è Lebesgue misurabile (cioè non è possibile costruire insiemi non misurabili).
  • Corso corrispondente tenuto nell'anno accademico 2015/16 (che seguiremo).
  • Dispense Analisi reale e complessa di Claudio Rea.
  • Esercizio: costruire un insieme non misurabile nello spazio n-dimensionale (suggerimento: adattare la costruzione dell'insieme di Vitali che si trova sul [Rea] al caso n-dimensionale).
  • Esercizio: fissato un numero d>0, costruire un insieme non misurabile nei reali di misura esterna d.
  • Derivazione sotto il segno di integrale.
  • Per una versione pi¨ generale del teorema di cambiamento di variabile di quella vista a lezione si pu˛ vedere il Teorema 6.7.6 negli appunti di Analisi Funzionale del Prof. Acquistapace: link.
  • Corso di ARC tenuto nell'anno accademico 2014/15 dal Prof. Zsidˇ contenente esercizi interessanti sui teoremi di Fubini e Tonelli, nelle prove d'esame.
  • Un esempio che mostra come la misura esterna non sia finitamente additiva.




  • Esami

    ESONERO ANALISI REALE (11 NOVEMBRE 2016):
    Testo, soluzione primo esercizio,
    risultati.

    PRIMO APPELLO (6 febbraio 2017):
    Testo
    risultati.

    SECONDO APPELLO (23 febbraio 2017):
    Testo
    risultati
    Soluzione primo esercizio: si pone A'=1-A e risulta che A' è contenuto in [0,1]; se per assurdo la tesi fosse falsa risulterebbe B intersecato A' = vuoto e quindi, considerando le ipotesi, |B∪A'| =|B|+|A|>1 (verificare che |A'| = |A|), in contraddizione con A' unito B contenuto in [0,1].

    TERZO APPELLO (17 luglio 2017):
    Testo
    risultati.

    QUARTO APPELLO (7 SETTEMBRE 2017):
    Testo
    risultati.