Analisi Reale e Complessa - I Parte (analisi reale)   A.A. 2015-2016
Corso di laurea in Matematica, Università di Roma "Tor Vergata"


Ad un'osservazione superficiale la matematica dà l'impressione di essere il risultato degli sforzi individuali separati di molte migliaia di studiosi in continenti ed epoche diversi. La logica interna del suo sviluppo, però, assomiglia molto di più all'opera di un singolo intelletto, che sviluppa il suo pensiero in modo continuo e sistematico, usando le differenti individualità umane solo come mezzi. Fa pensare ad una orchestra che esegua una sinfonia di un qualche autore. Il tema passa da uno strumento all'altro e quando uno strumentista termina la sua parte, questa viene ripresa da un altro esecutore che la sviluppa seguendo le indicazioni dello spartito. (I.R. Shafarevich)

La costituzione.



Per chi fosse interessato può contattarmi per avviare un Erasmus presso l'Università di Parigi-Est - Créteil Val-de-Marne.



IL CORSO È FINITO.

Pagina aggiornata al 22 settembre 2016


La nostra classe


Versione a piena risoluzione.

Docenti - Ricevimenti

I titolari del corso sono i Prof. Riccardo Molle che curerà la prima parte (analisi reale) e la Prof.ssa Laura Geatti che curerà la seconda parte (analisi complessa).
Per il ricevimento studenti relativamente ad analisi reale contattare via e-mail il docente (molle@mat.uniroma2.it) per fissare l'orario.



Orario e programma

Il corso è di 8 crediti, di cui 5 (circa 40 ore - 20 lezioni) riservati alla parte reale e 3 (circa 24 ore) alla parte complessa.

Le lezioni si svolgeranno in Aula 11 con il seguente orario:
  • lunedì dalle 9:00 alle 11:00,
  • martedì dalle 14:00 alle 16:00,
  • venerdì dalle 9:00 alle 11:00.
  • Ci sarà qualche minuto di pausa tra le due ore delle lezioni in cui gli studenti potranno porre i loro quesiti al docente.

    Durante il corso ci saranno 10 ore di tutorato. Al tutorato è dedicato il seguente orario:
  • venerdì dalle 14:00 alle 16:00, aula 11.
  • Verranno indicate per tempo su questa pagina le date previste per il tutorato.

    La parte reale tratterà i seguenti argomenti:
    -) richiami sulla topologia di R^n e sull'integrale di Riemann,
    -) la misura di Lebesgue,
    -) funzioni misurabili secondo Lebesgue,
    -) integrale di Lebesgue,
    -) integrazione su prodotti cartesiani,
    -) cambiamento di variabile negli integrali,
    -) rudimenti sugli spazi Lp.

    La seconda parte del programma sarà così articolata:
    Numeri complessi, le funzioni exp, sin, cos e logaritmo sui complessi. Derivate parziali rispetto alla variabile complessa ed il suo coniugato. Integrali curvilinei complessi. Forme differenziali chiuse ed esatte, la forma f(z)dz. Funzioni olomorfe, condizione di Cauchy-Riemann. Esempi di funzioni olomorfe, tra quali le serie di potenze. Funzioni armoniche, armoniche coniugate. Teorema integrale di Cauchy, primitive di funzioni olomorfe. Formula integrale di Cauchy. Sviluppo locale delle funzioni olomorfe in serie di potenze. Disuguaglianze di Cauchy, teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'Algebra. Il principio dell'unicità per funzioni olomorfe. Teorema di Morera. Molteplicità degli zeri di funzioni olomorfe. L'inversione delle funzioni olomorfe. Teorema dell'applicazione aperta. Principio del massimo. Teorema di convergenza di Weierstrass. Teorema di Montel. Punti singolari isolati, sviluppo in serie di Laurent, classificazione delle singolarità. Residui, Funzioni meromorfe, principio dell'argomento. Teorema dei residui. Calcolo di integrali col metodo dei residui. Funzioni biolomorfe, teorema della mappa di Riemann.

    Per il dettaglio del programma svolto lezione per lezione si potrà consultare il CALENDARIO DEL CORSO.



    Modalità d'esame

    L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale.
    La prova scritta dura 3 ore.
    Durante la prova scritta non si può consultare alcun testo e/o appunto, non si possono usare calcolatrici e non si possono avere cellulari/smartphone .... .
    Lo scritto si ritiene superato se si ha un voto maggiore o uguale a 18.

    La prova orale (alla lavagna) può essere sostenuta solo nella sessione in cui si è superato la prova scritta.

    Ci sarà un esonero alla fine della parte Analisi Reale (orientativamente tra il 20 e il 24 novembre) ed uno alla fine della parte Analisi Complessa.
    Gli studenti che superano gli esoneri con un voto maggiore o uguale a 18 in ENTRAMBE le prove possono sostenere la prova orale SOLAMENTE nella sessione invernale.



    Testi

    In linea di massima il corso seguirà un libro classico su questa materia:
    *) "Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis" di Richard L. Wheeden e Antoni Zygmund, Marcel Dekker, 1977.

    Per la parte sul cambiamento di variabile seguiremo invece
    *) "Measure Theory", di Donald L. Cohn, Springer, 2013.

    Si possono consultare anche le Dispense Analisi reale e complessa di Claudio Rea.

    Per la parte complessa verrà utilizzato il libro
    *) "Complex Analysis", di Ian Stewart e David Tall, Cambridge University Press, 1990.

    I libri verranno integrati con osservazioni a lezione e note.
    Comunque, gli argomenti trattati durante il corso sono istituzionali per cui si può reperire una gran mole di materiale di studio su Internet, sì da soddisfare tutti i gusti. In particolare è possibile trovare una gran quantità di esercizi, anche svolti, per fare un po' di pratica con i concetti presentati in questo corso.



    Qualche link interessante e materiale didattico

  • Testi dei tutorati: I (9 ottobre); II (16 ottobre) (soluzione di un punto); III (30 ottobre), (qui c'è la soluzione dell'ultimo esercizio); IV (6 novembre); V (13 novembre).

  • Esercizi e complementi dell'incontro del 16 novembre.
  • Esercizi della lezione del 10 novembre.
  • Corso di ARC tenuto nell'anno accademico 2014/15 dal Prof. Zsidó (a cui ci ispirereremo).
  • Link al sito relativo alla parte complessa di questo corso.
  • La misura di un insieme.
  • Per una versione più generale del teorema di cambiamento di variabile di quella vista a lezione si può vedere il Teorema 6.7.6 negli appunti di Analisi Funzionale del Prof. Acquistapace: link.



  • Esami

    ESONERO ANALISI REALE (20 NOVEMBRE 2015):
    Testo,
    soluzioni,
    risultati.

    ESONERO ANALISI COMPLESSA:
    Testo e soluzione,
    risultati.


    PRIMO APPELLO (26 gennaio 2016):
    Testo esame, testo recupero esonero Analisi Reale.
    risultati esame; risultati recupero esonero.

    SECONDO APPELLO (10 febbraio 2016):
    Testo esame,
    risultati esame.

    TERZO APPELLO (21 giugno 2016):
    Testo esame,
    risultati esame.

    QUARTO APPELLO (20 settembre 2016):
    Testo esame,
    risultati esame.