"Appunti sparsi" forse utili per il modulo di
METODI NUMERICI PER L'ASTRONOMIA
nell'ambito del MASTER di II livello in SCIENZA e TECNOLOGIA SPAZIALE

  1. Richiami riguardanti il formalismo Hamiltoniano.
  2. Il problema ristretto dei tre corpi; punti di equilibrio Lagrangiani; espansioni della Hamiltoniana nei pressi di L4/L5; diagonalizzazione dell'approssimazione lineare.
  3. Metodi di forma normale: serie di Lie, costruzione parziale della forma normale di Birkhoff; stima esponenziale del resto; calcolo approssimato di orbite.
    • La discussione fatta a lezione è (abbondantemente) trattata nel cap. 8 degli Appunti di Meccanica Celeste del prof. A. Giorgilli (anche il seguente cap. 9 potrebbe risultare estremamente interessante).
  4. Metodi di rappresentazione delle espansioni al calcolatore: indicizzazione per funzioni polinomiali; calcolo esplicito delle forme normali.
    • La trattazione fatta a lezione è simile a quanto viene esposto in questo testo (che, purtroppo, è ancora in forma estremamente provvisoria).
  5. Algoritmi simplettici per l'integrazione numerica di sistemi di equazioni differenziali Hamiltoniane: breve descrizione di una famiglia di metodi simplettici introdotti da Laskar e Robutel; ordine di approssimazione dei metodi SBAB3 e SBAB3C. Cenni alle proprietà dei metodi simplettici.
    • Come esercizio di programmazione in C, si consiglia di verificare numericamente che il metodo simplettico SBAB3C è del quarto ordine, controllando la conservazione dell'energia per il modello di Henon e Heiles. Un programma che effettua tale verifica numerica è il seguente: A lezione, la scrittura del suddetto programma è stata consigliata, in modo tale da completare lo schema presente nel file Inoltre, per poter funzionare, il suddetto programma deve essere eseguito all'interno di una directory (=cartella) che contiene anche il seguente file di input:
    • Come ulteriore esercizio di programmazione in C, si consiglia di modificare henon-heiles-sbab3c.c, in modo tale da mettere a punto un altro programma che determina le sezioni di Poincaré per il modello di Henon e Heiles. Un programma che determina numericamente le orbite delle sezioni di Poincaré è il seguente: Inoltre, per poter funzionare, il suddetto programma deve essere eseguito all'interno di una directory (=cartella) che contiene anche il seguente file di input: il quale contiene i valori dei parametri e delle condizioni iniziali che individuano l'orbita. Al termine della sua esecuzione, il programma henon-heiles-sez-poin.c trascrive i punti dell'orbita richiesta nel file di output il quale a sua volta può essere facilmente visualizzato, ad esempio, grazie al programma gnuplot, digitando la seguente istruzione (all'interno della riga di comando di gnuplot):
        plot 'henon-heiles-sez-poin.out' with dots
      In tal modo, si produce una figura simile a quella nel file henon-heiles-sez-poin.png. Si osservi che, cambiando opportunamente alcuni valori nel file di input henon-heiles-sez-poin.inp, si possono visualizzare tutte le orbite raffigurate nelle esplorazioni numeriche del modello di Henon e Heiles, che sono riportate nel cap. 6 delle Note di Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni del prof. A. Giorgilli.