Esercizio 5.6(b).
PRIMO MODO (diretto)
Siccome A e' chiuso, e disgiunto da B, allora per ogni b in B esiste un e(b)>0 tale che la palla
B_e(b)(b)
di centro b e raggio e(b) e' disgiunta da A.
Per ogni b in B, sia e(b) come sopra, e sia f(b)=e(b)/2. Al variare di b in B, l'insieme delle palle
B_f(b)(b)
e' un ricoprimento di B, dunque ammette un sottoricoprimento finito, siccome B e' compatto. Sia quindi
B₁= B_f(b1)(b₁), ... , B_n= B_f(bn)(b_n)
un ricoprimento finito di B.
Usando la disuguaglianza triangolare, si dimostra che, se b sta in B_i, allora B_f(bi)(b) e' contenuta in B_e(bi)(b_i). Infatti, se c sta in B_f(bi)(b), allora d(c,b) < f(b_i); inoltre, d(b, b_i) < f(b_i), poiche' b sta in B_i, quindi d(c, b_i) minore o uguale a d(c,b)+d(b, b_i) < f(b_i)+ f(b_i)= e(b_i). (fate un disegno!)
Dimostro adesso che, se b sta in B_i, ed a sta in A, allora d(a,b) e' maggiore o uguale a f(b_i). Infatti, siccome A e' disgiunto da B_e(bi)(b_i), e B_f(bi)(b) e' contenuta in B_e(bi)(b_i), allora d(a,b) e' maggiore o uguale a f(b_i).
Siccome B₁, ... , B_n e' un ricoprimento di B, per ogni b in B esiste un i tale che b sta in B_i, e quindi d(a,b) e' maggiore o uguale a f(b_i), per ogni a in A.
In conclusione, per ogni b in B ed a in A, d(a,b) e' maggiore o uguale ad inf{ f(b₁), ... , f(b_n) }>0 (l'inf e' >0 poiche prendo il minimo di un insieme finito di numeri maggiori di zero).
Questo significa esattamente che d(A,B)>0.

SECONDO MODO (usando definizione equivalente di compattezza)
Supponiamo per assurdo che d(A,B)=0.
Ma, siccome A e B sono disgiunti, d(a,b)>0, per ogni a in A e b in B.
Questo significa che, per ogni e>0, esistono a in A e b in B tali che d(a,b) In particolare, per ogni naurale n>0, esistono a_n in A e b_n in B tali che d(a_n, b_n) < 1/n.
Siccome B e' compatto,(b_n|n >0) possiede una sottosuccessione convergente in B. Supponiamo che questa sottosuccessione converga a b. Siccome A e' chiuso, c'e' una palla B_e(b) di raggio e>0 e centro b che e' disgiunta da A. Per ogni f< e, esiste un n tale che b_n sta in B_f(b), ma nessun a_n sta in B_f(b). Da questo, e dall'ipotesi che d(a_n, b_n) diventa piu' piccola di qualunque numero positivo a piacere, si ottiene una contraddizione. (verificare)

TERZO MODO
Dimostrare prima che, per ogni spazio metrico X, e per ogni sottoinsieme A di X, la funzione f:X in R definita da
f(x)=d({x},A)
e' continua (suggerimento: dimostrare che |d({x},A) - d({y},A)| minore o uguale a d(x,y), per ogni x e y in X).
Sotto le ipotesi dell'esercizio, se A e' chiuso, d({b},A) >0, per ogni b in B. La restrizione di f a B e' continua da un compatto verso R, quindi assume minimo, e, per quanto sopra, il minimo e' maggiore di 0.