(da controllare)
La soluzione compare come esempio all'inizio del Capitolo 25 del libro di Kosniowski.

Naturalmente, la prima parte dell'esercizio (gruppo fondamentale del toro meno un punto) si puo' calcolare essa stessa mediante il teorema di Seifert Van-Kampen.
Se S e S' sono due circonferenze ortogonali nel toro T, allora U=T-S e U'=T-S' sono entrambi cilindri, quindi il loro gruppo fondamentale e' Z (questi U e U' NON sono gli stessi U₁ e U₂ del Capitolo 25 del libro di Kosniowski).
U unione U' e' proprio il toro meno un punto, U intersecato U' e' (0,1) x (0, 1), quindi semplicemente connesso, quindi per Seifert Van-Kampen il gruppo fondamentale del toro meno un punto e' Z*Z.

Come si spiega intuitivamente la differenza fra il gruppo fondamentale del toro e del toro meno un punto?
In questa gif animata da mathworld si mostra come il gruppo fondamentale del toro sia commutativo. Se α₁ e' il cammino segnato in blu al momento iniziale, e α₂ e' quello segnato in rosso, l'immagine animata mostra un'omotopia da α₁ * α₂ a α₂ * α₁.
Il cammino, in questa omotopia, "spazza" tutta la superficie del toro; in sostanza, per poter avere questa omotopia, devo poter "disporre" di tutta la superficie del toro. Questo spiega perche', se tolgo un punto al toro, la commutativita' cessa di valere.

Se G e H sono gruppi, il loro prodotto libero G*H e' (a meno di una relazione di equivalenza) l'insieme delle sequenze finite (o "parole") costituite da elementi appartenenti a G unione H (e' comodo supporre che G ed H siano disgiunti, questo si puo' sempre fare, a meno di isomorfismi). Ad esempio, hgh₁g₁h₂ e' un elemento di G*H.
Dentro G*H si possono "sviluppare tutti i prodotti possibili", ad esempio se g₁ e g₂ sono elementi di G e g₁g₂= g₃ in G, allora hg₁g₂ h₂g₄ = hg₃ h₂g₄ in G*H. In particolare, si possono eliminare tutte le occorrenze degli elementi neutri di G e H.
Formalmente, si tratta di definire una relazione di equivalenza, che identifica alcune parole fra di loro. Nel caso di G*H la descrizione si puo' dare semplicemente e si possono elencare le classsi (cioe' una scelta conveniente di un rappresentante per ciascuna classe), che sono
- quella di un elemento neutro, e
- le parole in cui si alternano un elemento di G ed un elemento di H, che non siano gli elementi neutri. La parola puo' iniziare indifferentemente con un elemento di G oppure di H, e puo' essere lunga a piacere, puo' essere costituita anche da un solo elemento (se si ammette una parola lunga zero, questa va considerata l'elemento neutro). Quello che e' importante e' che nella parola non campaiano mai due elementi adiacenti che siano entrambi di G o entrambi di H.
Il prodotto si calcola nella maniera naturale, aggiungendo gli elementi della seconda parola alla prima. Se l'ultimo elemento della prima parola e il primo elemento della seconda parola appartengono entrmbi a G oppure entrambi ad H, allora si svolge il prodotto (in G o in H).
Ad esempio se, come sopra, g₁g₂= g₃ in G, allora il prodotto delle parole w₁= hg₁ e w₂= g₂ h₂g₄ e' w₁ w₂= (hg₁) (g₂ h₂g₄)= h(g₁g₂) h₂g₄= hg₃ h₂g₄.
Invece, ad esempio, il prodotto di w₁= hg₁ e w₃= h₂g₄ non si semplifica, e rimane semplicemente hg₁h₂g₄.
Tutto questo lo potete trovare anche su Wikipedia.

Quanto sopra e' sufficiente per applicare il Teorema di Seifert van-Kampen nel caso particolare in cui l'intersezione dei due aperti sia semplicemente connessa.
Purtroppo (o per fortuna???), nel caso generale e' necessario considerare una costruzione piu' complessa, quella del "gruppo amalgamato". Qualche informazione la potete trovare (in inglese) qui.
In questo caso, in generale, non c'e' una descrizione semplice come la precedente delle classi di equivalenza.

Spieghiamo i motivi che rendono necessaria l'introduzione di questa complicazione (o affascinante generalizzazione, a seconda dei punti di vista). Supponiamo che U₁ e U₂ e la loro intersezione W=U₁ ∩ U₂ siano aperti che soddisfano le ipotesi del Teorema di Seifert van-Kampen. Un cammino chiuso γ interamente contenuto in W ha una sua classe di omotopia nel gruppo fondamentale di W. Ma γ e' anche contenuto sia in U₁ che in U₂, e le sue classi di omotopia, se considerato in quei sottospazi, possono essere molto diverse. Per esempio, U₂ potrebbe essere semplicemente connesso, e γ in U₂ avrebbe quindi la stessa classe di omotopia di un cammino costante (un punto). Mentre invece la situazione potrebbe essere completamente diversa in U₁.
Nell'effettuare i calcoli, e' conveniente descrivere ogni gruppo fondamentale mediante un insieme di generatori. Ci saranno quindi due rappresentazioni di γ, una come composizione dei generatori del gruppo fondamentale di U₁, e un'altra mediante i generatori del gruppo fondamentale di U₂.
Siccome lo scopo del Teorema di Seifert van-Kampen e' quello di calcolare il gruppo fondamentale di X=U₁ ∪ U₂, e siccome γ appartiene ad X, le due rappresentazioni precedenti devono risultare coincidenti, se considerate in X.

Il Teorema di Seifert van-Kampen afferma esattamente che il gruppo fondamentale di X e' il prodotto libero del gruppo fondamentale di U₁ e del gruppo fondamentale di U₂, purche', per ogni cammino γ in U₁ ∩ U₂, le sue due rappresentazioni vengano identificate.

Nell'esempio all'inizio del capitolo 25, X=T e' il toro, U₂=T-(S ∪ S'), dove S e S' sono circonferenze ortogonali, e U₁=T-{y}, dove y e' un punto che non appartiene ne' a S ne' a S'.
Il gruppo fondamentale di U₁ e' stato calcolato in precedenza (oppure lo si puo' calcolare come fa Kosniowski), ed e' Z*Z. Il gruppo di U₂ e' banale, perche' e' semplicemente connesso.
L'intersezione U₁ ∩ U₂ e' omeomorfa al quadrato meno un punto, ed ha quindi come gruppo fondamentale Z. Un suo generatore e' un cammino chiuso γ che "effettua un solo giro attorno y". In U₂ γ corrisponde all'elemento neutro, perche' il gruppo fondamentale di U₂ e' banale.
A cosa corrisponde γ in U₁?
Un insieme di generatori di U₁ sono α₁ e α₂ (gli stessi cammini della gif animata linkata sopra). Se, in U₁, calcolo α₁ α₂ α₁^-1 α₂^-1, ottengo effettivamente, a meno di omotopia, un cammino chiuso che compie "un giro" attorno ad y.
Se non fosse convincente il calcolo effettuato sulla rappresentazione del toro come quadrato con le opportune identificazioni, potete provare a ragionare sulla superficie del toro immerso in R³. Un disegno non l'ho trovato, ho provato a farlo io (con risultati sicuramente deludenti, dal punto di vista grafico).









Qui α₁ e' segnato in blu, α₂ e' segnato in rosso, α₁^-1 e' in verde, e α₂^-1 e' in giallo. Il punto y e' il punto segnato in nero, e il punto di partenza dei cammini corrisponde all'x₁ del Kosniowski.
Questo mostra intuitivamente che, in U₁, γ corrisponde esattamente ad α₁ α₂ α₁^-1 α₂^-1. (Dettaglio tecnico: γ sta in U₁ ∩ U₂, mentre, nei disegni precedenti, α₁ α₂ α₁^-1 α₂^-1 e' contenuto in U₁, ma non in U₂. Questo e' il motivo per cui il Kosniowski introduce il punto x₀. Il punto di partenza dei cammini deve essere preso in U₁ ∩ U₂, ma il disegno sostanzialmente non cambia.)

Riepilogando, il gruppo fondamentale di U₁ e' Z*Z. Il gruppo di U₂ e' banale. Quindi devo lavorare nel prodotto di Z*Z con un gruppo banale, cioe', a meno di isomorfismi, in Z*Z stesso. Z*Z e' generato da α₁ e α₂. Il gruppo fondamentale di U₁ ∩ U₂ e' generato da γ. In U₂ γ e' equivalente all'elemento neutro, mentre in U₂ e' equivalente ad α₁ α₂ α₁^-1 α₂^-1. Dunque il gruppo fondamentale di T e' Z*Z stesso, con generatori α₁ e α₂, e in cui α₁ α₂ α₁^-1 α₂^-1 va identificato con l'elemento neutro. Questo equivalentemente significa che α₁ α₂ deve essere identificato con α₂ α₁, cioe' che α₁ e α₂ commutano, e quindi commutano anche le loro potenze. Il gruppo fondamentale di T e' un gruppo generato da due elementi distinti che commutano e che hanno periodo infinito, e quindi e' ZxZ.

Naturalmente, in questo caso particolare era piu' semplice usare il teorema che esprime il gruppo fondamentale di un prodotto in base ai gruppi dei fattori. Ma in molti altri casi l'uso teorema di Seifert Van-Kampen e' piu' conveniente.