Esercizio 0. E', per esempio, il Teorema 10 nella sezione 5.5 del libro di Dummit and Foote (ma vedi anche il Teorema 12).

Esercizio 4. Per ogni gruppo, {e} e' una classe di coniugio, costituita da un solo elemento.
(a) Se due elementi stanno nella stessa classe di coniugio, allora hanno lo stesso periodo. Se G ha esattamente due classi di coniugio, allora |G| e' pari (se |G| fosse dispari, allora |G|=|{e}| + |D|= 1 + |D|, dove D e l'altra classe di coniugio, quindi |D| e' pari, ma |D| divide |G|, quindi anche |G| sarebbe pari, assurdo).
Siccome |G| e' pari, per Cauchy, G ha un elemento di periodo 2, quindi tutti gli elementi diversi dall'elemento neutro hanno periodo due, per la prima frase e perche' G ha solo due classi di coniugio. Quindi, per un esercizio precedente, G e' abeliano, ma le classi di coniugio di un gruppo abeliano sono tante quanti gli elementi di G, quindi G ha 2 elementi, ed e' isomorfo a Z₂.
Oppure, si puo' ragionare come sotto.

(b) Una classe di coniugio ha cardinalita' 1, siano c e d le cardinalita' delle altre due classi. Sappiamo che c e d dividono |G|, e che |G|=1+c+d, quindi 1 = 1/|G| + c/|G| + d/|G| = 1/|G| + 1/n + 1/m , per opportuni naturali n ed m (poiche' c e d dividono |G|).
Da 1 = 1/|G| + 1/n + 1/m si ottiene che |G| e' minore o uguale a 6. Infatti, n>1, m>1, e inoltre non e' possibile n=m=2, altrimenti 1/|G| sarebbe 0. Quindi 1/n + 1/m e' minore o uguale a 1/2 + 1/3, cioe' 1 = 1/|G| + 1/n + 1/m minore o uguale a 1/|G| + 1/2 + 1/3 = 1/|G| + 5/6, da cui 1/6 minore o uguale a 1/|G|, cioe' |G| maggiore o uguale a 6.
Basta quindi limitarsi a considerare i gruppi con al massimo 6 elementi e, fra questi, solo Z₃ e S₃ hanno esattamente 3 classi di coniugio.