Laurea Magistrale in Matematica

Programma provvisorio di Geometria Differenziale

Aggiornato al 21 aprile 2026

Secondo anno, secondo semestre, a.a. 2025/2026

Andrea Iannuzzi



Fino al 21 aprile 2026 . . . Gruppi topologici; prime nozioni ed esempi. Sottogruppi ciclici di S1; densi o finiti. Sottogruppi ad un parametro del toro T= S1xS1; densi o isomorfi a S1. Gruppi di Lie; primi esempi e proprieta'. Sia G un gruppo topologico e sia Ge la sua componente connessa contenente l'elemento neutro e. Allora G e' un twisted bundle principale G-omogeneo su G/Ge con fibre omeomorfe a Ge. Esempio di O(n,R).

Campi vettoriali invarianti a sinistra e algebra di Lie associata ad un gruppo di Lie. Campi dF-relati. Bracket e derivata di Lie. Omomorfismi di gruppi di Lie e sottogruppi di Lie, omomorfismi indotti sulle corrispondenti algebre di Lie. Dualita' tra tali omomorfismi nel caso in cui il dominio e' semplicemente connesso. Esempi "antipatici". Parallelizabilita' dei gruppi di Lie. Le uniche sfere parallelizzabili sono S1, SU(2) (gruppi di Lie) ed S7. La struttura di Lie dell'algebra di Lie di GL(n,K); matrici quadrate con il classico bracket.

La mappa esponenziale; proprieta' fondamentali. Per GL(n,K) coincide con l'esponenziale matriciale. La mappa esponenziale "commuta" con gli omomorfismi (di gruppo e di Lie corrispondente). Ne segue che l'esponenziale di un sottogruppo di Lie H si ottiene per restrizione alla sua algebra Lie(H). Suriettivita' e iniettivita' non sono in generale da aspettarsele, ma nel caso di GL(n,C) la mappa esponenziale e' suriettiva. Esempi: SL(n,K), GL(n,R) (visto per n=2, si generalizza facilmente). Calcolo esplicito delle algebere di Lie di gruppi lineari, richiami su teoremi fondamentali della teoria di Lie.

Dato G si Lie connesso, tutti i gruppi di Lie a lui localmente isomorfi (i.e. con la stessa algebra di Lie) sono quozienti del rivestimento universale di G per un sottogruppo discreto e normale (quindi centrale). Il gruppo fondamentale di un gruppo di Lie e' abeliano. Le azioni a destra/a sinistra di un sottogruppo discreto sono di rivestimento. In realta' queste azioni libere sono addirittura proprie, come tutte le azioni a destra/a sinistra di un sottogruppo chiuso H. Il quoziente G/H ha una unica struttura differenziale naturale. Nel caso H sia normale, tale struttura differenziabile lo rende un gruppo di Lie. Esempi e accenni alle azioni proprie di gruppi di Lie su varieta' differenziabili.

La rappresentazione aggiunta Ad e il suo differenziale ad. Vale adXY = [X,Y]. Rappresentazione aggiunta di SU(2) e isomorfismo di Lie indotto tra SU(2)/Z2 ed SO(3,R). Un gruppo di Lie connesso e' abeliano se e solo se la sua algebra di Lie e' abeliana. Classificazione di tutti i gruppi di Lie abeliani reali. Per G di Lie connesso vale Z(G)= Ker(Ad) e Lie(Z(G))=Z(Lie(G)). Se poi H e' un sottogruppo di Lie connesso di G (sempre connesso), allora H e' normale se e solo se Lie(H) e' un ideale in Lie(G).

Varieta' Riemanniane, definizione e prime proprieta'. Isometrie locali e globali. Pull-back del tensore metrico via un'immersione. Esistenza di infinite strutture Riemanniane su una qualunque varieta' differenziabile. Metriche invarianti a destra/a sinistra su gruppi di Lie ed esistenza di metriche bi-invarianti: as esempio su gruppi di Lie abeliani e compatti. Lo spazio iperbolico come falda di una iperquadrica reale. E' omogeneo; la componente connessa di SO(n,1,R) agisce transitivamente, in quanto i sottogruppi di isotropia sono connessi. O(n,1,R) agisce transitivamente sull'intera quadrica e O(n,1,R) si realizza come un rivestimento a due fogli disgiunti di tale quadrica.

Azioni di rivestimento per isometrie; il quoziente e' Hausdorff (quindi sono proprie, lo vedremo la prossima settimana) ed eredita la struttura Riemanniana push-forward. Caso delle superfici di Riemann; il teorema di uniformizzazione di Riemann (senza dimostrazione). Da cui: curve ellittiche con metrica piatta e superfici iperboliche con metrica localmente isometrica a quella di Poincare'/iperbolica. Si puo' munire ogni superficie reale orientabile con una tale metrica (accenno).

Sommersioni Riemanniane; i sollevamenti orizzontali di campi vettoriali lisci sono anch'essi lisci. Ne segue, ad esempio, che il quoziente M/H di una varieta' Riemanniana M rispetto ad una azione propria, libera e per isometrie di un gruppi di Lie H eredita' una unica struttura Riemanniana sensata. Esempi vari tra i quali quozienti di gruppi di Lie muniti di una metrica invariante e la metrica di Fubini-Study su uno spazio proiettivo complesso.