Laurea Magistrale in Matematica

Programma del corso di Geometria Differenziale

Secondo anno, secondo semestre, a.a. 2025/2026

Andrea Iannuzzi



Gruppi topologici; prime nozioni ed esempi. Sottogruppi ciclici di S1; densi o finiti. Sottogruppi ad un parametro del toro T= S1xS1; densi o isomorfi a S1. Gruppi di Lie; primi esempi e proprieta'. Sia G un gruppo topologico e sia Ge la sua componente connessa contenente l'elemento neutro e. Allora G e' un twisted bundle principale G-omogeneo su G/Ge con fibre omeomorfe a Ge. Esempio di O(n,R).

Campi vettoriali invarianti a sinistra e algebra di Lie associata ad un gruppo di Lie. Campi dF-relati. Bracket e derivata di Lie. Omomorfismi di gruppi di Lie e sottogruppi di Lie, omomorfismi indotti sulle corrispondenti algebre di Lie. Dualita' tra tali omomorfismi nel caso in cui il dominio e' semplicemente connesso. Esempi "antipatici". Parallelizabilita' dei gruppi di Lie. Le uniche sfere parallelizzabili sono S1, SU(2) (gruppi di Lie) ed S7. La struttura di Lie dell'algebra di Lie di GL(n,K); matrici quadrate con il classico bracket.

La mappa esponenziale Lie gruppistica; proprieta' fondamentali. Per GL(n,K) coincide con l'esponenziale matriciale. La mappa esponenziale "commuta" con gli omomorfismi (di gruppo e di Lie corrispondente). Ne segue che l'esponenziale di un sottogruppo di Lie H si ottiene per restrizione alla sua algebra Lie(H). Suriettivita' e iniettivita' non sono in generale da aspettarsele, ma nel caso di GL(n,C) la mappa esponenziale e' suriettiva. Esempi: SL(n,K), GL(n,R) (visto per n=2, si generalizza facilmente). Calcolo esplicito delle algebere di Lie di gruppi lineari, richiami su teoremi fondamentali della teoria di Lie.

Dato G si Lie connesso, tutti i gruppi di Lie a lui localmente isomorfi (i.e. con la stessa algebra di Lie) sono quozienti del rivestimento universale di G per un sottogruppo discreto e normale (quindi centrale). Il gruppo fondamentale di un gruppo di Lie e' abeliano. Le azioni a destra/a sinistra di un sottogruppo discreto sono di rivestimento. In realta' queste azioni libere sono addirittura proprie, come tutte le azioni a destra/a sinistra di un sottogruppo chiuso H. Il quoziente G/H ha una unica struttura differenziale naturale. Nel caso H sia normale, tale struttura differenziabile lo rende un gruppo di Lie. Esempi e accenni alle azioni proprie di gruppi di Lie su varieta' differenziabili.

La rappresentazione aggiunta Ad e il suo differenziale ad. Vale adXY = [X,Y]. Rappresentazione aggiunta di SU(2) e isomorfismo di Lie indotto tra SU(2)/Z2 ed SO(3,R). Un gruppo di Lie connesso e' abeliano se e solo se la sua algebra di Lie e' abeliana. Classificazione di tutti i gruppi di Lie abeliani reali. Per G di Lie connesso vale Z(G)= Ker(Ad) e Lie(Z(G))=Z(Lie(G)). Se poi H e' un sottogruppo di Lie connesso di G (sempre connesso), allora H e' normale se e solo se Lie(H) e' un ideale in Lie(G).

Varieta' Riemanniane, definizione e prime proprieta'. Isometrie locali e globali. Pull-back del tensore metrico via un'immersione. Esistenza di infinite strutture Riemanniane su una qualunque varieta' differenziabile. Metriche invarianti a destra/a sinistra su gruppi di Lie ed esistenza di metriche bi-invarianti: as esempio su gruppi di Lie abeliani e compatti. Lo spazio iperbolico come falda di una iperquadrica reale. E' omogeneo; la componente connessa di SO(n,1,R) agisce transitivamente, in quanto i sottogruppi di isotropia sono connessi. O(n,1,R) agisce transitivamente sull'intera quadrica e O(n,1,R) si realizza come un rivestimento a due fogli disgiunti di tale quadrica.

Azioni di rivestimento per isometrie; il quoziente e' Hausdorff (quindi sono proprie, lo vedremo la prossima settimana) ed eredita la struttura Riemanniana push-forward. Caso delle superfici di Riemann; il teorema di uniformizzazione di Riemann (senza dimostrazione). Da cui: curve ellittiche con metrica piatta e superfici iperboliche con metrica localmente isometrica a quella di Poincare'/iperbolica. Si puo' munire ogni superficie reale orientabile con una tale metrica (accenno).

Sommersioni Riemanniane; i sollevamenti orizzontali di campi vettoriali lisci sono anch'essi lisci. Ne segue, ad esempio, che il quoziente M/H di una varieta' Riemanniana M rispetto ad una azione propria, libera e per isometrie di un gruppi di Lie H eredita' una unica struttura Riemanniana sensata. Esempi vari tra i quali quozienti di gruppi di Lie muniti di una metrica invariante e la metrica di Fubini-Study su uno spazio proiettivo complesso.

La distanza (intrinseca) indotta dalla metrica Riemanniana. Azioni di rivestimento per isometrie; il quoziente e' Hausdorff e tali azioni sono proprie. Forme di volume invarianti a destra/a sinistra. Caso di G gruppo di Lie compatto; la componente connessa Ge ammette una forma di volume bi-invariante. Invece O(2,R) no (esercizio). Per fortuna, pero', i gruppi compatti, connessi o meno, ammettono una metrica bi-invariante. Costruzione diretta, a partire da un prodotto scalare AdG-invariante, oppure pull-back della metrica bi-invariante su U(n) costruita tramite la forma di Killing, pull-back via una rappresentazione fedele liscia la cui esistenza e' assicurata dal teorema di Peter-Weyl.

Richiami di teoria locale delle superfici immerse nello spazio euclideo. La mappa di Gauss e il suo differenziale autoaggiunto/simmetrico, II forma quadratica, curvature normali, e principali, sezioni principali. Curvatura di Gauss K e curvatura media H, classificazione dei punti di una superficie; planari, parabolici, iperbolici, ellittici (e ombelicali). Conti espliciti nel caso di una superficie di rotazione. Calcolo di K in termini dei coefficienti della I e della II forma fondamentale (scrittura non intrinseca).

I simboli di Christoffel rispetto ad una parametrizzazione locale di una superficie S immersa nello spazio euclideo; dipendono dalla sola I forma fondamentale. Espressione esplicita di K in funzione di tali simboli (scrittura intrinseca). Il teorema Egregium di Gauss e sue conseguenze immediate; K e' invariante rispetto ad isometrie locali, dunque il pallone non si schiaccia, il mondo non si appiattisce, la mozzarella non cade dallo spicchio di pizza (se lo stringiamo appena appena), la sella non si arrotonda, il cilindro neanche, tirare il collo/storcere un pacco di spaghetti da un cilindro ad un iperboloide iperbolico e' pratico ma non isometrico . . .

La derivata covariante; in coordinate locali e' determinata dai simboli di Christoffel, dunque e' una nozione intrinseca. Campi vettoriali paralleli lungo una curva. La compatibilita' con la metrica implica che il trasporto parallelo sia un'isometria tra piani euclidei (stiamo ancora discutendo il caso delle superfici immerse). Geodetiche. Tutti concetti invarianti per isometrie locali. Esempi espliciti tra cui il caso delle superfici di rotazione; i meridiani sono geodetiche, i paralleli a volte lo sono.

Varieta' Riemanniane di dimensione arbitraria. Connessioni affini e Riemanniane; quella standard di Rn e quella indotta su sottovarieta' immerse. Espressione in coordinate locali della connessione; i simboli di Christoffel. Derivata covariante, parallelismo, trasporto parallelo (ora definiti intrinsecamente). Compatibilita' con la metrica se e solo se il trasporto parallelo e' un'isometria tra spazi vettoriali euclidei. Esistenza e unicita' di una connessione Riemanniana; dimostrazione tramite realizzazione concreta della connessione. I simboli di Christoffel in termini dei coefficienti metrici.

Conoscere il trasporto parallelo lungo curvette lisce e regolari arbitrarie determina univocamente la connessione. Geodetiche; quelle della sfera e quelle dello spazio iperbolico. In un intorno della sezione nulla del fibrato tangente possiamo definire la mappa esponenziale Riemanniana Exp(X) := γX(1). Poiche' γaX(t)=γX(at) (ovvero il supporto della geodetica non cambia al variare della lunghezza di un vettore tangente non nullo, la si percorre solamente a velocita' differente) si ha Exp(aX)=γX(at).

Sollevamenti e immagini di geodetiche via isometrie locali sono essi stessi geodetiche; tori piatti (che non sono quasi mai globalmente isometrici), superfici iperboliche. Connessione di Levi-Civita e geodetiche su gruppi di Lie che ammettono una metrica bi-invariante. Palle geodetiche; esistono perche' il differenziale dell'esponenziale Riemanniano e' non singolare in 0. E' possibile sceglierle geodeticamente convesse e anche di piu'. Le geodetiche, localmente, minimizzano le lunghezze ovvero realizzano le distanze. Per mostrare questo fatto serve il Lemma di Gauss.

Se una curve "bella" e regolare a tratti realizza la distanza, tale curva e' una geodetica, in particolare e' liscia. Le palle geodetiche sono palle rispetto alla distanza indotta dalla metrica. Teorema di Hopf-Rinow; la completezza in 3/4 salse differenti; geodetica, topologica, metrica. Esempi classici. La completezza implica esistenza di una geodetica minimale tra due punti (non sempre unica, ripensare alla dimostrazione nel caso di punti antipodali in una sfere). Numerose conseguenze per varieta' Riemanniane compatte, sottovarieta' "embedded", rivestimenti localmente isometrici.

Tutte e sole le geodetiche dello spazio iperbolico H+: basta mostrare che le semirette verticali sono geodetiche e usare il grandissimo gruppo delle sue isometrie in maniera furba.

Per i gruppi di isometrie (si assume che agiscano effettivamente e "si sa" che sono gruppi di Lie) la rappresentazione di isotropia e' fedele (ed e' la rappresentazione di un sottogruppo compatto). Stima della dimensione di Iso(M,g) e discussioni dei casi estremi; se G e' un sottogruppo di Iso(M,g) che agisce transitivamente ed ha "massima" isotropia/azione di isotropia "O(n,R)" su un qualunque spazio tangente scelto, allora G=Iso(M,g). Esempi classici; En, Sn, Hn.

Operatore di curvatura; definizione, esempi e proprieta' caratterizzanti. Suoi coefficienti in coordinate locali. Curvatura sezionale; coincide con la curvatura di Gauss della porzione di superficie immersa totalmente geodetica ottenuta applicando la mappa esponenziale al piano tangente in questione. Le uniche tre varieta' semplicemente connesse e complete con curvatura sezionale costante uguale a -1, 0, 1. Avere un'enorme gruppo di isometrie semplifica molto le considerazioni necessarie. Se non sono s. c. il loro rivestimento universale lo e' e quindi . . . Se non sono complete, sono localmente isometriche ad una delle tre (non dimostrato).

Campi di Jacobi lungo una geodetica; si incomincia con variazioni "ortogonali" della geodetica, ottenendo poi tutti quelli con valore iniziale uguale a 0. L'equazione di Jacobi; in cordinate locali si tratta di un sitema di equazioni differenziali locali di secondo grado, quindi fissate le condizioni iniziali si risolve sull'intera geodetica. Se uno di questi (J(0)=0) non nullo si annulla per un certo t>0, abbiamo trovato una singolarita' della mappa esponenziale.

Per (M,g) Riemanniana completa con curvature sezionali tutte negative, i campi di Jacobi non nulli con J(0)=0 non si annullano mai. In particolare, Expp e’ un diffeomorfismo locale suriettivo. Inoltre, un diffeomorfismo locale “distance increasing” tra due varieta’ Riemanniane, con la prima completa, risulta essere un rivestimento. Questi sono i due ingredienti fondamentali per il Teorema di Hadamard-Cartan le cui ipotesi si possono indebolire a; (M,g) completa ed esistenza di un punto p con dExpp mai singolare. Curvatura di Ricci. Enunciato del teorema di Bonnet-Myers, accenno alle sue conseguenze per gruppi di Lie che ammettono una metrica bi-invariante.