Laurea Magistrale in Matematica
Programma provvisorio di Geometria Differenziale
Aggiornato al 3 aprile 2026
Secondo anno, secondo semestre, a.a.
2025/2026
Andrea Iannuzzi
Fino al 3 aprile 2026 . . .
Gruppi topologici; prime nozioni ed esempi. Sottogruppi ciclici di
S1; densi o finiti. Sottogruppi ad un parametro
del toro T= S1xS1; densi o isomorfi
a S1. Gruppi di Lie; primi esempi e proprieta'.
Sia G un gruppo topologico e sia Ge la sua
componente connessa contenente l'elemento neutro e. Allora
G e' un twisted bundle principale G-omogeneo su G/Ge
con fibre omeomorfe a Ge. Esempio di O(n,R).
Campi vettoriali invarianti a sinistra
e algebra di Lie associata ad un gruppo di Lie.
Campi dF-relati. Bracket e derivata di Lie.
Omomorfismi di gruppi di Lie e sottogruppi di Lie,
omomorfismi indotti sulle corrispondenti algebre di Lie.
Dualita' tra tali omomorfismi nel caso in cui il
dominio e' semplicemente connesso. Esempi "antipatici".
Parallelizabilita' dei gruppi di Lie. Le uniche sfere parallelizzabili
sono S1, SU(2) (gruppi di Lie) ed S7.
La struttura di Lie dell'algebra di Lie di GL(n,K); matrici quadrate con
il classico bracket.
La mappa esponenziale; proprieta' fondamentali.
Per GL(n,K) coincide con l'esponenziale matriciale. La mappa esponenziale
"commuta" con gli omomorfismi (di gruppo e di Lie corrispondente).
Ne segue che l'esponenziale di un sottogruppo di Lie H si ottiene per restrizione
alla sua algebra Lie(H).
Suriettivita' e iniettivita'
non sono in generale da aspettarsele, ma nel caso di GL(n,C) la mappa esponenziale
e' suriettiva. Esempi: SL(n,K), GL(n,R) (visto per n=2, si generalizza facilmente).
Calcolo esplicito delle algebere di Lie di gruppi lineari, richiami su teoremi fondamentali della
teoria di Lie.
Dato G si Lie connesso, tutti i gruppi di Lie a lui localmente isomorfi (i.e. con la
stessa algebra di Lie) sono quozienti del rivestimento universale di G per un sottogruppo discreto
e normale (quindi centrale). Il gruppo fondamentale di un gruppo di Lie e' abeliano.
Le azioni a destra/a sinistra di un sottogruppo discreto sono di rivestimento. In realta' queste
azioni libere sono addirittura proprie, come tutte le azioni a destra/a sinistra di un sottogruppo chiuso H.
Il quoziente G/H ha una unica struttura differenziale naturale. Nel caso H sia normale,
tale struttura differenziabile lo rende un gruppo di Lie.
Esempi e accenni alle azioni proprie di gruppi di Lie su varieta' differenziabili.
La rappresentazione aggiunta Ad e il suo differenziale ad. Vale adXY = [X,Y].
Rappresentazione aggiunta di SU(2) e isomorfismo di Lie indotto tra SU(2)/Z2
ed SO(3,R). Un gruppo di Lie connesso e' abeliano se e solo se la sua algebra di Lie e' abeliana.
Classificazione di tutti i gruppi di Lie abeliani reali.
Per G di Lie connesso vale Z(G)= Ker(Ad) e Lie(Z(G))=Z(Lie(G)).
Se poi H e' un sottogruppo di Lie connesso di G (sempre connesso),
allora H e' normale se e solo se Lie(H) e' un ideale in Lie(G).
Varieta' Riemanniane, definizione e prime proprieta'.