Corso di Laurea in Ingegneria Medica
Primo semestre, a.a. 2017-2018

Diario delle lezioni del corso di Geometria

QUATTORDICESIMA SETTIMANA (2018): Il luogo degli zeri Z di una funzione f di Rn e il suo trasformato F(Z) tramite una biezione F:Rn --> Rn; l'insieme F(Z) e' il luogo degli zeri di f∘F-1. Le coniche euclidee, la forma canonica del polinomio di secondo grado che le definisce si ottiene (supersintetizzando) diagonalizzando la parte quadratica ed eliminando quanti piu' termini lineari possibili (nel caso delle coniche o uno o entrambi), classificazione euclidea di tutte le coniche euclidee (senza ripetizioni). Coniche: matrice completa della conica e determinazione del tipo di conica tramite gli invarianti. Ellissi, parabole e iperboli come luoghi geometrici del piano euclideo, fuochi, direttrici, eccentricita', simmetrie e parametrizzazioni. Coniche a centro e determinazione del centro.
Classificazione delle coniche euclidee:
Cenni sulle Quadriche, discussione dell'iperboloide iperbolico: intersezioni con piani coordinati, simmetrie parametrizzazioni esplicitando il polinomio in forma normale o tramite sezionamento in piani paralleli ad un piano coordinato, le due schiere di rette nel caso dell'iperboloide iperbolico di rotazione. Greco-Valabrega Vol I: capitolo VIII.8.5
Appunti 10
Appunti quadriche
Esercizi 15: 1, 2, 3a,b,c,d,g, 4, 5

TREDICESIMA SETTIMANA (2018): (Visto con Stefano: ll gruppo delle isometrie di uno spazio euclideo, le traslazioni, le isometrie che fissano l'origine sono lineari e rappresentate, rispetto ad una base ortonormale, da una matrice ortogonale, proprieta' delle matrici ortogonali, caratterizzazione in termini delle righe/colonne, le matrici ortogonali 2x2: rotazioni e ribaltamenti). Gli eventuali autovalori reali di una matrice ortogonale sono 1 o -1, i sottospazi ortogonali agli autovettori sono invarianti, le matrici ortogonali 3x3: a meno di cambiamento di base ortonormale rappresentano un rotazione intorno ad un asse eventualmente composta con la riflessione rispetto al piano ortogonale all'asse, le riflessioni ortogonali rispetto ad un sottospazio sono isometrie, cosi' come le permutazioni con segno delle coordinate (che non sono in generale diagonalizzabili). Le proiezioni su un sottospazio W finito dimensionale di V di dimensione non necessariamente finita: definizione e proprieta'. La proiezione di v e' il vettore di W "piu' vicino" a v. Gli operatori autoaggiunti/simmetrici sono tali se e solo se sono rappresentati rispetto ad una base ortonormale da una matrice simmetrica, il teorema spettrale per operatori simmetrici (dimostrazione per n=2 e n=3) e sua conseguenza: una matrice e' simmetrica se e solo se si diagonalizza tramite una matrice ortogonale: si usa che le matrici del cambiamento di base tra due basi ortonormali risultano essere proprio quelle ortogonali. Il prodotto hermitiano standard: norma e distanza indotta, ortogonalita' e basi ortonormali. isometrie che fissano l'origine sono lineari e conservano il prodotto hermitiano (senza dimostrazione) rispetto ad una base ortonormale sono rappresentate da una matrice unitaria. Proprieta' delle matrici unitarie, loro caratterizzazione in termini delle righe/colonne, gli autovalori sono numeri complessi di modulo 1. Il teorema spettrale per operatori unitari. Gli operatori autoaggiunti/hermitiani sono tali se e solo se sono rappresentati rispetto ad una base ortonormale da una matrice hermitiana, il teorema spettrale per operatori hermitiani e matrici hermitiane: un operatore/matrice e' hermitiano/a se e solo i suoi autovalori sono reali e si diagonalizza su base ortonormale/tramite matrice unitaria. Il teorema spettrale per operatori anti-hermitiani (appena accennato).

Greco-Valabrega Vol I: capitolo VIII.1-VIII.5.7.
Appunti 7, 8 p. 1-2, 9
Esercizi 13, 14
Esercizi svolti 14


SCRITTI DELLO SCORSO ANNO

I appello pdf. II appello pdf. III appello pdf. IV appello pdf. V appello pdf. VI appello pdf

DODICESIMA SETTIMANA: Cambiando coordiante le matrici che rappresentano un operatore lineare variano per similitudine, due matrici qudrate sono simili se e solo se rappresentano uno stesso operatore lineare, matrici/operatori diagonalizzabili, autovalori, autovettori, autospazi ed esempi, polinomio caratteristico, il caso delle riflessioni e delle rotazioni. Autospazi distinti sono in somma diretta. Un operatore T:V --> V (una matrice quadrata) e' diagonalizzabile se e solo se esiste una base di autovettori se e solo se la somma (diretta) degli autospazi coincide con V. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico e sono al piu' n=dim V. Radici di polinomi a coefficienti in un campo: i casi di C, R e Q. Teorema fondamentale dell'algebra, lemma di divisione, fattori irriducibili in R e C, per K=R caso di n dispari. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore, Un operatore T:V -->V (una matrice quadrata) e' diagonalizzabile se e solo se tutte le radici del polinomio caratteristico sono nel campo K e le molteplicita' algebriche coincidono con quelle geometriche. I coefficienti del polinimo caratteristico: la traccia e il determinante di T sono ben definite e coincidono, rispettivamente, con la somma e il prodotto di tutte le radici, a0= det(T) e an-1=(-1)n-1tr(T), ad esempio per n = 2 il polinomio coaratteristico e' dato da x^2 -tr(T)x+ det(T).

Greco-Valabrega Vol I: capitolo VII. Esercizi 12
Esercizi svolti 13
Entro capodanno gli scritti dello scorso anno e magari altri esercizi svolti sulle isometrie. BUONE FESTE !!!


UNDICESIMA SETTIMANA: L' isomorfismo di spazi vettoriali tra Hom(V,W) e Mm,n(K). Iniettivita' e suriettivita' di un'applicazione lineare T:V --> W in termini di una matrice M che le rappresenta: T e' iniettiva se e solo se il rango di M coincide con la dimensione di V, T e' suriettiva se e solo se il rango di M coincide con la dimensione di W. Il caso degli isomorfismi lineari. La matrice associata alla composizione di applicazioni lineari, endomorfismi di uno spazio vettoriale, l'inverso di un' isomorfismo T e' determinato dall'inversa della matrice che rappresenta T, matrice del cambio di coordinate. La riflessione rispetto ad un sottospazio W lungo un uso supplementare U, la riflessione ortogonale. La proiezione su W lungo un sottospazio supplementare U, la proiezione ortogonale. Le isometrie di Rn formano un gruppo, le traslazioni sono isometrie, le isometrie che fissano l'origine sono lineari e definite da matrici ortogonali, le matrici ortogonali hanno determinante +1 oppure -1. Le rotazioni attorno all'origine sono isometrie di R2 con det = 1, il ribaltamento rispetto all asse x e' un isometria con det = -1. Tutte le isometrie lineari in R^2 con det = 1 sono rotazioni, che tutte le isometrie lineari a det = -1 di R^2 sono ribaltamenti rispetto ad una retta per l'origine, tutte le isometrie di R3 con det 1 sono rotazioni intorno ad un asse.

Greco-Valabrega Vol I: VI.6-VI.9
Esercizi 9-11
Esercizi svolti 11, 12


DECIMA SETTIMANA: Applicazioni lineari: definizione, esempi e prime proprieta', il nucleo e l'immagine, T e' iniettiva se e solo se il nucleo e banale, caso dell'applicazione lineare tra spazi di vettori numerici definita da una matrice M, teorema della dimensione, isomorfismi e condizioni equivalenti nel caso di dimensione finita. La restrizione di un'applicazione lineare ad un sottospazio vettoriale definisce un'applicazione lineare, esistenza ed unicita' di un'applicazione lineare di cui si sono scelte arbitrarie immagini degli elementi di una fissata base del dominio, estensioni di applicazioni lineari, la matrice che reppresenta un'applicazione lineare rispetto a due basi fissate, una nel dominio, l'altra nel condominio, esempi.

Greco-Valabrega Vol I: VI.1-VI.5 (occhio alla differente notazione della matrice che rappresenta un'applicazione lineare rispetto a basi fissate)
Appunti 6
Esercizi 7, 8
Esercizi svolti 9, 10


NONA SETTIMANA: Spazi vettoriali euclidei. Prodotto scalare, norma, diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, angoli, ortogonalita', basi ortogonali e basi ortonormali, formula per le coordinate di un vettore rispetto ad una base ortogonale, ortogonalita di due piani in R3, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, dimensione ed equazioni omogenee del sottospazio ortogonale ad uno spazio vettoriale W, determinazione di una sua base ortogonale tramite il procedimento di Gram-Schmidt. Determinazione di equazioni omogenee che definiscono un sottospazio vettoriale assegnato: W coincide con lo spazio ortogonale allo spazio ortogonale a W e fissando una base dello spaio ortogonale a W si ricavano n-k equazioni omogenee che definiscono W. Metodo del supplementare ortogonale, metodo dell'ortogonalizzazione di un completamento della base di W. Metodo dei minori orlati. Circonferenze di R2 e rette a loro tangenti. Sfere di R3 e piani a loro tangenti. Le circonferenze di R3 come intersezione di una sfera con un piano: calcolo del raggio. Piani ortogonali in R3.

Greco-Valabrega Vol I: VIII 1, VIII 2
Appunti 1, appunti 6
Esercizi 6


OTTAVA SETTIMANA: Il determinante e le sue proprieta' caratterizzanti, |A| e' non nullo se e solo se il rango di A e' massimo, determinanti di matrici triangolari, il gruppo simmetrico Sn: permutazioni, cicli, trasposizioni, parita' e disparita' di una permutazione. Regola di Sarrus per matrici 3x3. Il prodotto misto visto come determinante. Sviluppo di Laplace per righe e colonne, applicazione al calcolo dell'inversa di una matrice e alla risoluzione di sistemi lineari quadrati di rango massimo (regola di Cramer). Risoluzione di sistemi lineari arbitrari compatibili con il metodo dell'inversa. Il principio dei minori orlati (senza dimostrazione). Teorema di Binet (senza dimostrazione), determinante dell'inversa di una matrice quadrata invertibile.

Greco-Valabrega Vol I: V.5, V.6, V.8
Appunti 6
Esercizi svolti 11


SETTIMA SETTIMANA: Prodotto tra matrici, proprieta' ed esempi, il caso delle matrici quadrate. Sistemi di equazioni lineari, in notazione compatta AX = B, teorema di Rouche'-Capelli, risoluzione di sistemi ridotti e metodo di riduzione di Gauss. Sistemi lineari omogenei: determinazione di una base dello spazio delle soluzioni. Sistemi lineari compatibili AX=B: soluzioni = soluzione particolare + soluzioni di AX=O. Discussione delle posizioni reciproche di piano/piano, retta/piano retta/retta in R3 studiando il sistema delle corrispondenti equazioni cartesiane. Conseguenze delle formula di Grassmann sull'intersezione di sottospazi affini incidenti. Determinazione e unicita' dell'inversa di una matrice quadrata invertibile. Regole di calcolo per trasposte e inverse di matrici e prodotti di matrici quadrate.

Greco-Valabrega Vol I: V.1-V.3, V.3.5, V.4.5
Appunti 6
Esercizi 5bis (svolgere autonomamente l'esercizio 10 che verra' discusso venerdi' prossimo)
Esercizi svolti Esercizi svolti 1, 7 e 11, Greco-Valabrega Vol I: V.9


SESTA SETTIMANA: Lo spazio vettoriale delle matrici, la trasposta di una matrice, matrici quadrate; diagonali, triangolari superiori, triangolari inferiori, simmetriche e anti-simmetriche. Il rango per righe e' uguale a quello per colonne, rango delle matrici ridotte, trasformazioni elementari, metodo di riduzione di Gauss. Matrici ridotte, a scala, a scala e fortemente ridotte. Basi di sottospazi vettoriali tramite il metodo di metodo di riduzione di Gauss: il caso di W sottospazio di Rn e il caso di W sottospazio di V spazio vettoriale finito dimensionale astratto. Prodotto tra matrici: prime proprieta'.

Greco-Valabrega Vol I: II.1.4, II.1.5, II.5, II.6, IV.1-IV.3, esercizi di fine capitolo IV.5.1-IV.5.2
Esercizi svolti 8


QUINTA SETTIMANA: Fascio di piani proprio. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Somma diretta di sottospazi vettoriali e loro dimensione, l'ortogonale W ad un sottospazio vettoriale U e' un supplementare di U, caso di U sottospazio vettoriale di R3: U e' l'ortogonale al suo ortogonale W. Formula di Grassmann vettoriale. La distanza indotta dal prodotto scalare standard, distanza di un piano da: un punto, una retta a lui parallela, un piano a lui parallelo: formula in termini delle coordinate. Distanza di una retta da: un punto, una retta a lei parallela, distanza tra due rette sghembe.

Greco-Valabrega Vol I: II.4.1-II.4.3, II.7.1-7.3, III.6.1-6.3, III.8.2
Appunti 5, Esercizi di fine capitolo
Esercizi svolti 6


QUARTA SETTIMANA: Piano contenente due rette parallele distinte, parallelismo tra piani e rette, lo spazio delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea non nulla in tre incognite, prodotto vettoriale in R3 e le sue proprieta': area dei parallelogrammi, regola della mano destra/sinistra, dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane di un piano in R3 e viceversa, fascio di piani improprio. Lo spazio delle soluzioni di due equazioni lineari omogenee linearmente indipendenti in tre incognite ha dimensione uno: determinazione di un generatore tramite il prodotto vettoriale. Dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane di una retta in R3 e viceversa. Il determinante di una matrice 3x3 come prodotto misto dei vettori riga, volume dei parallelepipedi in R3.

Greco-Valabrega Vol I: II.3, II.4
Apostol Sez. 2.6, 2.7, 2.9, 2.10, 2.12
Apostol esercizi sez. 2.8, sez. 2.11 1-5, sez. 2.14 1-3
Appunti 5, pag. 1-6: Esercizi di fine capitolo (da 5.A a 5.D)
Esercizi 4
Esercizi 5


TERZA SETTIMANA: Insiemi di vettori linearmente indipendenti e insiemi di vettori linearmente dipendenti. Esempi ed esercizi. Un insieme di vettori non nulli a due a due ortogonali e' linearmente indipendente. Basi di uno spazio vettoriale finitamente generato, metodo degli scarti successivi, metodo del completamento della base, dimensione: lemma di Steinitz. Proprieta' delle basi e dimensione di sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale finitamente generato. Piano per un punto e giacitura fissata, equazioni parametriche, piano per tre punti non allineati, piano contente una retta ed un punto che non le appartiene.

Greco-Valabrega Vol I: III.2, III.3, III.4, III.5, Prop. 6.1, esercizi di fine capitolo
Esercizi 3
Esercizi 4


SECONDA SETTIMANA: Aree di triangoli e di parallelogrammi: il caso di R2 e il determinante di una matrice 2x2. Il sottospazio vettoriale generato da un vettore di Rn. Retta per un punto parallela ad un vettore direttore, la sua giacitura, retta per due punti. Equazioni parametriche. Indipendenza dal punto base e dal vettore direttore scelto. Il caso di R2: equazioni cartesiane: vettori normali alla giacitura, determinante di una matrice 2x2. Dalle equazioni cartesiane alle parametriche. Distanza tra due punti, distanza di un punto da una retta. Spazi e sottospazi vettoriali, sottospazio generato da un numero finito di vettori.

Greco-Valabrega Vol I: II.1-II.3, III.1, III.2 (escluso Thm. 2.4)
Appunti 3, pag. 1-6: Esercizi di fine capitolo (da 2.B a 2.J)
Esercizi 2: 1-5


PRIMA SETTIMANA E MEZZA: Applicazioni iniettive e suriettive, lo spazio delle ennuple reali Rn. Vettori applicati nello spazio, vettori geometrici, direzione, verso e lunghezza, somma e differenza di vettori, prodotto di un vettore per uno scalare: proprieta' e interpretazione geometrica, la regola del parallelogramma. La nozione di campo: il campo dei razionali, dei reali e dei numeri complessi. Prodotto scalare tra vettori. Norma di un vettore. Distanza tra due punti. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Ortogonalita' e identita' pitagorica. Angolo fra due vettori: determinazione dell'arccos. Proiezione di un vettore lungo una direzione e sua lunghezza, ortogonalizzazione di un vettore rispetto ad un'altro non parallelo.

Appunti 1, pag. 1-5;
Appunti 2, pag. 1-10; Esercizi di fine capitolo
Appunti 4., pag. 1-6; Esercizi di fine capitolo
(notare che gli Appunti 2 e gli Appunti 4 ripetono nel caso di R2 ed R3 il contenuto degli Appunti 1, pag. 1-5).



LINEE GUIDA PER GLI SCRITTI

L'esame consiste di un compito scritto e di una prova orale, alla quale si e' ammessi solo se il compito e' sufficiente (almeno 18/30).
Il compito scritto verte sul programma svolto a lezione durante le 15 settimane di corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sopra.
Gli esercizi assegnati settimanalmente e gli esercizi svolti a lezione fanno parte integrante del programma.
Il compito consiste in un certo numero di esercizi.
Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni brevi ma complete.
Presentarsi con un documento di riconoscimento.
Non e' consentito uscire durante gli scritti.
Non sono consentiti libri, appunti.
Non sono consentiti strumenti di tipo on/off (calcolatrici, cellulari, tablets, orologi spaziali . . .).