Seconda settimana:
La complessita' dell'algoritmo di Euclide e del calcolo di un inverso in Z^*_n ( vedi: soluzioni Esercizi-svolti n.1).
Il Piccolo Teorema di Fermat e i numeri di Carmichael. Il teorema di Miller-Rabin. Il test di primalita' di Miller-Rabin (vedi: nota2, Appendice) e la sua complessita'.
Il criptosistema RSA: esempi con PARI/GP.

Terza settimana:
Il Teorema dei Numeri Primi. Applicazioni ed esempi. (vedi: Crandall-Pomerance, Thm.1.1.4; soluzioni Esercizi-svolti n.2).
Complessita' dell'algoritmo di fattorizzazione per divisioni successive.
Ulteriori richiami su Z_n e su Z^*_p. La funzione φ di Eulero (vedi nota sulla funzione φ di Eulero). Gruppi: definizione e proprieta'.
Il gruppo additivo Z_n e il gruppo moltiplicativo Z^*_p (vedi nota2).

Quarta settimana:
Il paradosso del compleanno. Il metodo di fattorizzazione ρ di Pollard. Il Lemma di Floyd.
La complessita' probabilistica del metodo ρ di Pollard. (vedi Crandall-Pomerance, sect. 5.2.1; Nota su Pollard ρ). Esempi con PARI/GP.

Quinta settimana:
Ulteriori richiami sui gruppi: il Teorema di Lagrange. Ordine di un elemento in un gruppo. L'ordine di un elemento divide l'ordine del gruppo.
Gruppi ciclici e generatori. Esempi di gruppi ciclici finiti: il gruppo additivo Z_n, gruppi finiti di ordine primo (vedi nota2), il prodotto Z_nxZ_m, per gcd(m,n)=1.
Due lemmi preliminari alla dimostrazione del Teorema della Radice Primitiva: formula di Gauss e ordine della potenza di un elemento di ordine a (vedi Nota sulle radici primitive modulo p).

Sesta settimana:
Radici di un polinomio a coefficienti in Z_p, con p primo. Il teorema della radice primitiva (per ora solo enunciato): se p e' primo, il gruppo moltiplicativo Z^*_p e' ciclico. Inoltre in Z^*_p ci sono φ(d) elementi di ordine d (vedi Nota sulle radici primitive modulo p). Esempi ed ed esercizi.
Interi B-smooth, funzione di Dickman (vedi Crandall-Pomerance, Sect.1.4.5, e soluzioni Esercizi-svolti 2).
L'algoritmo p-1 di Pollard e la sua complessita' probabilistica (vedi Crandall-Pomerance, Sez.5.4 e Nota su "Pollard p-1").

Settima settimana:
L'algoritmo p-1 di Pollard: esperimenti con PARI/GP.
Introduzione alle curve ellittiche: equazione di Weierstrass ; esempi di curve ellittiche su Z _p, con p primo.
Costruzione geometrica della somma fra punti di una curva ellittica su R (vedi Crandall-Pomerance Cap.7, Sez.7.1; soluzioni Esercizi-svolti n.5: n.1-5).

Ottava settimana:
Curve ellittiche su Z _p, con p primo: esempi ed esercizi. Il teorema di Hasse. La struttura del gruppo dei punti di una curva ellittica su Z _p (cenni).

Nona settimana:
Introduzione al metodo di fattorizzazione con le curve ellittiche ECM di Lenstra: descrizione della fase 1 di un ciclo dell'algoritmo. Complessita' probabilistica dell'algoritmo.
(vedi Larry Washington, Elliptic curves - Number theory and Criptography, pag. 9-19; pag. 89-91; pag. 179-184;
Crandall-Pomerance, Cap.7, Sez.7.1, 7.2, 7.3, 7.4;
Introduzione di: H. Lenstra, Factoring integers with elliptic curves, Annals of Math. 126, (1987) 649-673 pdf
Nota sul metodo delle curve ellittiche).

Decima settimana:
La seconda fase dell'algoritmo. Esempi con PARI/GP.
Il logaritmo discreto in Z^*_p: definizione e proprieta'. Criterio della radice primitiva.
(vedi Nota sulle radici primitive modulo p).

Undicesima settimana:
Il logaritmo discreto. Il calcolo dell'indice per la risoluzione del logaritmo discreto in Z^*_p. Esempi ed esercizi.
Stima della complessita' probabilistica del calcolo dell'indice (continua).

Quindicesima settimana:
Esercizi sui gruppi abeliani finiti. Preliminari all'algoritmo di Pocklington. L'algoritmo di Pocklington.