Seconda settimana:
Caratterizzazione delle classi resto in Z_n che ammettono inverso moltiplicativo. L'algoritmo di Euclide e l'algoritmo di Euclide esteso. Stima della complessita' dell'algoritmo di Euclide e del calcolo dell'inverso moltiplicativo di una classe resto in Z_n. Il criptosistema RSA. Un esempio con PARI/GP.

Terza settimana:
Il Piccolo Teorema di Fermat. Numeri di Carmichael. Il Teorema di Miller-Rabin. Il test di primalita' di Miller-Rabin e la sua complessita'. Il teorema dei Numeri Primi. Applicazioni ed esempi: costruzione di grossi primi.

Quarta settimana:
L'algoritmo di fattorizzazione per divisioni successive e la sua complessita'. Il paradosso del compleanno. Il metodo di fattorizzazione ρ di Pollard. Il Lemma di Floyd. La complessita' probabilistica del metodo ρ di Pollard. Esempi con PARI/GP.

Quinta settimana:
Gruppi: definizione e proprieta'. Il gruppo additivo Z_n e il gruppo moltiplicativo Z^*_p. La funzione φ di Eulero.
Il Teorema di Lagrange. Ordine di un elemento in un gruppo. L'ordine di un elemento divide l'ordine del gruppo.

Sesta settimana:
Gruppi ciclici e generatori. Esempi di gruppi ciclici finiti: il gruppo additivo Z_n, gruppi finiti di ordine primo, il prodotto Z_nxZ_m, con gcd(m,n)=1.
Due lemmi preliminari alla dimostrazione del Teorema della Radice Primitiva: formula di Gauss e ordine della potenza di un elemento di ordine a. Il Teorema della Radice Primitiva.

Settima settimana:
Radici di un polinomio a coefficienti in Z_p, con p primo. Ulteriori osservazioni sui gruppi abeliani finiti. Interi B-smooth, funzione di Dickman. L'algoritmo p-1 di Pollard e la sua complessita' probabilistica. Esempi con PARI/GP.

Ottava settimana:
Introduzione alle curve ellittiche: equazione di Weierstrass; esempi di curve ellittiche su Z _p, con p primo.
Costruzione geometrica della somma di due punti su una curva ellittica su R.

Nona settimana:
Curve ellittiche su Z _p, con p primo: esempi ed esercizi. Il teorema di Hasse. La struttura del gruppo dei punti di una curva ellittica su Z _p (cenni).

Decima settimana:
Introduzione al metodo di fattorizzazione con le curve ellittiche ECM di Lenstra: descrizione della fase 1 di un ciclo dell'algoritmo. Esempi con PARI/GP.
Complessita' probabilistica dell'algoritmo.

Undicesima settimana:
La seconda fase dell'algoritmo ECM. Esempi con PARI/GP.
Esercizi assortiti.

Dodicesima settimana:
Il logaritmo discreto in Z^*_p: definizione e proprieta'. Criterio della radice primitiva.
Il logaritmo discreto. Il calcolo dell'indice per la risoluzione del logaritmo discreto in Z^*_p (continua).