Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Anno Accademico 2007-2008, 2 bimestre.
Programma di GEOMETRIA 2



PRIMA SETTIMANA

Richiami sugli spazi vettoriali euclidei: lo spazio delle ennuple reali col prodotto scalare canonico. Nozioni di lunghezza, ortogonalita', angolo. Basi ortonormali. Prodotto vettoriale. Isometrie: classificazione delle isometrie, esempi di isometrie del piano e dello spazio. Matrici simmetriche e forme quadratiche. Riduzione di una forma quadratica in forma canonica metrica. Massimi e minimi di una forma quadratica sulla sfera unita'.

N.B.: Gli esercizi svolti sugli spazi vettoriali euclidei non sono parte del programma d'esame: possono comunque servire al ripasso dell'argomento.

SECONDA SETTIMANA

Curve parametrizzate regolari. Esempi. Lunghezza di un arco di curva. Rappresentazioni parametriche equivalenti. Parametro lunghezza d'arco. Curve piane parametrizzate rispetto alla lunghezza d'arco. Curvatura. Curve in forma impicita. Classificazione delle coniche nel piano.

TERZA SETTIMANA

Curve piane parametrizzate rispetto alla lunghezza d'arco. Curvatura, curvatura con segno, raggio di curvatura, cerchio osculatore. Curve dello spazio parametrizzate rispetto alla lunghezza d'arco. Terna di Frenet. Piano osculatore, piano normale, piano rettificante. Curvatura e torsione. Curvatura e torsione di una curva in una parametrizzazione qualunque. Equazioni di Frenet. Teorema fondamentale della teoria locale delle curve del piano e dello spazio.

QUARTA SETTIMANA

Curve parallele, evoluta e involute di una curva data. Esempi. Esercizi.

QUINTA SETTIMANA

Superfici parametrizzate regolari. Linee di coordinate. Esempi: grafici, superfici di rotazione, superfici rigate. Piano tangente e versore normale. Superfici in forma implicita. Quadriche.

SESTA SETTIMANA

Prima forma quadratica fondamentale. Misure di lunghezza e di area su una superficie parametrizzata. Superfici localmente isometriche. Sezioni normali. Curvatura normale di una curva su una superficie. Teorema di Meusnier.

SETTIMA SETTIMANA

Seconda forma quadratica fondamentale. Punti ellittici, umbilicali, iperbolici, parabolici e planari. Curvature principali e linee di curvatura. Curvatura di Gauss e curvatura media. Esempi: grafici di funzioni, superfici di rotazione, superfici rigate. Teorema Egregium di Gauss. Teorema fondamentale della teoria locale delle superfici.





PROGRAMMA PRIMO ESONERO: Programma svolto nelle prime quattro settimane: isometrie, forme quadratiche, curve del piano e dello spazio, classificazione delle coniche del piano. Inoltre, fanno parte del programma i fogli settimanali di esercizi 1,2,3,4, gli esercizi sulle coniche che si trovano sulle dispense e gli esercizi sulle curve fra gli "Esercizi vari".



PROGRAMMA SECONDO ESONERO: