Corso di Laurea triennale in Matematica
Anno Accademico 2017-18
Primo semestre
Diario delle lezioni di ANALISI REALE e COMPLESSA
Parte 2: Analisi Complessa



    LINEE GUIDA PER L'ESAME

  • Il compito scritto verte sul programma svolto in classe durante il corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sotto.
    Il compito consiste in un certo numero di esercizi. Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
    Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni CHIARE, SINTETICHE, e COMPLETE: non sara' dato punteggio a risposte non motivate, anche se corrette.

  • Per capire la materia e come si applica alla risoluzione dei problemi, vanno studiate tutte le dimostrazioni viste durante il corso.
    All'orale dovete essere in grado di ricostruire le dimostrazioni elencate qui sotto :
    Esistenza della derivata complessa e condizioni di Cauchy-Riemann, Teorema di Cauchy per regioni convesse- formula integrale di Cauchy su cerchi- sviluppabilita' locale in serie di potenze, Stime di Cauchy, teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'Algebra, zeri di funzioni olomorfe e principio di identita', teorema di convergenza di Weierstrass, principio del massimo modulo, lemma di Schwarz, determinazione degli automorfismi olomorfi del disco unita'. Teorema di Casorati-Weierstrass, determinazione degli automorfismi olomorfi del piano complesso e della sfera di Riemann, caratterizzazione dei vari tipi di singolarita', Teorema dei residui (come segue dal Teorema di Cauchy generale), principio dell'argomento per funzioni meromorfe, teorema di Rouche', teorema dell'applicazione aperta.

    TUTORATO

    Durante le ore di tutorato potete chiedere chiarimenti sugli argomenti svolti a lezione. Ogni venerdi' sera trovate sul sito un foglio di esercizi sugli argomenti della settimana. Questi esercizi saranno discussi durante il tutorato della settimana successiva.


    PRIMA SETTIMANA (20, 21, 22, 23 novembre):

  • Richiami sui numeri complessi. Definizione di funzione olomorfa: derivabile in senso complesso. Condizioni di Cauchy-Riemann. Gli operatori differenziali d/dz e d/dz̅.
  • Esempi di funzioni olomorfe e calcolo della loro derivata complessa: i polinomi complessi, l'esponenziale complesso, funzioni trigonometriche complesse. Il logaritmo complesso: domini che ammettono una determinazione continua del logaritmo, olomorfia di una determinazione continua del logaritmo compesso e sua derivata.
  • Serie numeriche complesse: convergenza e convergenza assoluta. Serie di funzioni complesse: convergenza puntuale e convergenza uniforme sui compatti. La serie geometrica complessa. Serie di potenze e dominio di convergenza di una serie di potenze.
  • Serie di potenze: raggio di convergenza. Teorema di Cauchy-Hadamard e criterio del rapporto per la determinazione del raggio di convergenza (senza dimostrazione). Serie derivata di una serie di potenze: il suo raggio di convergenza e' uguale a quello della serie originale. La somma di una serie di potenze e' una funzione olomorfa sul disco di convergenza e la sua derivata e' la somma della serie derivata.

    • Sarason, Cap.II, sez. 1-9, sez.16.
    • Sarason, Cap. IV, sez. 1-5; sez. 8-13.
    • Sarason, Cap. V, sez. 1-15.
    • Sarason, Esercizi: n. 1,2,3, p. 35; n. 1,2,3, p. 37.


    SECONDA SETTIMANA (27, 29, 30 novembre):

  • La somma di una serie di potenze ammette derivate olomorfe di tutti gli ordini (sullo stesso disco di convergenza). Integrazione complessa. L'integrale di una derivata complessa su una curva chiusa e' zero.
  • Il Lemma di Goursat per triangoli. Il teorema di Cauchy per convessi.
  • La formula integrale di Cauchy su circonferenze. L'espandibilita' locale di una funzione olomorfa in serie di potenze convergente.

    • Sarason, Cap. V, sez. 16.
    • Sarason, Cap. VI, sez. 1-11.
    • Sarason, Cap. VII, sez. 1-5.


    TERZA SETTIMANA (4, 5 dicembre):

  • La formula integrale di Cauchy per le derivate di una funzione olomorfa. Funzioni olomorfe date da integrali di Cauchy. Stime di Cauchy.
  • Il teorema di Liouville. Il teorema fondamentale dell'algebra. Zeri di funzioni olomorfe e principio di identit\`a. Il teorema di convergenza di Weierstrass.

    • Sarason, Cap. VII, sez. 8-15.


    QUARTA SETTIMANA (11, 13 & 14 dicembre):

  • Il principio del massimo modulo. Il Lemma di Schwartz.
  • Gli automorfismi olomorfi del disco unita'. Un biolomorfismo tra il semipiano superiore e il disco unita'.
  • Singolarita' isolate di una funzione olomorfa. Serie di Laurent. Dominio di convergenza di una serie di Laurent.

    • Cartan, p.182-184.
    • Sarason, Cap. VII, sez. 16,17; 18-20, 22 (leggere).
    • Sarason, Cap. VIII, sez. 1, 2.


    QUINTA SETTIMANA (18, 20 & 21 dicembre):

  • Formula di Cauchy per due cerchi concentrici. Espandibilta' in serie di Laurent di una funzione olomorfa su un anello.
  • Serie di Laurent e classificazione delle singolarita' isolate. Esempi. Teorema di Casorati-Weierstrass.
  • Automorfismi olomorfi del piano complesso e della sfera di Riemann.

    • Sarason, Cap. VIII, sez. 3-10.
    • Cartan, Cap. VI, Sez. 2.


    SESTA SETTIMANA (8, 10, 11 gennaio 2018 ):

  • Esistenza di una determinazione continua del logaritmo lungo una curva. Indice di avvolgimento di una curva intorno ad un punto. Contorni. Enunciato del teorema di Cauchy generale su aperti. Conseguenze del teorema di Cauchy generale: il teorema dei residui. Esempi di calcolo di residui.
  • Il principio dell'argomento. Applicazione del metodo dei residui per il calcolo di integrali: integrali di funzioni razionali di seno e coseno, integrali impropri di funzioni razionali.
  • Integrali impropri di funzioni razionali per un esponeziale, integrali impropri di funzioni razionali per una potenza frazionaria. Conseguenze del teorema di Cauchy generale per domini D semplicemente connessi: esistenza di una primitiva olomorfa per funzione olomorfa su D, esistenza di una determinazione olomorfa del logaritmo in D. Il teorema della singolarita' rimovibile di Riemann.
    • Sarason, Cap. VIII, sez. 12; Cap. IX, sez.1-7 (cenni); sez. IX (enunciato);
    • Sarason, Cap. X, sez. 1-5, 8,11.
    • Cartan, Cap.III, sez. 6.


    SETTIMA SETTIMANA ( ):

  • Integrali impropri di una funzione razionale per un logaritmo. Teorema di Rouche'.
  • Comportamento locale di una funzione olomorfa e teorema della applicazione aperta.
  • Il teorema dell'applicazione di Riemann (fuori programma). Esercizi.
    • Sarason, Cap. X, sez. 12,13.
    • Cartan, Cap. VI, sez.3.




    Fine