Programma di GEOMETRIA: crediti 6-10 (bozza in via di perfezionamento)
Prodotto scalare canonico in Rn. Norma di un vettore. Disuguaglianza di Cauchy e disuguaglianza triangolare. Angolo fra due vettori. Ortogonalita'. Proiezione di un vettore lungo una direzione.
Geometria in R2: rette nel piano, equazioni cartesiane e parametriche. Circonferenze. Risoluzione di problemi geometrici elementari.
Geometria in R3: rette e piani nello spazio, equazioni cartesiane e parametriche.
Risoluzione di problemi geometrici elementari nel piano.
Prodotto vettoriale in R3.
Basi ortogonali e basi ortonormali in Rn. Coordinate in una base ortonormale. Il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Basi ortonormali di un sottospazio U dato. Il complemento ortogonale U perp ad U in Rn. Proiezioni ortogonali di un vettore su U e U perp.
Isometrie e isometrie lineari di Rn col prodotto scalare canonico. Isometrie lineari e matrici ortogonali. Esempi di trasformazioni geometriche del piano e dello spazio. Operatori simmetrici e matrici simmetriche. Teorema spettrale per matrici simmetriche: enunciato e significato.
Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche reali. Matrice simmetrica associata. Forma canonica
metrica e affine. Il Teorema di Sylvester. Segnatura di una forma quadratica. Criteri
di positivita' e semipositivita'.
Lo spazio vettoriale complesso Cn col prodotto hermitiano canonico. Norma, distanza e ortogonalita' in Cn. Proiezioni ortogonali. Basi ortonormali. Cenni al procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Isometrie lineari complesse e matrici unitarie. Operatori hermitiani e matrici hermitiane. Teorema spettrale per matrici hermitiane.
Forme quadratiche reali. Matrice simmetrica associata. Forma canonica
metrica e affine. Il Teorema di Sylvester. Segnatura di una forma quadratica. Criteri
di positivita' e semipositivita'.
Proprieta' estremali degli autovalori.
Isometrie del piano e
dello spazio: traslazioni, rotazioni, simmetrie.
Coniche in R2. Riduzione a forma canonica.
Proprieta' geometriche di ellissi, iperboli e parabole. Quadriche in R3. Riduzione a forma canonica. Superfici quadriche notevoli (cenni).
Appunti 1, pag.1-5;
Appunti 2, pag. 1-10 & Esercizi di fine capitolo;
Appunti 3, pag. 1-7 & Esercizi di fine capitolo (eccetto 2.L, 2.M, 2.O);
Appunti 4, pag.1-10 & Esercizi di fine capitolo;
Appunti 5, pag.1-14 & Esercizi di fine capitolo (eccetto 5.D, 5.E, 5.G, 5.J, 5.L, 5.M);
Appunti 8, 9;
Appunti 10 & Esercizi di fine capitolo;
Appunti 11 & Esercizi di fine capitolo.
Esercizi 2010: 1, 1bis, 2, 6, 13, 14, 15.