Programma di GEOMETRIA: crediti 1-5

Sistemi lineari. Operazioni elementari sui sistemi. Riduzione a scala di un sistema lineare con il metodo di eliminazione di Gauss. Caratterizzazione e risoluzione dei sistemi lineari a scala compatibili. Lo spazio delle ennuple reali. Somma fra ennuple, prodotto di un'ennupla per uno scalare e loro proprieta'. Interpretazione geometrica in R² ed R³. Spazi vettoriali reali: assiomi di definizione. Esempi: le matrici mxn a coefficienti reali, i polinomi a coefficienti reali. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Il sottospazio delle combinazioni lineari di un insieme di elementi. Il sottospazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite. Sottospazi in R² e in R³. Elementi linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale. Generatori e basi. Dimensione di uno spazio vettoriale. Coordinate di un vettore in una base fissata. Determinazione di un insieme di generatori linearmente indipendenti di un sottospazio di Rⁿ col metodo di eliminazione di Gauss. Completamento di un insieme di vettori linearmente indipendenti ad una base di uno spazio vettoriale. Sottospazi complementari ad un sottospazio di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Somma e intersezione di sottospazi. Formule di Grassmann. Prodotto righe per colonne fra matrici. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali. Proprieta' ed esempi. L'applicazione lineare data dal prodotto matrice vettore. Applicazioni lineari iniettive, suriettive, biiettive. La relazione fra le dimensioni di dominio, nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Rango di una matrice: il rango per righe e' uguale al rango per colonne. Matrici, applicazioni lineari e sistemi lineari: dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, teorema di Rouche'-Capelli, struttura delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo compatibile. Applicazioni lineari biiettive. Inversa di un'applicazione lineare. Matrici invertibili: calcolo dell'inversa con il metodo di eliminazione di Gauss. Determinante: definizione e proprieta'. Calcolo del determinante con il metodo di eliminazione di Gauss. Teorema di Laplace e applicazioni: sviluppo del determinante lungo una riga o lungo una colonna, inversa di una matrice. Relazione fra determinanti e volumi. Matrici rappresentative di un'applicazione lineare fra spazi vettoriali di dimensione finita. Cambiamenti di base. Autovalori e autospazi di un'applicazione lineare di uno spazio in se'. Diagonalizzabilita'. Calcolo di autovalori e autospazi di un'applicazione lineare. Matrici coniugate. Invarianza per coniugio del polinomio caratteristico. Numeri complessi.

Dispense di Algebra Lineare: Sezioni 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Esercizi svolti: Fogli 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13.