Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale
Anno Accademico 2010-2011
Primo semestre
Programma settimanale di GEOMETRIA
PRIMA SETTIMANA: Lo spazio delle ennuple reali Rn. Somma di vettori, prodotto di un vettore per uno scalare: proprieta' e interpretazione geometrica. Prodotto scalare fra vettori. Norma di un vettore. Disuguaglianza di Cauchy e disuguaglianza triangolare. Angolo fra due vettori. Ortogonalita'. Proiezione di un vettore lungo una direzione. Esempi di luoghi geometrici elementari in R2 ed R3.
Apostol: Cap.1, sezioni 1.1 - 1.9. Esercizi 1.4, n.1-8; Esercizi 1.8, n.1-13. Esercizi 1.11, n.1-3.
Appunti 1, pag. 1-5;
Appunti 2, pag. 1-10; Esercizi di fine capitolo
Appunti 4., pag. 1-6; Esercizi di fine capitolo
(notare che gli Appunti 2 e gli Appunti 4 ripetono nel caso di R2 ed R3
il contenuto degli Appunti 1, pag. 1-5).
Esercizi 1 ed 1.bis.
SECONDA SETTIMANA: Rette nel piano: equazioni cartesiane e parametriche. Circonferenze. Risoluzione di problemi geometrici elementari nel piano.
Rette e piani nello spazio: equazioni cartesiane e parametriche.
Risoluzione di problemi geometrici elementari nello spazio.
Apostol Cap.2, sez. 2.1, 2.2, 2.3, 2.4. Esercizi 2.5: n. 1-5, 7.
Appunti 3, pag. 1-12 (eccetto intersezione di circonferenze); Esercizi di fine capitolo (eccetto 2.L, 2.M, 2.O)
Appunti 5, pag. 1-14. Esercizi di fine capitolo (eccetto 5.D, 5.E, 5.G, 5.J, 5.L, 5.M)
Esercizi 2.
TERZA SETTIMANA: Prodotto vettoriale in R3. Risoluzione di problemi geometrici nello spazio.
Insiemi generati da un numero finito di vettori in Rn. Insiemi di vettori linearmente indipendenti e insiemi di vettori linearmente dipendenti. Esempi ed esercizi.
Apostol Cap.1, sez. 1.12, 1.13 (prima parte); Cap.2, sez. 2.6, 2.7, 2.9, 2.10, 2.15, 2.16. Esercizi 2.8, 2.11(n. 1-5), 2.17.
Appunti 4., pag. 7-8 (eccetto orientazione);
Appunti 5, pag. 1-14. Esercizi di fine capitolo (i rimanenti, eccetto 5.L, 5.M)
Esercizi3.
QUARTA SETTIMANA:
Insiemi di vettori linearmente indipendenti e insiemi di vettori linearmente dipendenti. Esempi ed esercizi.
Un insieme di vettori a due a due ortogonali e' linearmente indipendente.
Il metodo di eliminazione di Gauss per righe, per ottenere un insieme di generatori linearmente indipendenti a partire da un insieme di generatori qualunque. Spazi vettoriali e sottospazi: definizioni ed esempi. Insiemi generati da un numero finito di vettori in uno spazio vettoriale V sono sottospazi vettoriali di V. Le soluzioni di un'equazione lineare omogenea in n incognite, e piu' in generale le soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n incognite, formano un sottospazio vettoriale di R3.
Apostol Cap.1, sez. 1.13 (seconda parte); Cap. 3, sez. 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.6, 3.7, Esercizi 3.5.
Esercizi4.
QUINTA SETTIMANA:
Intersezione di sottospazi. Somma e somma diretta di sottospazi. Generatori e basi di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale.
Completamento di un insieme di vettori linearmente indipendenti ad una base di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Coordinate di un vettore in una base fissata. Sottospazi complementari ad un
sottospazio di uno spazio vettoriale di dimensione finita.
Il metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari.
Apostol Cap.3, sez.3.8, 3.9; Esercizi 3.10, n. 1-20.
Dispense di Algebra Lineare, p.1-15 (escluse formule di Grassmann).
Esercizi5, Esercizi5bis.
SESTA SETTIMANA:
Rn col prodotto scalare canonico: basi ortogonali e basi ortonormali. Coordinate in una base ortonormale. Il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Il complemento ortogonale ad un sottospazio. Basi ortonormali di un sottospazio dato. Esempi ed esercizi.
Appunti1 (Spazi euclidei): sez.2, sez.3 (fino a meta' di pag. 9).
Apostol: Esercizi 3.17, n.1,2.
Esercizi6.
SETTIMA SETTIMANA:
Decomposizione di Rn nella somma diretta di un sottospazio e del suo complemento ortogonale. Proprieta' e calcolo della proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio. Distanza di un vettore da un sottospazio.
Formule di Grassmann (senza dimostrazione).
Lo spazio vettoriale M(m,n, R) delle matrici m x n a coefficienti reali. Esempi di sottospazi di M(m,n, R). Il prodotto righe per colonne fra matrici di dimensioni compatibili.
Applicazioni fra insiemi: iniettive, suriettive, biiettive. Composizione fra applicazioni. Inversa di un'applicazione biiettiva. Applicazioni LM: Rn ----> Rm determinate dal prodotto matrice-vettore, con M in M(m,n, R). Operazioni fra applicazioni LM determinate da matrici e operazioni fra le matrici corrispondenti.
Appunti1 (Spazi euclidei): sez.3 (esclusa osservazione dopo le formule della proiezione ortogonale su un sottospazio).
Dispense di Algebra lineare, sez.5, sez.6.
Apostol: Cap. 4, sez. 4.15(operazioni sulle matrici); esercizi 4.16, n.1-4, 6, 7.
Esercizi7.
OTTAVA SETTIMANA:
Applicazioni lineari fra spazi vettoriali. Esempi: la derivata sullo spazio delle funzioni differenziabili f: R ---> R, la proiezione ortogonale lungo un vettore, il prodotto matrice-vettore. Proprieta' delle applicazioni lineari: l'immagine del sottospazio generato da un insieme finito di vettori {v1,..,vk} nel dominio e' il sottospazio generato dai loro trasformati {L(v1),..,L(vk)} nel codominio; un'applicazione lineare e' completamente determinata dai valori assunti sugli elementi di una qualsiasi base del dominio. Immagine e nucleo di un'applicazione lineare. La relazione fra le dimensioni di dominio, nucleo e immagine di un'applicazione lineare e le sue conseguenze.
Dispense di Algebra lineare, sez.7 (fino alla dimostrazione della formula dim V=dim Ker L+ dim L(V), esclusa).
Apostol, Cap.4, sez.4.1, 4.2, 4.3, 4.5 (cenni), 4.7, 4.9; esercizi 4.4, n.1-10, n.16-23.
Esercizi8.
NONA SETTIMANA:
Dimostrazione della formula dim V=dim Ker L+ dim L(V). Applicazioni lineari e matrici: ogni applicazione lineare L : Rn ----> Rm e' data dal prodotto "matrice per vettore" L=LM, dove M e' una opportuna matrice m x n.
Rango per righe e rango per colonne di una matrice M e loro relazioni con le dimensioni del nucleo e dell'immagine di LM.
Uguaglianza fra il rango per righe e il rango per colonne di una matrice M. Calcolo del rango di una matrice.
Applicazioni lineari, matrici e sistemi lineari: dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.
Teorema di Rouche'-Capelli. Struttura delle soluzioni di un sistema lineare compatibile.
Dispense di Algebra lineare, sez.7, pag.24-27.
Apostol, Cap.4, sez. 4.17, 4.18; esercizi 4.20, n.1-8, 10.
Esercizi9.
DECIMA SETTIMANA:
Matrici rappresentative di un'applicazione lineare fra spazi vettoriali L:V ----> W. Matrici rappresentative rispetto a basi diverse. Matrice del cambiamento di base.
Applicazioni lineari invertibili. Linearita' dell'inversa di un'applicazione lineare e matrice rappresentativa corrispondente. Calcolo dell'inversa di una matrice con il metodo di eliminazione di Gauss.
Dispense di Algebra lineare, sez.7, pag.30-34.
Apostol, Cap.4, sez. 4.10, 4.19; esercizi 4.21, n.1,2.
Esercizi10.
UNDICESIMA SETTIMANA:
Determinanti: definizione e proprieta'. Il metodo di eliminazione di Gauss nel calcolo del determinante. Teorema di Laplace (senza dimostrazione): sviluppo del determinante di una matrice lungo una riga o lungo una colonna. Formula dell'inversa di una matrice. Determinante di un prodotto di matrici, determinante dell'inversa e della trasposta di una matrice. Inversa di un prodotto di matrici, inversa della trasposta di una matrice.
Numeri complessi: operazioni con i numeri complessi. Rappresentazione cartesiana e polare. Coniugato di un numero complesso, norma di un numero complesso. Teorema fondamentale dell'algebra: enunciato e conseguenze. Radici dei polinomi a coefficienti reali.
Dispense di Algebra lineare, sez.8, pag.34-38, sez.9 (fino a Corollario 1, incluso).
Apostol, Cap.5, sez. 5.1, 5.2, 5.3 (enunciati), 5.4 (Esempi 1, 2, 3, 4 senza dimostrazioni), 5.7 (enunciati), 5.8 (enunciati), 5.9, 5.10 (enunciati), 5.12 (enunciati), 5.14 (enunciati), 5.15 (enunciati), 5.16 (cenni); Esercizi 5.6: n. 1,2 ,3.a, 4.a, 4.d, 4.e, 9.a, 9.b, 10; Esercizi 5.11: n. 1, 3, 7; Esercizi 5.17: n. 1, 2, 5.
Apostol, Premessa, Esercizi 1,2,3.
Esercizi11.
DODICESIMA SETTIMANA:
Applicazioni lineari L:V ---> V di uno spazio vettoriale di dimensione finita in se' (endomorfismi): autovalori e autospazi, diagonalizzabilita' (esistenza di matrici rappresentative diagonali), caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili. Esempi dalla geometria. Calcolo degli autovalori e degli autospazi di un'applicazione lineare data. Calcolo di autovalori e autospazi di un endomorfismo dato. Matrici coniugate. Invarianza per coniugio del polinomio caratteristico. Molteplicita' algebrica e molteplicita' geometrica di un autovalore.
Dispense di Algebra lineare, sez.10 (esclusa ultima pagina).
Apostol, Cap.6, sez. 6.1, 6.2 (fino all'Esempio 5 incluso), 6.5, 6.6, 6.7 (fino al Teorema 6.9 incluso). Esercizi 6.8: n.1, 2, 7, 8.
Esercizi12.
TREDICESIMA SETTIMANA:
Esempi ed esercizi sulla diagonalizzazione. Isometrie e isometrie lineari di Rn col prodotto scalare canonico. Isometrie lineari e matrici ortogonali. Esempi di trasformazioni geometriche del piano e dello spazio. Operatori simmetrici e matrici simmetriche. Teorema spettrale per matrici simmetriche: enunciato e significato.
Dispense di Algebra lineare, sez.10 (ultima pagina).
Dispense 7. Isometrie di Rn
Dispense 8. Applicazioni simmetriche etc..., pag.1-2 (escluse matrici congruenti).
Esercizi13.
QUATTORDICESIMA SETTIMANA:
Lo spazio vettoriale complesso Cn col prodotto hermitiano canonico. Norma, distanza e ortogonalita' in Cn. Proiezioni ortogonali. Basi ortonormali. Cenni al procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Isometrie lineari complesse e matrici unitarie. Operatori hermitiani e matrici hermitiane. Teorema spettrale per matrici hermitiane.
Apostol, Cap.1, sez. 1.16, esercizi 1.17, n.1-6; Cap.7, sez. 7.2, 7.3, 7.4, 7.6, 7.8, 7.9, 7.10, 7.19; esercizi 7.11, n.1-3, 5-9, 11, 14.
Dispense 9. (no sezione 3).
Esercizi14.
QUINDICESIMA SETTIMANA:
Forme quadratiche reali: forme quadratiche definite positive (risp. negative), semidefinite positive (risp. negative), indefinite. Matrice simmetrica associata. Forma canonica metrica e affine di una forma quadratica. Teorema di Sylvester. Caratterizzazione della segnatura di una forma quadratica mediante il segno degli autovalori della matrice simmetrica associata.
Coniche nel piano: equazioni di una stessa conica rispetto a sistemi di coordinate diverse.
Dispense 8. Applicazioni simmetriche etc..., pag.2-7.
Dispense 10, Coniche.
Apostol, Cap.7, Sez. 7.12, 7.13.
Esercizi15&16.
SEDICESIMA SETTIMANA:
Classificazione metrica (risp. affine) affine delle coniche del piano mediante riduzione a forma canonica metrica (risp. affine). Proprieta' geometriche di ellissi, iperboli e parabole.
Cenni alla classificazione delle quadriche nello spazio. Equazioni e rappresentazione grafica di alcune quadriche notevoli.
Dispense 10, Coniche.
Apostol, Cap.2, sez.2.18, 2.19, 2.22, 2.23; Cap.7, Sez. 7.14; esercizi 7.15.
Dispense 11, Quadriche, pag.1-8.
LINEE GUIDA PER GLI SCRITTI
Il compito scritto verte sul programma svolto in classe durante le 16 settimane di corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sopra.
Gli esercizi assegnati settimanalmente e gli esercizi svolti presenti sul sito fanno parte integrante del programma.
Il compito consiste in un certo numero di esercizi.
Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni brevi ma complete.