GEOMETRIA e ALGEBRA (PARTE 2)
Programma settimanale: 11 dicembre 2006 - 16 febbraio 2006.
PRIMA SETTIMANA: Prodotto scalare in Rn . Norma di vettori in Rn .
Distanza tra due punti dello spazio caretsiano Rn . Diseguaglianze di Cauchy-Schwartz e triangolare.
Vettori ortogonali e angoli tra vettori. Proiezione ortogonale di un vettore su un altro vettore. Conseguente
decomposizione ortogonale di vettori. Esercizi ed esempi.
Sistema ortogonale di vettori in Rn ed indipendenza lineare.
Basi ortogonali ed ortonormali di
Rn . Riferimenti cartesiani ortonormali.
Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Esercizi ed esempi.
Coordinate di un vettore di Rn rispetto ad una qualsiasi
base ortogonale (oppure ortonormale). Vettori ortogonali ad un qualsiasi sottoinsieme
U di vettori di Rn è l'ortogonale di U:= U±.
U± è sempre un sottospazio vettoriale.
Se U è un sottospazio vettoriale di Rn e B è una sua qualsiasi
base, allora U± = B±.
Equazioni cartesiane per U±. Esercizi ed esempi.
SECONDA SETTIMANA: Per ogni sottospazio U di Rn , lo spazio
vettoriale euclideo Rn si decompone in somma diretta di U e di U±.
Sono univocamente determinate le proiezioni ortogonali
di un vettore x di Rn su U e su U±. Legame con la
definizione di distanza di un vettore x da un sottospazio U di Rn .
Esercizi ed esempi.
Prodotto vettoriale in R 3. Regole del prodotto vettoriale.
Applicazione al calcolo di una base ortonormale di
R3 . Esercizi ed esempi.
Calcolo in R2 di aree di triangoli e di parallelogrammi aventi uno dei vertici nell'origine per mezzo
di valori assoluti di determinanti di matrici quadrate.
Calcolo in R3 di volumi di parallelepipedi aventi uno dei vertici nell'origine per mezzo
di valori assoluti di determinanti di matrici quadrate. Calcolo del prodotto misto di una terna ordinata di vettori
di R3 per mezzo di determinanti di matrici quadrate. Orientazione di una base di Rn.
Basi equiorientate con la base canonica (equivalentemente orientate positivamente).
La matrice associata ad una qualsiasi base ortonormale di Rn ha determinate coincidente con il valore
della sua orientazione. Determinazione di una base ortonormale di R3 , equiorientata con la
base canonica, per mezzo del prodotto vettoriale. Esercizi ed esempi.
TERZA SETTIMANA: Piano cartesiano R2. Aree di triangoli per 3 punti non allineati.
Equazioni cartesiane di rette di R2: vettore direttore, parametri direttori e vettore normale ad una retta
data. Equazione parametrica vettoriale ed equazioni parametriche scalari di una retta di R2. Passaggio
dalle une alle altre e viceversa. Esercizi ed esempi.
Equazioni cartesiane e parametriche di: rette per due punti distinti, rette ortogonali ad una retta data e
passanti per un punto dato. Intersezioni fra rette: casi parametrici, casi cartesiani e casi misti.
Distanza punto retta e distanza fra due rette parallele.
Esercizi ed esempi.
Equazione cartesiana di una circonferenza in R2. Circonferenza per tre punti del piano non allineati.
Intersezione fra una circonferenza ed una retta del piano. Intersezione fra due circonferenze del piano.
Retta tangente ad una circonferenza in un suo punto. Rette tangenti ad una circonferenza
uscenti da un punto esterno alla circonferenza. Esercizi ed esempi.
QUARTA SETTIMANA: Equazioni di rette e piani nello spazio cartesiano:
equazioni vettoriali parametriche, equazioni scalari parametriche ed equazioni cartesiane.
Passaggio dalle une alle altre. Vettori normali ad una retta e vettore normale ad un piano.
Piani perpendicolari ad una retta data.
Fascio di piani di asse una retta. Applicazioni: proiezione ortogonale di una retta su un piano dato.
Intersezioni in R3:
piano-piano, retta-piano e retta-retta; casi cartesiano, parametrico e misto.
Piano per 3 punti.
Distanza punto-retta e distanza tra due rette parallele in R3.
Distanza punto-piano. Piano passante per una retta l e parallelo ad una retta m,
sghemba ad l. Distanza fra due rette sghembe.
Esercizi ed esempi.
Svolgimento esercizi riepilogativi su tutti gli argomenti delle prime
11 lezioni per preparazione al I esonero.
QUINTA SETTIMANA: Sfere in R3: equazioni cartesiane. Piano tangente ad una
sfera in un suo punto.
Il vettore normale al piano tangente in un punto q della sfera e' proporzionale
al gradiente della sfera valutato nel punto q. Intersezioni: sfera-retta e sfera-piano.
Circonferenze in R3: equazioni cartesiane. Determinazione di centro e raggio di una circonferenza in
R3. Operatori autoaggiunti nello spazio vettoriale euclideo Rn. Un operatore T e'
autoaggiunto se e solo se e' rappresentato, in una base ortonormale rispetto al prodotto scalare standard di Rn,
da una matrice A simmetrica. Un operatore autoaggiunto determina una forma quadratica Q di Rn e viceversa.
La nozione di rango di T, rango di A e rango di Q coincidono. Esercizi ed esempi.
Operatori ortogonali e matrici ortogonali. Determinante ed autovalori reali di una matrice ortogonale. Le matrici
rappresentative di un operatore autoaggiunto in due basi ortonormali sono congruenti. Un operatore autoaggiunto
e' rappresentato in una qualsiasi base ortonormale da una matrice simmetrica. Se pero' la base non e' ortonormale,
la matrice rappresentativa dell'operatore autoaggiunto non e' necessariamente simmetrica. Esercizi ed esempi.
Gruppi di Trasformazioni dello spazio cartesiano Rn.
Trasformazioni dello spazio vettoriale euclideo Rn: Isometrie lineari e matrici ortogonali.
Traslazioni come isometrie dello spazio cartesiano Rn ma non dello spazio vettoriale euclideo
Rn. Classificazione delle isometrie dello spazio cartesiano Rn.
Affinità; Affinità lineari e matrici invertibili. Classificazione delle affinità dello spazio cartesiano
Rn. Luoghi geometrici isometrici e luoghi geometrici affinemente equivalenti: se C e C' sono
isometrici, sono anche affinemente equivalenti ma non vale il viceversa.
Due rette di Rn sono sempre isometriche e quindi affinemente equivalenti. Esercizi ed esempi.
SESTA SETTIMANA: Isometrie del piano cartesiano:
traslazioni; rotazioni attorno all'origine ed attorno ad un punto qualsiasi del piano cartesiano;
simmetrie rispetto a rette vettoriali e rispetto a rette affini qualsiasi. Determinanti di una rotazione e di una
simmetria lineari. Particolari affinita' del piano cartesiano: dilatazioni, contrazioni e shears.
Trasformazioni di figure geometriche: rette, circonferenze, quadrati, rettangoli, rombi, triangoli, ecc...
Trasformazioni lineari di basi ed equiorientazione.
Isometrie dello spazio cartesiano: traslazioni; rotazioni di dato angolo attorno all'asse x_1
orientato positivamente (cioe' attorno al vettore e_1).
Formule di rotazione attorno ad una retta vettoriale orientata. Rotazioni attorno ad una retta
orientata non passante per l'origine. Trasformazioni di
figure geometriche (rette, piani, cubi, prismi, parallelepipedi, ecc....).
Isometrie dello spazio cartesiano:
Riflessioni rispetto ad un piano, ad una retta e ad un punto di R3.
Affinita' dello spazio cartesiano: dilatazioni e contrazioni.
Trasformazioni di figure geometriche (rette, piani, cubi, prismi, parallelepipedi, ecc....).
SETTIMA SETTIMANA: Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti. Dimostrazione e formulazioni equivalenti con
forme quadratiche e con matrici simmetriche.
Teorema di Sylvester e forme canoniche di Sylvester di forme quadratiche. Forme quadratiche (semi)-definite
positive, (semi)-definite negative ed indefinite.
Forme canoniche metriche delle coniche del piano euclideo. Studio delle loro proprieta' geometriche e dei loro grafici.
Forme canoniche affini delle coniche del piano affine.
Applicazione del Teorema di Sylvester per il
passaggio dalla forma canonica metrica alla forma canonica affine di una conica del piano.
I parte dell'algoritmo di riduzione di una conica alla sua forma canonica metrica:
applicazione del teorema spettrale per
semplificare la parte omogenea di grado 2 dell'equazione di una conica euclidea.
OTTAVA SETTIMANA: II parte dell'algoritmo di riduzione di una conica alla sua forma canonica metrica:
Traslazioni per semplificare la parte lineare e/o la parte in grado zero della equazione di una conica generale.
Esercizi di riduzione a forma canonica metrica ed affine di una conica in IR^2 ed isometrie o affinita' tra riferimenti.
Esercizi di classificazione affine ed euclidea di una conica.
Forme canoniche affini delle quadriche di R3.
Determinazione del tipo di una quadrica in R3 per mezzo dello studio del
rango e del segno degli autovalori
della matrice simmetrica associata alla parte omogenea di grado due
della quadrica e della geometria delle sezioni della quadrica con piani opportuni.
Deduzione della forma canonica affine di una quadrica in IR^3.
Esercizi.
Esercizi di ricapitolazione per preparazione al II esonero o ai primi Appelli.
PROGRAMMA ESONERO 1 su PARTE 2.
Dispense di Geometria: Capitoli: I, II e III (Sfere escluse).
Esercizi settimanali 2006 - 2007 (con soluzioni) : 1,2,3,4.
PROGRAMMA ESONERO 2 su PARTE 2.
Dispense di di Geometria: Capitoli: III (Sfere), IV e V.
Esercizi settimanali 2007 (con soluzioni) : 5,6,7,8.
PROGRAMMA APPELLI su PARTE 2.
Dispense di Geometria: Capitoli da I a V.
Esercizi settimanali 2006 - 2007 (con soluzioni) : 1,2,3,4,5,6,7,8.