GEOMETRIA e ALGEBRA (PARTE 1)
Programma settimanale: 2 ottobre - 24 novembre 2006.
PRIMA SETTIMANA: Sistemi lineari. Operazioni elementari sui sistemi. Riduzione a scala di un sistema lineare con il metodo
di eliminazione di Gauss. Caratterizzazione e risoluzione dei sistemi lineari
a scala compatibili.
Lo spazio delle ennuple reali. Somma fra ennuple, prodotto di un'ennupla per uno scalare e loro proprieta'.
Interpretazione geometrica in R2 ed R3 . Disegno di luoghi geometrici semplici.
Spazi vettoriali reali: assiomi di definizione. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Esempi: Il sottospazio delle soluzioni di un sistema
lineare omogeneo di m equazioni in n incognite.
Sottospazi in R2 e in R3
.
SECONDA SETTIMANA:
Esempi di spazi vettoriali: le matrici mxn a coefficienti reali, i polinomi a coefficienti reali. Esempi di sottospazi: Il sottospazio delle combinazioni lineari di un insieme di elementi.
Elementi linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale. Determinazione di un insieme di generatori linearmente indipendenti di un
sottospazio di Rn col metodo di
eliminazione di Gauss.
TERZA SETTIMANA: Generatori e basi. Dimensione di uno spazio vettoriale.
Completamento di un insieme di vettori linearmente indipendenti ad una base di uno spazio vettoriale. Coordinate di un vettore in una base fissata.
Intersezione di sottospazi. Somma e somma diretta di sottospazi. Sottospazi complementari ad un
sottospazio di uno spazio vettoriale di dimensione finita.
QUARTA SETTIMANA: Formule di Grassmann. Prodotto righe per
colonne fra matrici. Esercizi di ricapitolazione.
QUINTA SETTIMANA: Applicazioni lineari fra spazi vettoriali. Proprieta' ed esempi. L'applicazione lineare data dal prodotto matrice vettore.
Applicazioni lineari iniettive, applicazioni lineari suriettive. La relazione fra le dimensioni di dominio, nucleo e immagine di un'applicazione lineare.
Applicazioni lineari invertibili. Inversa di una matrice col metodo di eliminazione di Gauss.
SESTA SETTIMANA: Rango di una matrice: il rango per righe e' uguale al rango per colonne. Matrici, applicazioni
lineari e sistemi lineari: dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, teorema di Rouche'-Capelli, struttura
delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo compatibile.
Matrici rappresentative di un'applicazione lineare fra spazi vettoriali di dimensione finita. Cambiamenti di base.
SETTIMA SETTIMANA:
Determinante: definizione e proprieta'. Calcolo del determinante con il metodo di eliminazione di Gauss.
Teorema di Laplace e applicazioni: sviluppo del determinante lungo una riga o lungo una colonna, inversa di una matrice.
Autovalori e autospazi di un'applicazione lineare di uno spazio in se'. Diagonalizzabilita' di un endomorfismo. Calcolo di autovalori e
autospazi di un'applicazione lineare. Molteplicita' algebrica e molteplicita' geometrica di un autovalore.
OTTAVA SETTIMANA:
Matrici coniugate. Invarianza per coniugio del polinomio caratteristico.
Numeri complessi.
PROGRAMMA ESONERO 1.
Dispense di Algebra Lineare: Sezioni 1,2,3,4,5.
Esercizi (svolti): 1,2,3,4,5,6,7.
Esercizi settimanali 2006 : 1,2,3,4.
PROGRAMMA ESONERO 2.
Dispense di Algebra Lineare: Sezioni 6,7,8,9,10.
Esercizi: Fogli 8,9,10,11,12,13.
Esercizi settimanali 2006 : 5,6,7,8.
PROGRAMMA APPELLI su PARTE 1.
Dispense di Algebra Lineare: Sezioni 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Esercizi: Fogli 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13.
Esercizi settimanali 2006 : 1,2,3,4,5,6,7,8.