Corso di Geometria

Ingegneria Edilizia ed Edile/Architettura

  A.A. 2013-2014


  Docente: Flaminio Flamini   tel. +39.06.72594608   e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
  Orario delle Lezioni: Lun. ore: 14:00 - 15:30    Aula 4 / Mer. ore: 9:30 - 11:15    Aula 1 / Giov.    ore: 11:30 - 13:15    Aula 1.

  Tutorato (Dott. Pierfrancesco Carlucci)
  Orario Tutorato Lunedi’; ore 16:00-17:30; Aula C6 (Edificio Didattica)  

Ricevimento studenti: studio docente – Dipartimento di Matematica
 Orario ricevimento: Mercoledi’, ore 16:00 -18:00
 

LEGENDA TESTI

 

·  [T] = Testo "Matrici e vettori. Corso di base di geometria e algebra lineare" Carocci Editore, Roma 2008

Diario giornaliero delle lezioni

I SEMESTRE: 30/09/2013 - 1/02/2014

SEMESTRE

SETTIMANA

  LEZIONE

ARGOMENTI

I

Settimana 1

1 (2 ore).

[T] Capitolo 1

·  Simbologia di base: quantificatori universali.

·  Teoria ingenua degli insiemi.

·  Insiemi numerici e particolari sottoinsiemi. Catene di inclusioni fra insiemi numerici.

·  Indeterminate.

·  q-uple reali. Operazioni tra le q-uple. Esempi.

·  Sistemi di equazioni lineari in q indeterminate. Significati geometrici.

·  Sistemi lineari compatibili ed incompatibili. Significato geometrico.

·  Sistema lineare di p equazioni in q indeterminate: SL(p,q).

·  p-upla dei termini noti.

·  Matrice A dei coefficienti di un SL(p,q): e' una matrice con p righe e q colonne.

·  Matrice completa C di un SL(p,q): e' una matrice con p righe e (q+1) colonne.

·  Sistemi lineari omogenei e non omogenei.

·  Un sistema lineare omogeneo e' sempre compatibile.

·  Descrizione dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare SL(p,q; IR) in funzione di una soluzione particolare di esso e dell'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo SLO(p,q; IR) associato.

·  Esempi.

  

  

2 ( 2 ore).

·  Matrici pxq.

· Matrici riga e matrici colonna.

·  Matrici quadrate. Esempi particolari: matrici diagonali, matrici triangolari superiori ed inferiori, matrici scalari

·  Operazioni tra matrici. Matrice nulla e matrice opposta di una matrice data.

·  Trasposta di una matrice.

·  Matrici quadrate simmetriche ed antisimmetriche.

·  Pivots di una matrice. Matrici ridotte per righe.

·  Esempi.

  

  

3 ( 2 ore).

·  Matrici ridotte a gradini (o a scala). Pivots principali.

·  Sistemi lineari a gradini (o a scala).

·  Pivots principali e parametri indipendenti da cui dipendono le soluzioni del sistema.

·  Un SL(p,q; IR) ridotto a gradini e compatibile, con k pivots principali, ammette soluzioni dipendenti da q-k parametri liberi.

·  CNES per la compatibilita' di un SL(p,q;IR) ridotto a scala. Metodo della risoluzione con sostituzione a ritroso.

·  Rango di una matrice M ridotta a scala come numero dei pivots principali di M (equiv. delle righe non nulle di M).

·  Sistemi lineari equivalenti.

·  Operazioni elementari tra le righe di una matrice.

·  Matrice modificazione elementare di un'altra.

·  Matrice modificazione di un'altra.

·  Esercizi riepilogativi di settimana I: FOGLIO 1 sul sito web

I

Settimana 2

4 (2 ore).

·  Applicazioni ai sistemi lineari.

·  Algoritmo di riduzione di Gauss-Jordan: con un numero finito di operazioni elementari, un qualsiasi SL(p,q) si puo' ridurre ad un sistema lineare ridotto a scala equivalente al sistema originario.

·  Risoluzioni di sistemi lineari SL(p,q; IR) qualsiasi.

·  [T] Capitolo 2

·  Prodotto righe per colonne fra matrici.

·  Proprieta' elementari del prodotto tra matrici.

·  Il prodotto tra matrici, quando e' definito, e' associativo, distributivo ma non e' in generale commutativo.

·  Esistenza di zero-divisori.

·  Matrici riga e matrici colonna.

·  Matrice identita' nxn. Matrici scalari nxn.

·  Esempi.

  

  

5 (2 ore).

·  Trasposta di un prodotto di matrici.

·  Matrice identita' nxn e simbolo di Kronecher.

·  Matrici invertibili.

·  CNES per l'invertibilita' di matrici quadrate di ordine 2.

·  Esempi: matrici diagonali invertibili.

·  Matrici invertibili ed unicita' di soluzioni di sistemi lineari.

·  Sottomatrici di una matrice data.

·  Esempi.

  

  

6 (2 ore).

·  Rango di una matrice A come ordine massimo di una sottomatrice invertibile di A.

·  Il rango di A e' anche il numero delle righe o delle colonne indipendenti di A.

·  Il rango per righe ed il rango per colonne di A coincidono.

·  Matrici di permutazioni.

·  Trasformazioni elementari e matrici rappresentative: sono matrici invertibili.

·  Rango per due matrici A e B tali che B = EA con E matrice di una trasformazione elementare.

·  Rango di una matrice A e modificazioni elementari di A: il rango e' invariante.

·  Applicazioni: Teorema di Rouche'-Capelli e legami del rango con l'algoritmo di riduzione a scala di Gauss-Jordan.

·  Esercizi ed esempi.

·  Esercizi riepilogativi di settimana II: FOGLIO 2a sul sito web

I

Settimana 3

7 (2 ore).

·  [T] Capitolo 3

·  Determinanti di matrici quadrate: assiomi.

·  Funzione determinante come funzione lineare sulle colonne o sulle righe.

·  Calcolo del determinante di una matrice 2 x 2

·  Calcolo del determinante di una matrice 3 x 3 (metodo di Sarrus)

·  Cofattore o complemento algebrico di un elemento di una matrice quadrata.

·  Calcolo del determinante secondo lo sviluppo di Laplace rispetto ad una riga o ad una colonna.

·  Rango di una matrice qualsiasi e determinanti di sue sottomatrici quadrate.

·  Una matrice nxn ha rango massimo n se, e solo se, il suo determinante e' non nullo.

·  Caratterizzazione di invertibilità di una matrice quadrata per mezzo del suo determinate.

·  Esempi.

·  TUTORATO POMERIDIANO

  

  

8 (2 ore).

·  Matrice dei cofattori e matrice aggiunta di una matrice quadrata.

·  Inversa di una matrice quadrata (invertibile) mediante l'utilizzo del determinante e della matrice aggiunta.

·  Applicazioni: formule di Cramer per determinare le soluzioni di un SL(n,n) di rango massimo.

·  Minori di ordine k di una matrice rettangolare M e rango di M.

·  Teorema di Kronecher (o dei minori orlati): caratterizzazione del rango di una matrice qualsiasi mediante lo studio dei minori massimali e matrici orlate (senza dimostrazione)

·  Teorema di Binet.

·  Conseguenza: determinante dell'inversa di una matrice.

  

  

9 (2 ore).

·  [T] Capitolo 4

·  Segmenti orientati e segmenti equipollenti.

·  Relazione di equipollenza di segmenti.

·  Nozione di vettore geometrico e di spazio dei vettori geometrici

·  Somma tra vettori geometrici: regola del parallelogramma.

·  Vettore geometrico nullo, vettore geometrico opposto.

·  Operazioni tra vettori geometrici.

·  Spazi vettoriali reali: assiomi ed esempi.

·  Esempi di spazi vettoriali: IR^n, le matrici pxq, le funzioni reali di variabile reale, i polinomi di grado limitato, ecc....

·  Prodotto cartesiano di due spazi vettoriali.

·  Esercizi riepilogativi di settimana III: FOGLI 2b e 3 sul sito web

I

Settimana 4

10 (2 ore).

·  Sottospazi vettoriali: sottospazi propri e sottospazi banali. Esempi.

·  Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo SLO(p,q) di p equazioni in q indeterminate costituiscono sempre un sottospazio vettoriale di IR^q.

·  Sottospazi vettoriali di matrici: matrici tirangolari superiori (inferiori), matrici diagonali, matrici simmetriche, matrici antisimmetriche, ecc....

·  Sottospazio intersezione e sottospazio somma di due sottospazi.

·  Somma diretta di sottospazi.

·  Significato geometrico della somma diretta: unicità della scrittura di vettori.

·  Esempi ed esercizi.

·  TUTORATO POMERIDIANO

  

  

11 (2 ore).

·  Sottospazi supplementari di uno spazio vettoriale V.

·  M(n,n; IR) e' somma diretta dei sottospazi Sym(n,n;IR) (matrici simmetriche) e Antisym(n,n;IR) (matrici antisimmetriche). Questi sono due sottospazi supplementari di M(n,n; IR).

·  M(n,n; IR) e' SOLO somma dei sottospazi Triangsup(n,n; IR) (matrici triangolari superiori) e Trianginf(n,n; IR) (matrici triangolari inferiori): la somma non e' diretta dato che l'intersezione dei due sottospazi e' costituita dalle matrici diagonali. I due sottospazi non sono supplementari in M(n,n; IR).

·  Sistemi di vettori.

·  Equazioni vettoriali.

·  Combinazioni lineari di vettori di V.

·  Vettori linearmente indipendenti e vettori linearmente dipendenti. Caso del vettore nullo e di due vettori.

·  r vettori sono linearmente dipendenti se e solo se ciascuno di essi puo' essere espresso come combinazione lineare dei rimanenti.

·  Significato geometrico.

·  Esercizi ed esempi.

  

  

12 (2 ore).

·  W : = Lin {v_1,...,v_r} e' sempre un sottospazio di V.

·  Sistemi di generatori di uno spazio vettoriale.

·  Spazi vettoriali finitamente generati o di dimensione finita.

·  IR^n e' finitamente generato: esempi.

·  M(p,q; IR) e' finitamente generato: matrici elementari.

·  Lo spazio vettoriale delle funzioni reali di variabile reale (o dei polinomi in un'indeterminata) non e' finitamente generato.

·  Basi di uno spazio vettoriale di dimensione finita.

·  Esistenza di basi: ogni spazio di dimensione finita ammette una base.

·  Tutte le basi di uno spazio vettoriale V hanno la stessa cardinalita'.

·  Definizione di DIMENSIONE di uno spazio vettoriale V: e' una buona definizione (i.e. non dipende dalla base prescelta ma e' una proprieta' intrinseca dello spazio vettoriale).

·  Esercizi riepilogativi di settimana IV: FOGLI 4a e 4b sul sito web

I

Settimana 5

13 (2 ore)

·  Teorema di estrazione di una base da un sistema di generatori di V.

·  Teorema di estensione ad una base di V a partire da un sistema di vettori linearmente indipendenti in V.

·  {0} e' finitamente generato ma non ha basi.

·  Applicazioni: basi e dimensioni di sottospazi propri di V.

·  Per ogni intero non negativo k minore od uguale a dim(V) esistono sottospazi di V di dimensione k.

·  dim(IR^n) = n; base canonica di IR^n. Altre basi di IR^n.

·  dim(M(p x q; IR)) = pq: base canonica di M(p x q; IR) (matrici elementari).

·  dim(IR[T]_{<= d}) = d+1: base canonica data da 1, T, T^2, ....., T^d.

·  Dimensione dello spazio vettoriale prodotto di due spazi vettoriali.

·  Dimensioni di sottospazi vettoriali noti: Sym(3 x 3; IR), Antisym (3 x 3; IR), Diag (3x3; IR), Triangsup(3x3; IR), Trianginf(3x3; IR): basi canoniche.

·  Lo spazio delle matrici 3 x 3 risulta decomposto in somma diretta dei sottospazi di matrici simmetriche e di matrici antisimmetriche.

·  Nel caso 3 x 3 lo spazio delle matrici dipende da 9 parametri liberi, le matrici simmetriche dipendono da 6 parametri liberi, le matrici antisimmetriche da 3 parametri liberi.

·  Equivalentemente, dim(M(3,3;IR)) = 9, dim(Sym(n,n;IR)) = 6, dim(Antisym(3,3;IR)) = 3.

·  Esercizi ed esempi.

·  TUTORATO POMERIDIANO

  

  

14 (2 ore).

·  Estensione di una base di un sottospazio W di V ad una base per tutto lo spazio V.

·  Sottospazi supplementari in V e loro dimensione.

·  Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi vettoriali di IR^n.

·  Codimensione di un sottospazio proprio W di V.

·  Se V = IR^n, la codimensione di W e' il numero minimo di equazioni cartesiane indipendenti per descrivere il sottospazio W.

  

  

15 (2 ore).

·  Ogni vettore di V si scrive in modo unico come combinazione lineare di generatori v_1, ...v_r per V se, e solo se, i vettori v_1,...,v_r sono linearmente indipendenti, i.e. se e solo se costituiscono una base di V.

·  Componenti di vettori rispetto alle differenti basi di uno spazio vettoriale V.

·  Matrici M_e(v) di sistemi di vettori v di V rispetto ad una base e di V.

·  Dimensione del sottospazio Lin(v) di V e rango della matrice M_e(v).

·  Matrice cambiamento di base (o di passaggio) da una base e ad una base v di V.

·  Matrice di trasformazione delle componenti (o delle coordinate) di un vettore in due basi diverse.

·  Esercizi riepilogativi di settimana V: FOGLI 5a e 5b sul sito web

I

Settimana 6

16 (2 ore).

·  [T] Capitolo 9

·  Applicazioni lineari tra spazi vettoriali.

·  Dominio, codominio ed insieme immagine di un'applicazione lineare.

·  Un'applicazione lineare f:V -> W e' individuata univocamente dalle immagini dei vettori di una base di V.

·  Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare.

·  Il nucleo e' un sottospazio vettoriale di V.

·  L'immagine e' un sottospazio vettoriale di W.

·  Applicazioni lineari iniettive e suriettive.

·  Caratterizzazione di iniettivita' per mezzo della dimensione del Ker(f).

·  Caratterizzazione di suriettivita' per mezzo della dimensione dell' Im(f).

·  Esercizi ed esempi.

  

  

17 (2 ore).

·  Generatori del sottospazio immagine di un'applicazione lineare.

·  Teorema di Nullita' piu' Rango: dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).

·  Applicazioni: (a) se dim(V) > dim(W) ogni applicazione lineare NON E' MAI INIETTIVA. (b) se dim(V) < dim(W) ogni applicazione lineare NON E' MAI SURIETTIVA

·  Applicazioni biiettive (o Isomorfismi) di spazi vettoriali.

·  Spazi vettoriali isomorfi: esempi e controesempi.

·  Due spazi vettoriali sono isomorfi se, e solo se, hanno la stessa dimensione.

·  Se due spazi vettoriali sono isomorfi vuol dire che ESISTE almeno un'isomorfismo definibile tra essi, ma non che tutte le applicazioni lineari tra essi sono biiettive: esempi e controesempi.

·  Formula di Grassmann.

·  Esercizi ed esempi.

  

  

18 (2 ore).

·  Applicazioni lineari e matrici rappresentative in basi date.

·  Calcolo di una base del Ker(f) e di una base di Im(f).

·  Calcolo di equazioni cartesiane e parametriche del Ker(f) e dell'Im(f).

·  Determinazione dell'insieme delle controimmagini di un vettore.

·  Significato del teorema di Rouche'-Capelli e del teorema di Nullita' piu' Rango in termini di applicazioni lineari ed insieme delle controimmagini di un vettore.

·  Rango di una matrice: significato geometrico come dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare associata alla matrice data.

·  Esercizi ed esempi.

·  Esercizi riepilogativi di settimana VI: FOGLI 6a, 6b, 6c, 6d sul sito web

I

Settimana 7

19 (2 ore).

·  Somma di applicazioni lineari e matrice rappresentativa in date basi.

·  Moltiplicazione di uno scalare per un'applicazione lineare e matrice rappresentativa in date basi.

·  Composizione di applicazioni lineari: condizioni di compatibilita' e matrice rappresentativa in varie basi.

·  Applicazioni lineari tra spazi vettoriali e variazioni delle matrici rappresentative in basi diverse per via delle matrici cambiamento di base.

·  Rango di un'applicazione lineare come oggetto INVARIANTE per cambiamenti di base.

·  Il rango di un'applicazione lineare F coincide con la dimensione dell'immagine dell'applicazione F.

·  Esercizi ed esempi.

  

  

20 (2 ore).

·  [T] Capitolo 10

·  Applicazioni lineari di uno spazio vettoriale in se' = Operatori lineari (od Endomorfismi) di spazi vettoriali.

·  Matrici rappresentative in basi diverse di un medesimo operatore.

·  Matrici quadrate coniugate (o simili).

·  Relazione di CONIUGIO o SIMILITUDINTE tra matrici quadrate.

·  Due matrici rappresentano lo stesso operatore lineare se e solo se sono coniugate (equiv. simili).

·  Problema della diagonalizzabilita' di un operatore.

·  Esempi di operatori diagonalizzabili ed esempi di operatori non diagonalizzabili.

·  Esercizi ed esempi.

  

  

21 (2 ore)

·  Nozione di autovalore (reale) e di autovettore di un operatore lineare.

·  V_a(F) = Autospazio di un autovalore a dell'operatore F.

·  Un autospazio e' sempre un sottospazio di V.

·  Autospazio come Ker(F - a I).

·  Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.

·  Un operatore lineare F su uno spazio vettoriale V e' diagonalizzabile se e solo se esiste una base per V costituita da autovettori di F.

·  Significati geometrici o meccanici della diagonalizzabilita'.

·  CNES per la diagonalizzabilita' di un operatore in termini delle dimensioni degli autospazi.

·  Calcolo degli autovalori di una matrice rappresentante in una data base un operatore lineare. Polinomio caratteristico di una matrice.

·  Esercizi riepilogativi di settimana VII: FOGLI 7a, 7b sul sito web

I

Settimana 8

22 (2 ore).

·  Espressione del polinomio caratteristico di una matice nxn. Teorema di Hamilton-Cayley (senza dimostrazione).

·  Due matrici simili (o coniugate) hanno lo stesso polinomio caratteristico. In particolare hanno stessa traccia e stesso determinate.

·  I coefficienti del polinomio caratteristico di una matrice sono INVARIANTI per classi di coniugio o similitudine.

·  Nozione di polinomio caratteristico di un operatore lineare.

·  Nozione di traccia, determinante ed autovalori di un operatore.

·  Lo spettro di un operatore e' un insieme finito (eventualmente vuoto).

·  Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore.

·  TUTORATO POMERIDIANO.

  

  

23 (2 ore).

·  Relazione tra molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore.

·  CNES per la diagonalizzabilita' di un operatore lineare f mediante le molteplicita' algebriche e geometriche degli autovalori (reali) di F.

·  Esempi: Diagonalizzabilita' di endomorfismi in dimensione 2 ed in dimensione 3.

·  [T] Capitolo 5

·  Prodotti scalari su spazi vettoriali.

·  Prodotto scalare standard in IR^n. Proprieta' del prodotto scalare standard.

·  Esempi di prodotti scalari nello spazio vettoriale non finitamente generato IR[T].

·  Altri tipi di prodotti scalari su IR^n.

  

  

24 (2 ore).

·  Prodotti scalari e matrici simmetriche: matrice di prodotto scalare in una base data.

·  Matrici simmetriche definite positive come matrici di prodotti scalari in base canonica.

·  Se M simmetrica e' diagonalizzabile (E LO SARA' PER IL TEOREMA SPETTRALE DEGLI OPERATORI AUTOAGGIUNTI), M e' definita positiva se, e solo se, tutti i suoi autovalori sono positivi.

·  Teorema dei minori principali o di Jacobi-Sylvester (SENZA DIMOSTRAZIONE per n >2).

·  Fissato un prodotto scalare, il valore del prodotto scalare e' invariante per cambiamenti di base.

·  Esercizi ed esempi

·  Esercizi riepilogativi di settimana VIII: FOGLI 7c e 8a sul sito web

  

Settimana 9

25 (2 ore).

·  Spazi vettoriali euclidei.

·  Vettori ortogonali rispetto ad un prodotto scalare prefissato.La nozione di ortogonalita' dipende strettamente dal prodotto scalare fissato sullo spazio vettoriale euclideo (V, <,>). Esempi.

·  Un sistema di vettori a due a due ortogonali e' un sistema di vettori linearmente indipendenti.

·  Basi ortogonali di uno spazio vettoriale euclideo.

·  Norma di un vettore.

·  Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz.

·  Conseguenza: coseno dell'angolo convesso tra 2 vettori linearmente indipendenti.

·  Proiezione ortogonale di un vettore v sulla retta vettoriale generata da un vettore w, linearmente indipendente da v.

·  Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

·  Sottospazio ortogonale ad un insieme S di vettori di V.

·  L'ortogonale di un sottoinsieme S ha sempre una struttura di sottospazio vettoriale.

·  Complemento ortogonale di un sottospazio U.

·  Somma diretta ortogonale in uno spazio vettoriale euclideo.

·  TUTORATO POMERIDIANO.

  

  

26 (2 ore).

·  Versori. Versorizzazione di un vettore. Basi ortonormali di uno spazio vettoriale euclideo.

·  Matrice del prodotto scalare in una base ortonormale di V.

·  Decomposizione di un vettore secondo le sue componenti rispetto ad una base ortonormale.

·  Matrici ortogonali. Relazione di CONGRUENZA tra matrici.

·  Le matrici cambiamento di base tra due basi ortonormali sono matrici ORTOGONALI.

·  In basi ortonormali le nozioni di CONGRUENZA e quella di SIMILITUDINE (o CONIUGIO) coincidono.

·  Proiezioni ortogonali su sottospazi.

  

  

27 (2 ore).

.·  [T] Capitolo 6.

·  Spazi Affini: azione per traslazione di uno spazio vettoriale su un insieme di “punti”.

·  Esempi noti: insieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo compatibile ed azione dello spazio vettoriale delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato. Azione di un sottospazio W di V su un vettore c di V.

·  Dimensione di uno spazio affine.

·  Rette in uno spazio affine e sua direzione. Vettore direttore di una retta in uno spazio affine. Equazioni parametriche di rette in uno spazio affine.

·  Mutue posizioni di rette in uno spazio affine: rette incidenti, coincidenti, parallele e sghembe.

·  Nozione di rette sghembe in termini di algebra lineare.

·  In un piano affine le uniche possibilità per due rette distinte è che siano  incidenti o parallele.

·  Varietà lineari in uno spazio affine.

·  Giacitura di una varietà lineare in uno spazio affine.

·  Esercizi riepilogativi di settimana IX: FOGLI 8b e 9 sul sito web

I

Settimana 10

28 (2 ore).

·  Riferimenti cartesiani in uno spazio affine.

·  Coordinate cartesiane di punti in uno spazio affine.

·  Equazioni parametriche e cartesiane di varietà lineari di IR^n e rilettura del teorema di Rouché-Capelli.

·  Spazi euclidei e  riferimenti cartesiani ortonormali.

·  Distanza fra due punti. Ipersfere in spazi euclidei.

·  Teasformazioni di spazi affini e di spazi euclidei.

·  Affinità ed affinità lineari in uno spazio affine. Gruppo Aff delle affinita'. Espressione in coordinate di un'affinita'.

·  Proprietà geometriche delle affinità: mandano rette in rette, conservano il parallelismo, i segmenti, le proporzioni,.....

·  Figure geometriche affinemente equivalenti. Concetto di Geometria Affine.

·  Esercizi.

·  TUTORATO POMERIDIANO.

  

  

29 (2 ore).

·  Isometrie ed isometrie lineari in uno spazio euclideo. Gruppo Isom delle isometrie. Espressione in coordinate di un'isometria.

·  Proprieta' geometriche caratterizzanti le isometrie.

·  Figure geometriche isometriche (equiv. congruenti). Concetto di Geometria Euclidea.

·  Un'isometria e' SEMPRE un'affinita'. Non e' vero il viceversa. Due figure isometriche sono anche affinemente equivalenti; non e' vero il viceversa.

·  Le affinità non conservano la distanza o gli angoli ma conservano l'appartenenza ed il parallelismo. Le isometrie oltre a conservare tutte le proprieta' conservate dalle affinita', conservano anche la distanza, gli angoli, ecc..

  

  

30 (2 ore)

·   I punti fissi di un'affinita' sono o l'insieme vuoto oppure una varieta' lineare.

·  Isometrie dirette ed inverse: definizione matriciale e significato geometrico.

·  Orientazioni di spazi vettoriali: basi positivamente e negativamente orientate.

·  Significati geometrici.

·  Trasformazioni lineari ed orientazioni di uno spazio vettoriale.

·  Le isometrie lineari dirette conservano l'orientazione di basi. Le isometrie lineari inverse non conservano l'orientazione di basi.

·  [T] Capitolo 7.

·  Aree di parallelogrammi e di triangoli con un vertice nell'origine. Interpretazione via determinanti. Aree di triangoli qualsiasi.

·  Esercizi riepilogativi di settimana X: FOGLIO 10 sul sito web

I

Settimana 11

31 (2 ore).

·  Equazioni cartesiane e parametriche di rette e di punti nel piano cartesiano: passaggio dalle une alle altre. Giacitura di una retta, vettore direttore di una retta, parametri direttori di una retta.

·  Vettore normale ad una retta.

·  Mutue posizioni di due rette in IR^2 ed intersezioni: rette parallele, incidenti o coincidenti. Rilettura in termini del teorema di Rouchè-Capelli e dell'algoritmo di Gauss-Jordan.

·  Formule di Geometria in IR^2:

(i)                 punto medio di un segmento,

(ii)               punto simmetrico rispetto ad un altro,

(iii)             distanza tra 2 punti,

(iv)             retta per due punti,

(v)               retta per un punto e parallela (oppure perpendicolare) ad una data,

(vi)             proiezione ortogonale di un punto su una retta,

(vii)           distanza punto-retta,

(viii)         angolo convesso fra due rette orientate.

·  TUTORATO POMERIDIANO.

  

  

32 (2 ore).

·  Fasci di rette propri in IR^2.

·  Fasci di rette impropri in IR^2.

·  Condizioni lineari sui fasci. Applicazioni.

·  Trasformazioni notevoli del piano cartesiano: equazioni di traslazioni.

·  Equazioni di rotazioni attorno all'origine di angolo t. Intepretazione geometrica come cambiamenti di riferimenti cartesiani.

·  Equazioni di rotazioni di angolo t attorno ad un punto qualsiasi del piano cartesiano.

  

  

33 (2 ore).

·  Equazioni di riflessione rispetto ad un punto P.

·  Equazioni di riflessione rispetto ad una retta r.

·  Dilatazioni e deformazioni: sono affinità ma non isometrie.

·  Due rette di IR^2 sono sempre fra loro congruenti (e quindi anche affinemente equivalenti).

·  Forme canoniche metriche (ed affini) di rette.

·  Circonferenze: equazioni parametriche e cartesiane. Passaggio dalle une alle altre.

·  Rette tangenti, secanti ed esterne ad una circonferenza.

·  Intersezioni tra due circonferenze.

·  Equazione della retta tangente in un punto di una circonferenza.

·  Equazioni delle due rette tangenti ad una circonferenza uscenti da un punto esterno al cerchio.

·  Azione di isometrie ed affinità sui luoghi geometrici in IR^2. Trasformazioni di figure geometriche tipo: punti, rette, circonferenze, quadrati, rettangoli, rombi, triangoli, ecc...

·  Esercizi riepilogativi di settimana XI: FOGLIO 11 sul sito web

I

Settimana 12

34 (2 ore).

·  [T] Capitolo 8

·  Prodotto vettoriale nello spazio vettoriale IR^3, come proprieta' esclusiva di IR^3.

·  Proprieta' del prodotto vettoriale.

·  Determinazione di basi ortonormali di IR^3, positivamente orientate, per mezzo del prodotto vettoriale.

·  Applicazioni del prodotto vettoriale: prodotto misto in IR^3, volumi di parallelepipedi in IR^3 con spigoli dati.

·  Orientazione di terne di vettori e basi orientate positivamente (equivalentemente, equiorientate con la base canonica).

·  Simbolo di RICCI come prodotto misto dei vettori della base canonica.

·  Spazio cartesiano IR^3. Sottovarieta' lineari: punti, rette e piani.

·  Equazioni parametriche e cartesiane di rette di IR^3.

·  Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane e viceversa.

·  Giacitura, vettore direttore e parametri direttori di una retta.

·  TUTORATO POMERIDIANO.

  

  

35 (2 ore).

·  Equazioni parametriche e cartesiane di piani di IR^3.

·  Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane e viceversa.

·  Giacitura e parametri di giacitura di un piano.

·  Vettore normale ad un piano.

·  Piano vettoriale normale ad una retta.

·  Mutue posizioni di rette e piani in IR^3.

·  Rette sghembe in IR^3.

·  Intersezioni. Interpretazioni geometriche del teorema di Rouche'- Capelli.

·  Esercizi

  

  

36 (2 ore).

·  Fasci propri ed impropri di piani in IR^3: applicazioni. Stelle di piani in IR^3: applicazioni. Fasci propri ed impropri di rette su un piano di IR^3.

·  Formule di Geometria in IR^3: retta per due punti, retta per un punto e parallela ad una retta, condizioni di parallelismo, coincidenza, complanarita' fra due rette, condizioni per due rette sghembe, retta per un punto e perpendicolare ad un piano, piano per 3 punti non allineati, piano per un punto e parallelo ad un piano dato, piano per un punto ortogonale ad una retta proiezione ortogonale di una retta su un piano, angoli tra rette e piani orientati, angolo tra una retta ed un piano, distanza tra due punti, distanza punto-piano, distanza tra due rette sghembe, ecc...

·  Sfere di IR^3: equazioni cartesiane.

·  Piani secanti, esterni e tangenti ad una sfera. Rette secanti una sfera.

·  Equazioni cartesiane di circonferenze in IR^3. Centro e raggio di una circonferenza sezione piana di una sfera.

·  Esercizi riepilogativi di settimana XII: FOGLIO 12 sul sito web

  

Settimana 13

37 (2 ore).

FESTIVITA' EPIFANIA

  

  

38 (2 ore).

·  Equazioni di trasformazioni notevoli dello spazio cartesiano.

·  Traslazioni.

·  Riflessioni rispetto ad un piano, ad una retta e ad un punto.

·  Rotazione di dato angolo attorno all'asse x_i orientato positivamente (cioe' attorno al vettore e_i della base canonica).

·  Rotazione attorno ad una retta vettoriale orientata ed attorno ad una retta orientata non passante per l'origine.

·  Trasformazioni di figure geometriche (rette, piani, cubi, prismi, parallelepipedi, ecc....).

·  Due piani e due rette di IR^3 sono sempre fra loro congruenti (e quindi anche affinemente equivalenti).

·  Forme canoniche metriche (ed affini) di piani in IR^3.

·  TUTORATO POMERIDIANO.

  

  

39 (2 ore).

·  [T] Capitolo 11.

·  Operatori ortogonali di uno spazio vettoriale euclideo: proprieta'.

·  Gli operatori ortogonali sono sempre automorfismi. Gli autovalori reali degli operatori ortogonali sono esclusivamente + 1 e - 1.

·  In base ortonormale un operatore ortogonale si rappresenta con una matrice ortogonale.

·  Esempi: rotazioni di IR^3 attorno ad un asse: una rotazione che non sia di angolo 0 o 360 gradi ha 1 come unico autovalore semplice, gli altri due o sono complessi coniugati, oppure sono entrambi -1 quando l'angolo e' 180 gradi. L'autospazio relativo all'autovalore uno e' la retta vettoriale asse di rotazione.

·  Gli operatori ortogonali non sempre sono diagonalizzabili.

·  Operatori autoaggiunti di uno spazio vettoriale euclideo: proprieta'.

·  In base ortonormale un operatore autoaggiunto si rappresenta con una matrice simmetrica. In basi ortonormali distinte, le matrici (simmetriche) che rappresentano lo stesso operatore autoaggiunto sono congruenti per mezzo della matrice cambiamento di base.

·  In basi ortonormali operatori autoaggiunti e matrici simmetriche sono concetti equivalenti. NON E' VERO in qualsiasi base (controesempi).

·  Forme quadratiche su IR^n.

·  Matrice simmetrica associata ad una forma quadratica; viceversa, forma quadratica associata ad una matrice simmetica.

·  In basi ortonormali, operatori autoaggiunti, matrici simmetriche e forme quadratiche sono TRE CONCETTI EQUIVALENTI.

·  Rappresentazione di una forma quadratica in basi differenti determina matrici congruenti.

  

Settimana 14

40 (2 ore).

·  Rango di una forma quadratica. Forme quadratiche generali e degeneri.

·  Forme quadratiche (semi)definite positive, (semi)definite negative ed indefinite.

·  Una matrice simmetrica ammette sempre spettro reale (dimostrazione completa nel caso 2x2 e 3x3).

·  Trasformazioni di coordinate che diagonalizzano una forma quadratica (i.e. che fanno sparire i termini misti della forma quadratica)

·  Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti.

·  Autovettori di un operatore autoaggiunto, che sono relativi ad autovalori diversi, sono autovettori ortogonali.

·  Conseguenze e formulazioni equivalenti del Teorema Spettrale.

·  Segnatura di una forma quadratica.

·  Teorema di Sylvester.

·  Riduzione a forma canonica di Sylvester di una forma quadratica.

·  Esercizi riepilogativi di settimana XIII: FOGLIO 13 sul sito web

·  TUTORATO POMERIDIANO.

  

  

41 (2 ore).

·  [T] Capitolo 12

·  Generalita' sui polinomi di secondo grado in due indeterminate.

·  Coniche del piano ed equazioni cartesiane: forma quadratica, lineare e termine noto dell'equazione di una conica.

·  Matrice simmetrica completa di una conica e matrice simmetrica della forma quadratica associata.

·  Coniche reali e supporti.

·  Coniche congruenti e coniche affinemente equivalenti.

·  Matrice completa di un'isometria o di un'affinita' di IR^2.

·  Equazione matriciale di coniche congruenti ed affinemente equivalenti.

·  Coniche congruenti sono anche affinemente equivalenti; non e' vero il viceversa.

·  Il rango di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine).

·  Il rango della forma quadratica di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine).

·  Il segno del determinante della matrice simmetrica della forma quadratica di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine).

·  Parabole.

·  Coniche a centro: ellisse ed iperbole.

·  Classificazione metrica (o euclidea) delle coniche. Forme canoniche metriche delle coniche.

·  Classificazione affine delle coniche. Forme canoniche affini delle coniche.

·  Esercizi.

  

  

42 (2 ore).

·  Lista delle forme canoniche metriche delle coniche di IR^2: esistono 9 tipologie di coniche dal punto di vista metrico ma esistono infinite forme canoniche metriche delle coniche (anche per una fissata tipologia).

·  Studio delle proprieta' geometriche delle forme canoniche metriche delle coniche.

·  Forme canoniche affini delle coniche di IR^2: esistono 9 tipologie di coniche dal punto di vista affine e per ogni tipologia esiste un'unica forma canonica affine.

·  Esempi.

  

Settimana 15

43 (2 ore).

·  Algoritmo di riduzione a forma canonica metrica di una conica di IR^2.

·  Isometria tra i due riferimenti.

·  Passaggio dalla forma canonica metrica alla forma canonica affine di una conica per mezzo del Teorema di Sylvester.

·  Algoritmo di riduzione a forma canonica affine di una conica. Affinita' tra i due riferimenti.

·  Esercizi ed esempi.

·  Esercizi riepilogativi di settimana VI: FOGLIO 14 sul sito web

·  TUTORATO POMERIDIANO.

  

  

44 (2 ore).

·  [T] Capitolo 13

·  Classificazione di una quadrica in IR^3 per mezzo dello studio della matrice simmetrica completa, di quella della parte omogenea di grado due della quadrica e della forma quadratica ad essa associata.

·  Proprieta' metriche (i.e. invarianti per isometrie di IR^3) di una quadrica.

·  Proprieta' affini (i.e. invarianti per affinita' di IR^3) di una quadrica.

·  Quadriche generali.

·  Quadriche semplicemente, doppiamente o triplamente degeneri.

·  Significato geometrico di generale, semplicemente, doppiamente e triplamente degenere.

·  Paraboloidi. Quadriche a centro: ellissoidi ed iperboloidi.

·  Quadriche semplicemente degeneri: Coni e Cilindri.

  

  

45 (2 ore).

·  Piano tangente in un punto P ad una superficie definita da un polinomio F(X_1, X_2, X_3) = 0 (cenni sulle derivate parziali di polinomi e sviluppo di Taylor di polinomi in piu' indeterminate)

·  Classificazione dei punti non singolari (rispettivamente singolari) di una quadrica mediante l'utilizzo delle derivate parziali.

·  La sezione tangenziale di una quadrica a punti reali in un suo punto non singolare e' sempre una conica degenere.

·  Forme canoniche metriche delle quadriche di IR^3. Classificazione per mezzo delle matrici simmetriche associate e della forma quadratica.

·  Studio della geometria delle forme canoniche metriche delle quadriche e delle loro sezioni piane.

·  Ellissoidi: piani, assi e centro di simmetria. Coniche sezioni con opportuni piani.

·  Sezioni tangenziali di un ellissoide generale a punti reali.

·  Ellissoidi generali a punti immaginari.

·  Esercizi ed esempi.

I

Settimana 16

46 (2 ore).

·  L'iperboloide a due falde (o ellittico): piani, assi e centro di simmetria.

·  Coniche sezioni piane dell’iperbolide ellittico.

· Sezioni tangenziali.

·  L'iperboloide ad una falda (o iperbolico): e' una quadrica doppiamente rigata

· Rette di una medesima schiera sono sghembe mentre rette di schiere diverse sono incidenti.

· Coniche sezioni piane dell’iperbolide iperbolico.

· Sezioni tangenziali.

·  TUTORATO POMERIDIANO.

  

  

47 (2 ore).

·  Paraboloide ellittico: studio delle sue sezione piane. Sezioni tangenziali.

·  Paraboloide iperbolico (o a sella). E' doppiamente rigato. Studio delle sue sezioni piane. Sezioni tangenziali.

·  Cono immaginario.

·  Cono quadrico reale e sue generatrici. Studio delle sue sezioni piane. Generatrici di un cono reale. Sezioni tangenziali.

  

  

48 (2 ore).

·  Cilindro Immaginario.

·  Cilindri a punti reali: ellittico, parabolico ed iperbolico. Studio delle sezioni piane. Generatrici di un cilindro. Sezioni tangenziali.

·  Il piano tangente in un punto liscio P di un cono e/o di un cilindro e' costante lungo tutta la generatrice passante per P.

·  Quadriche doppiamente degeneri: Piani incidenti e piani paralleli. Luogo singolare.

·  Quadriche triplamente degeneri: Piano doppio.

·  Tabella fondamentale delle forme canoniche metriche ed affini delle quadriche: esistono 17 tipologie di quadriche euclidee ed affini; esistono infinite quadriche non congruenti all'interno di una medesima tipologia.

·  Esercizi riepilogativi su QUADRICHE: FOGLIO 15 sul sito web.