Corso di Geometria 10 Crediti

Ingegneria Edile ed Edile/Architettura

  A.A. 2009-2010

  Docente: Flaminio Flamini   tel. +39.06.72594617   e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
  Orario delle Lezioni: Lun.,ore: 14:00 - 15:45    Aula 8 PP1 / Mer., Giov.    ore: 11:30 - 13:15    Aula 8 PP1
  Ricevimento : Giovedi' ore: 16:00 - 18:00
Luogo: Studio 1115B, Dipartimento di Matematica, Piano 1 Dente 1, Citofono 4611.


  Esercitazioni in sostituzione del Tutorato (fatte dal docente):
  Orario Tutorato: A Giovedi' alterni    ore 16:00 - 18:00    Aula 8 PP1 ;  

LEGENDA TESTI

  • [T] = Testo "Matrici e vettori. Corso di base di geometria e algebra lineare" Carocci Editore, Roma 2008



    • Diario giornaliero delle lezioni



    I EMISEMESTRE: 28/09/2009 - 21/11/2009

    II EMISEMESTRE: 30/11/2009 - 06/02/2010

    EMISEMESTRE SETTIMANA   DATA ARGOMENTI
    I Settimana 1 1 (28/09/2009 - 2 ore). [T] Capitolo 1
  • Teoria ingenua degli insiemi.
  • Indeterminate, n-uple, vettori.
  • Sistemi di equazioni lineari. Significati geometrici.
  • Matrice dei coefficienti di un sistema lineare, vettore dei termini noti di un sistema lineare. Matrice completa di un sistema lineare.
  • Sistemi lineari omogenei e non omogenei.
  • Sistemi lineari compatibili ed incompatibili.
  • Un sistema lineare omogeneo e' sempre compatibile.
  • Descrizione dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare Ax=b in funzione di una soluzione particolare di esso e dell'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo Ax=0 associato al sistema di partenza.
  • Esercizi ed esempi.
    •       2 (30/09/2009 - 2 ore).
  • Matrici quadrate: diagonali, triangolari superiori ed inferiori.
  • Eguaglianza tra matrici. Operazioni tra matrici. matrice nulla e matrice opposta di una matrice data.
  • Trasposta di una matrice.
  • Matrici quadrate simmetriche ed antisimmetriche.
  • Pivots di una matrice. Matrici ridotte per righe.
  • Matrici ridotte a gradini (o a scala). Pivots principali.
  • Sistemi lineari a gradini (o a scala). Pivots principali e parametri indipendenti da cui dipendono le soluzioni del sistema.
  • Sistemi lineari equivalenti.
  • Esercizi ed esempi.
    •       3 (01/10/2009 - 2 ore).
  • Operazioni elementari tra righe di una matrice. Modificazioni elementari e modificazioni di matrici.
  • Applicazioni ai sistemi lineari.
  • Algoritmo di riduzione di Gauss-Jordan.
  • Risoluzioni di sistemi lineari qualsiasi.
  • Esercizi ed esempi.
  • [T] Capitolo 2
  • Prodotto righe per colonne fra matrici.
  • Esercizi riepilogativi di settimana I: FOGLIO 1 sul sito web
    • I Settimana 2 4 (05/10/2009 - 2 ore).
  • Proprieta' elementari del prodotto tra matrici.
  • Matrici riga e matrici colonna.
  • Trasposta di una matrice prodotto.
  • Matrice identita' nxn
  • Matrici quadrate di ordine 2 invertibili.
  • Esempi: matrici diagonali invertibili.
  • Esercizi ed esempi.
    •       5 (07/10/2009 - 2 ore).
  • Matrici invertibili ed unicita' di soluzioni di sistemi lineari.
  • Sottomatrici di una matrice.
  • Rango di una matrice. Rango di una matrice e modificazioni elementari.
  • Applicazioni: Teorema di Rouche'-Capelli.
  • Esercizi ed esempi.
    •       6 (08/10/2009 - 2 ore). [T] Capitolo 3
  • Determinanti di matrici quadrate: proprieta' elementari.
  • Calcolo del determinante di una matrice 2 x 2
  • Calcolo del determinante di una matrice 3 x 3 (metodo di Sarrus)
  • Cofattore o complemento algebrico di un elemento di una matrice quadrata.
  • Calcolo del determinante secondo lo sviluppo di Laplace rispetto ad una riga o ad una colonna.
  • Rango di una matrice qualsiasi e determinanti di sue sottomatrici quadrate.
  • Una matrice nxn ha rango massimo n se e solo se il suo determinante e' non nullo.
  • Caratterizzazione di invertibilita' di una matrice quadrata per mezzo del suo determinate.
  • Esercizi ed esempi.
  • Esercizi riepilogativi di settimana II: FOGLI 2a e 2b sul sito web
    • I Settimana 3 7 (12/10/2009 - 2 ore).
  • Determinazione dell'inversa di una matrice quadrata invertibile mediante la matrice aggiunta.
  • Applicazioni: formule di Cramer per determinare le soluzioni di sistemi lineari non omogenei quadrati di rango massimo.
  • Minori di ordine k di una matrice rettangolare M e rango di M.
  • Teorema di Kronecher: caratterizzazione del rango di una matrice qualsiasi mediante lo studio dei minori massimali e matrici orlate.
  • Teorema di Binet. Applicazioni: determinante di una matrice inversa.
  • Esercizi ed esempi.
    •       8 (14/10/2009 - 2 ore).
  • [T] Capitolo 4
  • Segmenti orientati e segmenti equipollenti. Relazione di equivalenza di equipollenza.
  • Nozione di vettore geometrico e di spazio dei vettori geometrici
  • Somma tra vettori geometrici: regola del parallelogramma.
  • Vettore geometrico nullo, vettore geometrico opposto.
  • Operazioni tra vettori geometrici.
  • Spazi vettoriali reali: assiomi ed esempi.
  • Esempi di spazi vettoriali: IR^n, le matrici, le funzioni reali di variabile reale, ecc....
  • Sottospazi vettoriali: sottospazi propri e sottospazi banali. Esempi.
  • Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo SLO(p,q) di p equazioni in q indeterminate costituisce sempre un sottospazio di IR^q.
  • Sottospazi vettoriali di matrici: matrici tirangolari superiori (inferiori), matrici diagonali, ecc....
    •       9 (15/10/2009 - 2 ore).
  • Sottospazio intersezione e sottospazio somma di due sottospazi.
  • Somma diretta di sottospazi. Significato geometrico della somma diretta.
  • Sottospazi supplementari in V.
  • Esempi in IR^3.
  • Lo spazio delle matrici n x n (in particolare 3 x 3) risulta decomposto in somma diretta dei sottospazi di matrici simmetriche e di matrici antisimmetriche.
  • Nel caso 3 x 3 lo spazio delle matrici dipende da 9 parametri liberi, le matrici simmetriche dipendono da 6 parametri liberi, le matrici antisimmetriche da 3 parametri liberi.
  • Lo spazio delle matrici n x n (in particolare 3 x 3) risulta decomposto in somma dei sottospazi di matrici triangolari superiori e di matrici triangolari inferiori. La somma non e' diretta dato che l'intersezione dei due sottospazi e' costituita dalle matrici diagonali.
  • Esercizi ed esempi.
  • Esercizi riepilogativi di settimana III: FOGLI 3a e 3b sul sito web
  • 2 ORE POMERIDIANE DI ESERCITAZIONI IN SOSTITUZIONE DEI TUTORATI: 16:00 - 18:00 AULA 8PP1
    • I Settimana 4 10 (19/10/2009 - 2 ore).
  • Sistemi di vettori.
  • Combinazioni lineari di vettori di V.
  • Vettori linearmente indipendenti e vettori linearmente dipendenti.
  • r vettori sono linearmente dipendenti se e solo se ciascuno di essi puo' essere espresso come combinazione lineare dei rimanenti.
  • W : = Lin {v_1,...,v_r} e' sempre un sottospazio di V.
  • Esercizi ed esempi.
    •       11 (21/10/2009 - 2 ore).
  • Sistemi di generatori di uno spazio vettoriale.
  • Spazi vettoriali finitamente generati o di dimensione finita.
  • Lo spazio vettoriale delle funzioni reali di variabile reale ha dimensione infinita.
  • Basi di uno spazio vettoriale di dimensione finita.
  • {0} e' finitamente generato ma non ha basi.
  • Tutte le basi di uno spazio vettoriale V hanno la stessa cardinalita'.
  • Dimensione di uno spazio vettoriale V.
  • Teorema di estrazione di una base da un sistema di generatori di V.
  • Teorema di estensione ad una base di V a partire da un sistema di vettori linearmente indipendenti in V.
  • Applicazioni: basi e dimensioni di sottospazi propri di V.
  • Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi vettoriali.
  • Estensione di una base di un sottospazio di V ad una base di V.
  • Esercizi ed esempi.
    •       12 (22/10/2009 - 2 ore).
  • Base canonica di IR^n, base canonica di M(p x q; IR); ecc....
  • Dimensioni degli spazi vettoriali noti: IR^n, M(p x q; IR), Sym(3 x 3; IR), Antisym (3 x 3; IR), Diag (nxn; IR), Triang(3x3; IR).
  • Dimensione dello spazio vettoriale prodotto di due spazi vettoriali.
  • Codimensione di un sottospazio proprio W di V. Se V = IR^n, la codimensione di W e' il numero minimo di equazioni cartesiane indipendenti per descrivere il sottospazio W.
  • Componenti di vettori rispetto alle differenti basi di uno spazio vettoriale V.
  • Matrice cambiamento di base (o di passaggio) da una base e ad una base v di V.
  • Matrice di trasformazione delle componenti (o delle coordinate) di un vettore in due basi diverse.
  • Esercizi ed esempi.
  • Esercizi riepilogativi di settimana IV: FOGLI 4a e 4b sul sito web
    • I Settimana 5 13 (26/10/2009 - 2 ore). [T] Capitolo 9
  • Applicazioni lineari tra spazi vettoriali.
  • Un'applicazione lineare f:V -> W e' individuata univocamente dalle immagini dei vettori di una base di V.
  • Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare.
  • Il nucleo e l'immagine sono sottospazi vettoriali, rispettivamente di V e di W.
    •       14 (28/10/2009 - 2 ore).
  • Applicazioni iniettive e suriettive. Caratterizzazione.
  • Teorema di Nullita' piu' Rango: dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).
  • Applicazioni biiettive: Isomorfismi di spazi vettoriali.
  • Due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.
  • Formula di Grassmann.
  • Applicazioni ed esercizi.
    •       15 (29/10/2009 - 2 ore).
  • Applicazioni lineari tra spazi vettoriali di dimensione finita e matrici.
  • Calcolo di una base del Ker(f) e di una base di Im(f)
  • Calcolo di equazioni cartesiane e parametriche del Ker(f) e dell'Im(f).
  • Determinazione dell'insieme delle controimmagini di un vettore.
  • Rango di una matrice: significato geometrico come dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare associata alla matrice data.
  • Esercizi ed esempi
  • Esercizi riepilogativi di settimana V: FOGLI 5a, 5b, 5c e 5d sul sito web
  • 2 ORE POMERIDIANE DI ESERCITAZIONI IN SOSTITUZIONE DEI TUTORATI: 16:00 - 18:00 AULA 8PP1
    • I Settimana 6 16 (2/11/2009 - 2 ore).
  • Significato del teorema di Rouche'-Capelli e del teorema di Nullita' piu' Rango in termini di applicazioni lineari ed insieme delle controimmagini di un vettore.
  • Matrice rappresentativa di combinazioni lineari di applicazioni lineari.
  • Composizione di applicazioni lineari e matrici rappresentative.
  • Applicazioni lineari tra spazi vettoriali e variazioni delle matrici rappresentative in basi diverse.
  • Rango di un'applicazione lineare.
  • Esercizi ed esempi.
    •       17 (4/11/2009 - 2 ore).
  • [T] Capitolo 10
  • Applicazioni lineari di uno spazio vettoriale in se'. Operatori lineari.
  • Matrici rappresentative in basi diverse. Matrici quadrate coniugate (o simili).
  • Problema della diagonalizzabilita' di un'applicazione lineare.
  • Esercizi ed esempi.
    •       18 (5/11/2009 - 2 ore).
  • Nozione di autovalore (reale) e di autovettore di un'applicazione lineare.
  • Autospazio di un autovalore. L'autospazio e' sempre un sottospazio.
  • Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
  • Condizioni di diagonalizzabilita' di un operatore lineare in termini delle dimensioni degli autospazi.
  • Un operatore lineare f su uno spazio vettoriale V e' diagonalizzabile se e solo se esiste una base per V costituita da autovettori di f.
  • Esercizi riepilogativi di settimana VI: FOGLIO 6a sul sito web (FINO ALL'ESERCIZIO 7 COMPRESO)
    • I Settimana 7 19 (9/11/2009 - 2 ore).
  • Calcolo degli autovalori di un operatore lineare.
  • Polinomio caratteristico di una matrice.
  • Traccia e determinante di una matrice e di un operatore. Teorema di Hamilton-Cayley (senza dimostrazione)
  • Due matrici simili (o coniugate) hanno lo stesso polinomio caratteristico.
  • I coefficienti del polinomio caratteristico di una matrice sono invarianti per classi di coniugio o similitudine.
  • Polinomio caratteristico di un operatore lineare.
  • Traccia e determinante di un operatore.
  • Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. Relazione tra le due molteplicita'.
  • CNES per la diagonalizzabilita' di un operatore lineare f mediante le molteplicita' algebriche e geometriche degli autovalori (reali) di f.
  • Diagonalizzabilita' di matrici 2 x 2 e 3 x 3.
  • Esercizi ed esempi.
    •       20 (11/11/2009 - 2 ore).
  • [T] Capitolo 5
  • Prodotti scalari su spazi vettoriali.
  • Spazi vettoriali euclidei.
  • Prodotto scalare standard in IR^n. Proprieta' del prodotto scalare standard.
  • Prodotti scalari e matrici simmetriche.
  • Esercizi ed esempi.
    •       21 (12/11/2009 - 2 ore)
  • Matrici definite positive.
  • Teorema dei minori principali o di Jacobi-Sylvester (dimostrazione solo nel caso 2 x 2).
  • Vettori ortogonali rispetto ad un prodotto scalare.
  • La nozione di ortogonalita' dipende strettamente dal prodotto scalare fissato sullo spazio vettoriale euclideo (V, <,>).
  • Basi ortogonali.
  • Un sistema di vettori a due a due ortogonali e' un sistema di vettori linearmente indipendenti.
  • Norma di un vettore. Versori. Rendere un vettore un versore.
  • Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz.
  • Angoli convessi tra 2 vettori.
  • Versori. Versorizzazione di un vettore.
  • Basi ortonormali.
  • Esercizi riepilogativi di settimana VII: FOGLIO 6a sul sito web (DALL'ESERCIZIO 8 IN POI) e FOGLIO 7a sul sito web
  • 2 ORE POMERIDIANE DI ESERCITAZIONI IN SOSTITUZIONE DEI TUTORATI: 16:00 - 18:00 AULA 8PP1
    • I Settimana 8 22 (16/11/2009 - 2 ore).
  • Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
  • Sottospazio ortogonale ad un insieme S.
  • L'ortogonale di un sottoinsieme S ha sempre una struttura di sottospazio vettoriale.
  • Complemento ortogonale di un sottospazio.
  • Somma diretta ortogonale di uno spazio vettoriale euclideo.
  • Esercizi.
    •       23 (18/11/2009 - 2 ore).
  • Matrice del prodotto scalare in una base ortonormale.
  • Decomposizione di un vettore secondo le sue componenti rispetto ad una base ortonormale.
  • Matrici ortogonali.
  • Relazione di congruenza tra matrici.
  • Le matrici cambiamento di base tra due basi ortonormali sono matrici ortogonali.
  • In basi ortonormali le nozioni di congruenza e similitudine (o coniugio) coincidono.
  • Proiezioni ortogonali su sottospazi.
  • Esercizi.
    •       24 (19/11/2009 - 2 ore).
  • [T] Capitolo 6.
  • Spazi Affini. Azione per traslazione su uno spazio affine. Dimensione di uno spazio affine.
  • Rette in uno spazio affine. Vettore direttore di una retta affine. Equazioni parametriche di rette in uno spazio affine.
  • Mutue posizioni di due rette in uno spazio affine: parallele, incidenti o sghembe.
  • CNES affinche' 2 rette siano sghembe. In un piano affine due rette non possono essere sghembe.
  • Varieta' lineari in uno spazio affine.
  • Giacitura di una varieta' lineare.
  • Esercizi riepilogativi di settimana VII: FOGLIO 8 sul sito web

    EMISEMESTRE SETTIMANA   DATA ARGOMENTI
    II Settimana 1 1 (30/11/2009 - 2 ore).
  • [T] Capitolo 6.
  • Riferimenti cartesiani in uno spazio affine. Coordinate di punti in uno spazio affine.
  • Spazi euclidei. Distanza fra due punti.
  • Affinita' ed affinita' lineari in uno spazio affine. Figure geometriche affinemente equivalenti. Proprieta' affini.
  • Isometrie ed isometrie lineari in uno spazio euclideo. Figure geometriche isometriche (equiv. congruenti). Proprieta' metriche (o euclidee)
  • Un'isometria e' un'affinita'. Non e' vero il viceversa. Due figure isometriche sono anche affinemente equivalenti; non e' vero il viceversa.
  • Affinita': le affinita' non conservano la distanza o gli angoli. Le affinita' conservano l'appartenenza ed il parallelismo.
  • Isometrie dirette ed inverse. Le isometrie conservano la distanza, gli angoli, ecc..
  • Esercizi
    •       2 (2/12/2009 - 2 ore).
  • Orientazioni di spazi vettoriali. Basi positivamente e negativamente orientate.
  • Trasformazioni lineari ed orientazioni
  • Le isometrie lineari dirette conservano l'orientazione di basi; le isometrie lineari inverse non conservano l'orientazione di basi.
  • [T] Capitolo 7.
  • Aree di parallelogrammi e di triangoli con un vertice nell'origine ed interpretazione via determinanti. Aree di triangoli qualsiasi.
  • Equazioni cartesiane e parametriche di rette e di punti nel piano cartesiano: passaggio dalle une alle altre.
  • Giacitura di una retta, vettore direttore di una retta, parametri direttori di una retta.
  • Esercizi ed esempi.
    •       3 (3/12/2009 - 2 ore).
  • Vettore normale ad una retta.
  • Mutue posizioni di due rette in IR^2 ed intersezioni: rette parallele, incidenti o coincidenti.
  • Formule di Geometria in IR^2: distanza tra 2 punti, retta per due punti, retta per un punto e parallela (oppure perpendicolare) ad una data, proiezione ortogonale di un punto su una retta, distanza punto-retta, ecc....
  • Esercizi riepilogativi di settimana I: FOGLIO 9 sul sito web
    • II Settimana 2 4 (7/12/2008 - 2 ore). Ponte 8 dicembre: COME DA ACCORDI IN AULA, LA LEZIONE VERRA' RECUPERATA GIOVEDI' 17 DICEMBRE ORE 16:00-18:00 AULA 8 PP1.
          5 (9/12/2008 - 2 ore).
  • Fasci di rette propri in IR^2.
  • Condizioni sui fasci. Applicazioni.
  • Fasci di rette impropri in IR^2. Applicazioni.
  • Trasformazioni notevoli del piano cartesiano: traslazioni, rotazioni attorno all'origine ed attorno ad un punto qualsiasi del piano cartesiano.
  • Esercizi.
    •       6 (10/12/2008 - 2 ore)
  • Formule di simmetrie rispetto a punti e rispetto a rette qualsiasi.
  • Applicazioni: trasformazioni di figure geometriche tipo rette, circonferenze, quadrati, rettangoli, rombi, triangoli, punti simmetrici rispetto ad un centro, retta simmetrica rispetto ad una retta, ecc...
  • Dilatazioni e deformazioni. Sono affinita' ma non isometrie.
  • Due rette di IR^2 sono sempre fra loro congruenti (e quindi anche affinemente equivalenti).
  • Forme canoniche metriche (o anche affini) di rette.
  • DUE ORE DI ESERCITAZIONI POMERIDIANE (IN SOSTITUZIONE DEI TUTORATI) AULA 8 PP1 ORE 16:00 - 18:00.
  • Esercizi riepilogativi di settimana II: FOGLIO 10 sul sito web
    • II Settimana 3 7 (14/12/2009 - 2 ore).
  • Circonferenze nel piano cartesiano come luoghi geometrici.
  • Equazioni parametriche e cartesiane di circonferenze di dato centro e dato raggio. Passaggio dalle une alle altre.
  • Rette tangenti, secanti ed esterne ad una circonferenza.
  • Intersezioni tra due circonferenze.
  • Equazione della retta tangente in un punto appartenente ad una circonferenza.
  • Equazioni di rette tangenti ad una circonferenza uscenti da un punto esterno al cerchio determinato dalla circonferenza.
    •       8 (16/12/2009 - 2 ore).
  • [T] Capitolo 8
  • Prodotto vettoriale nello spazio vettoriale IR^3, come proprieta' esclusiva di IR^3. Proprieta' del prodotto vettoriale.
  • Applicazioni del prodotto vettoriale: prodotto misto in IR^3, volumi di parallelepipedi in IR^3 con spigoli dati.
  • Orientazione di terne di vettori e basi orientate positivamente (equivalentemente, equiorientate con la base canonica).
  • Determinazione di basi ortonormali di IR^3, positivamente orientate, per mezzo del prodotto vettoriale.
  • Spazio cartesiano IR^3. Sottovarieta' lineari: punti, rette e piani.
  • Esercizi.
    •       9 (17/12/2009 - 2 ore).
  • Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani di IR^3.
  • Giacitura, vettore direttore e parametri direttori di una retta.
  • Giacitura e parametri di giacitura di un piano.
  • Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane e viceversa.
  • Vettore normale ad un piano, piano vettoriale normale ad una retta.
  • 2 ORE POMERIDIANE IN RECUPERO DELL'8 DICEMBRE - ORE 16:00-18:00 AULA 8 PP1.
  • Mutue posizioni di rette e piani in IR^3.
  • Rette sghembe in IR^3.
  • Intersezioni.
  • Esercizi.
  • Esercizi riepilogativi di settimana III: FOGLIO 11 sul sito web
    • II Settimana 4 10 (21/12/2009 - 2 ore). Ponte Festivita' natalizie (dal 22/12): COME DA ACCORDI IN AULA, LA LEZIONE VERRA' RECUPERATA GIOVEDI' 7/1/2010 ORE 16:00-18:00 AULA 8 PP1
          11 (6/1/2010 - 2 ore). FESTIVITA' NATALIZIE
          12 (7/1/2010 - 2 ore).
  • Fasci e stelle di piani in IR^3.
  • Stelle di rette in IR^3.
  • Fasci di rette su un piano di IR^3.
  • 2 ORE POMERIDIANE IN RECUPERO DEL 21 DICEMBRE - ORE 16:00-18:00 AULA 8 PP1.
  • Formule di Geometria in IR^3: retta per due punti, retta per un punto e parallela ad una retta, retta per un punto e perpendicolare ad un piano, piano per 3 punti non allineati, piano per un punto e parallelo ad un piano dato, proiezione ortogonale di una retta su un piano, distanza punto-piano, distanza tra due rette sghembe, ecc....
  • Esercizi riepilogativi di settimana IV: FOGLIO 12 sul sito web
    • II Settimana 5 13 (11/1/2010 - 2 ore).
  • Trasformazioni notevoli dello spazio cartesiano IR^3: traslazioni.
  • Rotazione di dato angolo attorno all'asse x_i orientato positivamente (cioe' attorno al vettore e_i della base canonica).
  • Formule di rotazione attorno ad una retta vettoriale orientata. Rotazioni attorno ad una retta orientata non passante per l'origine.
  • Riflessioni rispetto ad un piano, ad una retta e ad un punto di IR^3.
  • Trasformazioni di figure geometriche (rette, piani, cubi, prismi, parallelepipedi, ecc....).
  • Due piani e due rette di IR^3 sono sempre fra loro congruenti (e quindi anche affinemente equivalenti).
  • Forme canoniche di piani in IR^3.
    •       14 (13/1/2010 - 2 ore).
  • Brevi cenni sulle sfere.
  • [T] Capitolo 11.
  • Operatori e matrici ortogonali: non sempre sono diagonalizzabili.
  • Operatori autoaggiunti in basi ortonormali e matrici simmetriche sono concetti equivalenti. Non e' vero in qualsiasi base.
  • Matrici rappresentative in basi ortonormali distinte sono congruenti.
  • Matrici simmetriche e forme quadratiche. Rappresentazione di una forma quadratica in basi differenti determina matrici congruenti.
  • Esercizi.
    •       15 (14/1/2010 - 2 ore).
  • Una matrice simmetrica ammette sempre autovalori reali (dimostrazione completa nel caso 2x2 e 3x3).
  • Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti. Conseguenze e formulazioni equivalenti
  • Trasformazioni di coordinate che diagonalizzano una forma quadratica
  • Rango di una forma quadratica. Forme quadratiche (semi)definite positive, (semi)definite negative ed indefinite.
  • DUE ORE DI ESERCITAZIONI POMERIDIANE (IN SOSTITUZIONE DEI TUTORATI) AULA 8 PP1 ORE 16:00 - 18:00.
  • Esercizi riepilogativi di settimana V: FOGLIO 13 sul sito web
    • II Settimana 6 16 (18/1/2010 - 2 ore).
  • Conseguenze e formulazioni equivalenti del Teorema Spettrale.
  • Autovettori di un operatore autoaggiunto, relativi ad autovalori diversi, sono ortogonali.
  • Segnatura di una forma quadratica.
  • Teorema di Sylvester.
  • Riduzione a forma canonica di Sylvester di una forma quadratica.
  • Esercizi.
    •       17 (20/1/2010 - 2 ore).
  • [T] Capitolo 12
  • Generalita' sui polinomi di secondo grado in due indeterminate.
  • Coniche del piano cartesiano: forma quadratica, lineare e termine noto dell'equazione di una conica. Matrice simmetrica completa di una conica e matrice simmetrica della forma quadratica associata.
  • Coniche reali e supporti.
  • Coniche congruenti e coniche affinemente equivalenti.
  • Matrice completa di una isometria o di un'affinita' di IR^2. Equazione matriciale di coniche congruenti ed affinemente equivalenti.
  • Coniche congruenti sono anche affinemente equivalenti; non e' vero il viceversa.
  • Il rango di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine).
  • Il rango della forma quadratica di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine).
  • Il segno del determinante della matrice simmetrica della forma quadratica di una conica e' una proprieta' metrica (equivalentemente affine).
  • Parabole e coniche a centro. Ellisse ed iperbole.
  • Esercizi.
    •       18 (11/01/2010 - 2 ore).
  • Forme canoniche metriche ed affini delle coniche di IR^2.
  • Studio delle proprieta' geometriche delle forme canoniche metriche delle coniche.
  • Esistono 9 tipologie di coniche dal punto di vista metriche. Esistono infinite forme canoniche metriche delle coniche (anche per una fissata tipologia).
  • Forme canoniche affini delle coniche di IR^2.
  • Classificazione di una conica.
  • Classificazione metrica di una conica.
  • Isometria tra i due riferimenti.
  • Passaggio dalla forma canonica metrica alla forma canonica affine di una conica per mezzo del Teorema di Sylvester.
  • Algoritmo di riduzione a forma canonica affine di una conica. Affinita' tra i due riferimenti.
  • Esercizi riepilogativi di settimana VI: FOGLIO 14 sul sito web
    • II Settimana 7 19 (25/01/2010- 2 ore).
  • Algoritmo di riduzione a forma canonica metrica di una conica di IR^2.
  • [T] Capitolo 13
  • Classificazione di una quadrica in IR^3 per mezzo dello studio della matrice simmetrica completa, di quella della parte omogenea di grado due della quadrica e della forma quadratica ad essa associata.
  • Proprieta' metriche (i.e. invarianti per isometrie di IR^3) di una quadrica.
  • Proprieta' affini (i.e. invarianti per affinita' di IR^3) di una quadrica.
  • Esercizi ed esempi.
    •       20 (27/01/2010 - 2 ore).
  • Quadriche generali. Paraboloidi. Quadriche a centro: ellissoidi ed iperboloidi.
  • Quadriche semplicemente degeneri: Coni e Cilindri.
  • Quadriche doppiamente o triplamente degeneri.
  • Significato geometrico di generale, semplicemente, doppiamente e triplamente degenere.
  • Esercizi ed esempi.
    •       21 (28/01/2010 - 2 ore).
  • Piano tangente in un punto ad una superficie definita da un polinomio f(X_1, X_2, X_3) = 0.
  • Forme canoniche metriche delle quadriche di IR^3.
  • Tabella fondamentale delle forme canoniche metriche ed affini delle quadriche: esistono 17 tipologie di quadriche euclidee ed affini; esistono infinite quadriche non congruenti all'interno di una medesima tipologia.
  • Studio della geometria delle forme canoniche metriche delle quadriche e delle loro sezioni piane.
  • Ellissoidi: piani, assi e centro di simmetria. Coniche sezioni con opportuni piani e piani tangenti. Ellissoidi generali immaginari.
  • Iperboloidi a due falde. Piani, assi e centro di simmetria. Coniche sezioni con opportuni piani.
  • DUE ORE DI ESERCITAZIONI POMERIDIANE (IN SOSTITUZIONE DEI TUTORATI) AULA 8 PP1 ORE 16:00 - 18:00.
    • II Settimana 8 22 (01/02/2010- 2 ore).
  • L'iperboloide ad una falda e' doppiamente rigato. Rette di una medesima schiera sono sghembe; rette di schiere diverse si intersecano in un punto.
  • Paraboloide ellittico. Studio delle sue sezione piane.
  • Paraboloide iperbolico. E' doppiamente rigato. Studio delle sue sezioni piane.
  • Cono immaginario. Cono quadrico e sue generatrici. Studio delle sue sezioni piane. Generatrici di un cono reale.
  • Esercizi riepilogativi su QUADRICHE: FOGLIO 15 sul sito web.
    •       23 (03/02/2010- 2 ore).
  • Equazioni parametriche del cono come rotazione attorno ad un asse. Generatrici e direttrici in forme parametriche.
  • Cilindro ellittico, parabolico ed iperbolico. Studio delle sezioni piane. Generatrici di un cilindro.
  • Il piano tangente in un punto liscio P di un cono e/o di un cilindro e' costante lungo tutta la generatrice passante per P.
  • Quadriche dopppiamente degeneri: Piani incidenti e piani paralleli. Luogo singolare.
  • Quadriche triplamente degeneri: Piano doppio.
    •       24 (04/02/2010 - 2 ore). Fondamenti di Geometria Proiettiva
  • Ampliamento dellla retta e del piano affine.
  • Retta e piano proiettivi. Coordinate omogenee.
  • Elementi impropri (o all'infinito) della retta e del piano affine.
  • La retta proiettiva ha 2 carte (o schermi) affini principali.
  • Il piano proiettivo ha 3 carte (o schermi) affini principali.
  • Le equazioni di luoghi geometrici del piano proiettivo sono esclusivamente equazioni omogenee.
  • Punti impropri di rette affini. Chiusura proiettiva di rette affini.
  • Due rette proiettive distinte sono sempre incidenti.
  • Nel piano proiettivo tutti i fasci di rette sono a centro.
  • Esercizi riepilogativi su GEOMETRIA PROIETTIVA: FOGLIO 16 sul sito web
  • DUE ORE DI ESERCITAZIONI POMERIDIANE (IN SOSTITUZIONE DEI TUTORATI) AULA 8 PP1 ORE 16:00 - 18:00.