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MESE |
Tranche |
DATA |
ARGOMENTI
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| Aprile /Maggio |
I |
1 (17/04/2009 - 3 ore). |
Dispense A scaricabili dal sito Corso
Modello geometrico della retta proiettiva reale IP^1 e del piano proiettivo reale IP^2.
Coordinate omogenee.
Costruzione via coordinate omogenee di IP^1 e di IP^2.
Carte o schermi affini. Elementi improprio (od all'infinito) delle varie carte.
Costruzione formale via classi di equivalenza di vettori proporzionali.
Proprieta' proiettive.
Geometria del piano proiettivo: il parallelismo fra rette non e' una proprieta' proiettiva; la collinearita' e' una
proprieta' proiettiva.
Chiusura proiettiva di rette affini. Punti impropri di rette affini in varie carte affini.
Una retta di IP^2 che non coincide con uno dei 3 assi coordinati di IP^2 individua 3 rette affini, una per ogni carta.
Esercizi ed esempi.
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2 (24/04/2009 - 3 ore). |
Dispense A scaricabili dal sito Corso
Equazioni parametriche di rette proiettive
Equazioni cartesiane di rette proiettive: retta per due punti distinti.
Fasci di rette proiettive: in IP^2 esistono solo fasci proprio (o a centro)
Proiettivita' di IP^1 e IP^2. Teorema fondamentale delle proiettivita'.
Punti fissi, luoghi fissi e luoghi di punti fissi di proiettivita' di IP^2.
Prospettivita'. Costruzione grafica di Steiner di una prospettivita'
Teoremi di Pappo e Desargues. Teorema di desargues inverso.
Esercizi ed esempi.
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3 (08/05/2009 - 3 ore). |
Dispense B scaricabili dal sito Corso
Coniche proiettive: classificazione e forme canoniche proiettive.
Riduzione a forma canonica proiettiva via Teorema Spettrale degli operatori autoaggiunti e teorema di Sylvester.
Chiusura proiettiva di coniche affini: ad ogni conica affine corrisponde una conica proiettiva.
Affinizzazione di coniche proiettive: ad una conica proiettiva che non ha come componente
nessuno degli assi fondamentali di IP^2 restano associate esattamente 3 coniche affini, una per ciascuna carta affine A_0, A_1 e A_2.
Classificazione delle coniche affini dallo studio dei loro punti impropri.
Dispense D scaricabili dal sito Corso : Fasci di coniche proiettive.
Un fascio di coniche proiettive puo' essere solo di due tipi: (a) o tutte le coniche del fascio sono degeneri,
ed allora il fascio ha una componente fissa che e' una retta ed il fascio si riduce ad un fascio di rette, oppure (b) la generica conica del fascio e'
non degenere.
Se un fascio e' t.c. la generica conica del fascio e' non degenere, allora il fascio ha 4 punti
base (contati con la rispettiva molteplicita').
In un fascio la cui conica generica e' non degenere, esiste almeno una conica degenere e ne esistono al piu' 3 di coniche degeneri (contate con la
rispettiva molteplicita').
Il metodo del fascio per la determinazione di equazioni di coniche soddisfacenti ad alcune condizioni geometriche.
Esercizi ed esempi.
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| Maggio |
II |
4 (13/05/2009 - 3 ore). |
Richiami sui cambiamenti di basi e cambiamenti di basi ortonormali.
Richiami sulla relazione di coniugio (o similitudine) tra matrici e sulla nozione di congruenza tra matrici.
Conseguenze nelle rappresentazioni matriciali di endomorfismi in differenti basi.
Aggiunta di un'applicazione lineare fra spazi euclidei. Solo se le basi sono ortonormali la matrice rappresentativa
dell'aggiunta di A coincide con la matrice trasposta di A.
Ortogonali di un sottoinsieme S di uno spazio vettoriale euclideo: l'ortogonale ha sempre una struttura
di sottospazio vettoriale, anche se S era solo un sottoinsieme. Doppio ortogonale e Span(S).
Immagine e nucleo di un'applicazione lienare. Teorema di nullita' piu' rango ed interpretazioni geometriche.
Teorema di Rouche' Capelli su compatibilita' e numero di soluzioni di un sistema lineare: significati geometrici
(propedeutici per lo studio degli stadi di equilibrio). Traduzione della tabella di equilibri in termini di
dimensioni del nuclei e dell'immagine della matrice di equilibrio.
Risultato: l'immagine di un'applicazione lineare coincide con l'ortogonale del nucleo dell'applicazione
lineare aggiunta (propedeutico per il Teorema dei lavori virtuali). Traduzione della tabella di equilibri in termini di
dimensioni dei nuclei della matrice di equilibrio e della matrice di cinematica (aggiunta della matrice di equilibrio).
Trasformazioni ortogonali e trasformazioni ortogonali speciali: strutture gruppali. Gruppo ortogonale
O(n,IR) e gruppo speciale ortogonale SO(n,IR). Nelle notazioni tensoriali questi sono Orth e Orth^+.
Le applicazioni lineare ortogonali non speciali non hanno una struttura di gruppo.
Esercizi ed esempi.
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5 (20/05/2009 - 3 ore). |
Corrispondenza biunivoca tra basi ortonormali e positivamente orientate (o destre) di IR^n ed elementi di SO(n,IR).
Polinomio caratteristico di un endomorfismo speciale ortogonale di IR^3: se l'endomorfismo non e' l'identita', allora esiste
sempre una direzione privilegiata corrispondente all'autospazio dell'autovalore semplice 1; tale autospazio
coincide con l'asse di rotazione.
Spazio vettoriale duale V* di uno spazio vettoriale V. L'isomorfismo fra V e V* non e' canonico in generale.
Se V e' euclideo allora V e V* sono canonicamente isomorfi.
Algebra tensoriale.
Isomorfismo canonico: V* tensor W e' canonicamente isomorfo a Hom(V,W).
Potenza tensoriale di uno spazio vettoriale euclideo V. Tensori di ordine k su V. Tensori decomponibili
Prodotto tensoriale (o diadico) tra due vettori di IR^3. Tensori del II ordine in IR^3.
Traccia e determinante di un tensore.
Il polinomio caratteristico (o equazione secolare) di un tensore del secondo ordine su IR^3 e' invariante
per classe di coniugio; in particolare con cambiamenti di base ortogonali, esso e' invariante per congruenza.
I coefficienti del polinomio caratteristico di un tensore S sono: det(S), Tr(S) e II(S) e sono invarianti metrici del
tensore.
Esercizi ed esempi.
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6 (27/05/2009 - 3 ore). |
I tensori del secondo ordine su IR^3 hanno una struttura di algebra: prodotto tra tensori.
Lin = algebra dei tensori del secondo ordine su IR^3. dim(Lin) = 9.
Prodotto fra diadi (equiv. fra tensori decomponibili).
Tensori invertibili, inverso di un tensore, trasposto di un tensore.
Tensori simmetrici e tensori antisimmetrici.
I tensori simmetrici formano una sotto-algebra (Sym) di Lin tale che dim(Sym) = 6.
I tensori anti-simmetrici formano una sotto-algebra (Skew) di Lin tale che dim(Skew) = 3.
Prodotto scalare fra tensori.
Lin = Skew + Sym e' una decomposizione in somma diretta ortogonale.
In altri termini, ogni tensore si scrive in modo unico
come somma di una parte simmetrica e di una parte alterna.
Un tensore antisimmetrico di qualsiasi ordine ha sempre rango pari.
Un tensore non nullo del II ordine su IR^3 ha sempre un nucleo uni-dimensionale,
detto asse del tensore antisimmetrico.
Rappresentazione di un tensore antisimmetrico. Isomorfismo ASSIALE tra Skew e IR^3. Corrispondenza tra
coordinate dell'asse e rappresentazione matriciale del tensore antisimmetrico.
Esercizi ed esempi.
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7 (EXTRA - FUORI CREDITI F - 5/6/2009 - 3 ore). |
Significato geometrico della corrsipondenza assiale. Tensore Spin.
Simbolo di Ricci e permutazioni.
Identita' di Jacobi.
Esercizi di riepilogo.
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