II semestre - A.A. 2020-2021
Docente: Prof. Flaminio
Flamini e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
Co-docente: Prof. Francesca Tovena e-mail: tovena@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
Orario Lezioni ed Esercitazioni: (vedere specifiche nella tabella sottostante)
Lunedì / ore: 11:00-13:00 / Aula 11
Mercoledì / ore: 09:00-11:00 &
14:00-16:00 / Aula 11
Venerdì / ore: 11:00-13:00 / Aula 11
|
SEMESTRE |
SETTIMANA |
LEZIONE |
ARGOMENTI |
|
I |
Settimana 1 |
(2
ore)-08/03/2021 |
Presentazione del corso, del materiale didattico e dei
metodi di valutazione (Esoneri, Appelli) [Disp_iso1] Generalità su isometrie
(Par. 4.7) *Congruenze o Isometrie *Movimenti
dello spazio euclideo * Isometrie dirette od
inverse. *Figure geometriche congruenti
od isometriche. Geometria euclidea. *Isometrie di una retta
euclidea (Es. 4.7.4) *Simmetria ortogonale o
riflessione rispetto ad un iperpiano (Es. 4.7.5) [Disp_iso1] Generalità su isometrie di
un piano euclideo (Par. 4.8) *Rotazioni, riflessioni o
ribaltamenti ortogonali rispetto ad un asse * Glissoriflessioni. * Teorema di Chasles
(solo enunciato) |
|
|
|
(2
ore)-10/03/2021 |
[Disp_iso2] Isometrie notevoli di
IE^2 (Par. 1) *Equazioni di traslazioni
in IE^2 *Equazioni di rotazioni
attorno ad O in IE^2. Proprietà: composizione ed inverse. Isometrie
lineari dirette *Equazioni di rotazioni attorno
ad un punto P di IE^2. Isometrie dirette * Equazioni di riflessioni
rispetto ad un punto P di IE^2 *Equazioni di riflessioni
rispetto a rette di IE^2. Proprietà: composizione ed inverse. Isometrie
inverse. *Due rette sono sempre congruenti
(e quindi anche affinemente equivalenti). * Forma canonica
metrica di una retta in IE^2 |
|
|
|
(2
ore)-10/03/2021 |
[Disp_iso2] Isometrie notevoli di IE^3 (Par. 2) *Equazioni di traslazioni
in IE^3 *Equazioni di rotazioni
vettoriali attorno alla retta < e_1 > in IE^3. Proprietà. Isometrie
lineari dirette *Equazioni di rotazioni
vettoriali attorno ad una qualsiasi retta vettoriale orientata in IE^3.
Rotazioni di centro O di angolo a intorno al vettore v *Rappresentazione
vettoriale intrinseca ([Disp_iso1] Generalità su isometrie di uno spazio
euclideo 3-dimensionale Par. 4.9) * Equazioni di rotazioni
attorno ad una qualsiasi retta orientata in IE^3. Isometrie dirette *Equazioni di riflessioni
rispetto a punti e rette di IE^3 *Equazioni di riflessioni
rispetto a piani di IE^3. Isometrie inverse * Due rette (equiv. due
piani) sono sono sempre congruenti (e quindi anche affinemente
equivalenti). * Forma canonica
metrica di una retta (equiv di un piano) in IE^3 |
|
|
|
(2 ore)-
12/03/2021 |
ESERCITAZIONI PROFESSOR FLAMINI |
|
I |
Settimana 2 |
(2 ore)-
15/03/2021 |
[Disp] Complessificazione. (Par 1.1) *Complessificazione V_C di
uno spazio vettoriale reale V *Parte reale
e parte immaginaria di un vettore. *Vettore reale
e vettore immaginario puro *Decomposizione
reale di V_C per mezzo degli
IR-sottospazi canonici: (i) V identificato
all’IR-sottospazio dei vettori reali di V_C ed (ii) iV identificato
all’IR-sottospazio vettoriale dei vettori immaginari puri * Dimensione reale e
dimensione complessa [AL.Prop.
12.14] * Riferimenti reali * Coniugio e vettore
coniugato * Sottoinsiemi reali di
uno spazio vettoriale complesso |
|
|
|
(2 ore)-
17/03/2021 |
[Disp] Complessificazione (Par
1.1) *Complessificazione di una
applicazione lineare f: V à W tra spazi vettoriali reali *Complessificazione di un
prodotto scalare (o di un’applicazione bilineare simmetrica reale) *Forma Hermitiana
antisimmetrica * Vettori isotropi *Lunghezza di un vettore
complesso * Vettori complessi
ortogonali *Coseno dell’angolo
convesso *Immersione
diagonale di V nel complessificato: coniugio e vettori reali (Osservazione 1.1.6) |
|
|
|
(2 ore)-
17/03/2021 |
[Disp] Complessificazione. (Par 1.2 e
1.3) *Complessificazione di
uno spazio affine reale: sia con immersione di V standard come parte
reale sia con immersione diagonale di V * Coniugio e punti
reali di uno spazio affine complesso: sia con immersione di V standard
come parte reale che con immersione diagonale di V *Riferimenti affini reali
di uno spazio affine complessificato * Sottospazi affini reali
di uno spazio affine complessificato *Complessificazione di uno
spazio euclideo: vettori complessi ortogonali * Distanza tra punti.
Punti a distanza nulla |
|
|
|
(2 ore)-
19/03/2021 |
[Disp]
Complessificazione. (Par 1.6 e 1.7) *Formule di geometria in
un piano affine/euclideo complesso (par. 1.6): (i) rette complesse:
equazioni parametriche e cartesiane, giaciture, vettori e numeri direttori (ii) rette coniugate (iii) rette isotrope
nel piano (iv) fasci isotropi
nel piano (v) l’equazione della circonferenza
di centro un punto P e raggio nullo come equazione complessiva delle
due rette isotrope del piano per il punto P (vi) rette reali nel piano *Formule di geometria
in uno spazio affine/euclideo complesso 3-dimensionale (par. 1.7): (i) rette e piani:
equazioni parametriche e cartesiane, giaciture (ii) rette e piani
coniugati (iii) rette di prima
e di seconda specie (iv) rette isotrope
(v) cono isotropo (v) piani immaginari (vi) piani isotropi (vii) fasci di rette
isotrope su un piano reale (ix) piani isotropi per
una retta isotropa |
|
I |
Settimana 3 |
(2 ore)-
22/03/2021 |
ESERCITAZIONI
PROFESSORESSA TOVENA |
|
|
|
(2 ore)-
24/03/2021 |
Spazi Quozienti [AL] Cap. 11. Par. 1,2
*Relazione di equivalenza indotta
da un sottospazio W in uno spazio vettoriale V su un campo IK *Insieme quoziente V/W e
classi di equivalenza: traslati del sottospazio W *V/W come IK_spazio
vettoriale *P: V à V/W proiezione canonica: è un
epimorfismo di nucleo W * dim(V/W) = dim (V) –
dim(W) *Esempi geometrici *Primo teorema di
omomorfismo |
|
|
|
(2 ore)-
24/03/2021 |
Spazi Quozienti [AL] Cap. 11. Par. 2,
3, 4 e 5 *Secondo teorema di
omomorfismo *Sottospazi di V/W *Somme, somme dirette e
spazi quozienti *Esempi |
|
|
|
(2 ore)- 26/03/2021 |
Spazi
Duali [AL] Cap. 12. Par. 1,2 * Se V e W sono IK-spazi
vettoriali, Hom(V,W) è IK-spazio vettoriale * Spazi vettoriali di
omomorfismi tra IK-spazi vettoriali numerici *Dimensione di Hom(V,W) *Hom(V,V) = End(V) è un
anello non-commutativo *GL(V)= gruppo degli automorfismi di V |
|
I |
Settimana 4 |
(2 ore)-
29/03/2021 |
ESERCITAZIONI
PROFESSORESSA TOVENA |
|
|
|
(2 ore)-
31/03/2021 |
Spazi Duali [AL] Cap. 12, Par. 8,3,4,5
*Composizione di applicazioni
lineari e quozienti: Proprietà universale del quoziente (Lemma 12.18) *Spazio vettoriale duale
V* di uno spazio vettoriale V: forme lineari o funzionali
lineari su V *Riferimento duale
di un riferimento di V *Spazio biduale
V** di V: è canonicamente isomorfo a V *Duale di uno spazio
vettoriale numerico (Es.
12.8) *Annullatore
di un sottospazio vettoriale W di V e
proprietà *Proposizioni duali ed
autoduali *Principio di
dualità degli spazi vettoriali |
|
|
|
(2 ore)-
31/03/2021 |
Spazi Duali [AL] Cap. 12. Par. 10, 6,
7 * Dualità e sistemi
lineari (Lemma 12.20,
Teorema 12.22) * Trasposta di
un’applicazione lineare * Matrice di
un’applicazione lineare trasposta * Trasposte di applicazioni
lineari in spazi vettoriali numerici * Applicazioni
lineari simmetriche |
|
|
|
(2 ore)-
2/04/2021 |
Diagonalizzabilità
[AL] Cap. 16 Par. 1, 2, 3 * Sottospazi vettoriali f-invarianti
o f-stabili * Caratterizzazione delle
omotetie *Endomorfismi indotti su
sottospazi f-invarianti e su quozienti *Autovalori
ed autovettori di un endomorfismo *Autospazio
relativo ad un autovalore. *Molteplicità
geometrica di un autovalore *Polinomio
caratteristico di una matrice.
|
|
I |
Settimana 5 |
(2 ore)-
5/04/2021 |
Festività
Pasquali ESERCITAZIONI PROFESSORESSA TOVENA RECUPERATE MARTEDI’
6/4/2021 IN MODALITA’ ON-LINE DALLE 14:00 ALLE 16:00 |
|
|
|
(2 ore)- 7/04/2021 |
Diagonalizzabilità [AL] Cap. 16 par.3
e pg. 274-284 *Minori principali
di una matrice; determinante e traccia di una matrice A * Coefficienti del
polinomio caratteristico * Il polinomio
caratteristico è una nozione intrinseca, i.e. indipendente
dalla scelta del riferimento R_V * Polinomio
caratteristico di un endomorfismo. Spettro di un endomorfismo,
determinante e traccia di un endomorfismo * Molteplicità
algebrica di un autovalore * Confronto tra
molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore * Ricerca di autovalori e
di autospazi per un endomorfismo * Autospazi relativi ad
autovalori distinti sono indipendenti e sono in somma diretta * Endomorfismi diagonalizzabili * CNES per
diagonalizzazione di endomorfismi. |
|
|
|
(2 ore)- 7/04/2021 |
Diagonalizzabilità
[AL] Cap. 16 Par. 6 e 10 * Endomorfismi triangolabili * CNES per la triangolabilità di un endomorfismo. * Teorema di
Hamilton-Cayley (solo enunciato) * Applicazioni polinomiali
in M(n,n; IK) * Applicazioni polinomiali
in End(V) * Ideale I(A) in IK[t] di
una matrice A * Ideale in IK[t] di un
endomorfismo f * IK[t] e’ un dominio di
integrità EUCLIDEO, in particolare tutti gli ideali sono principali
(cioè unigenerati) |
|
|
|
(2 ore)- 9/04/2021 |
Forme di Jordan [AL] Cap. 16. Par.10 e
Cap. 17. Par. 1 * IK[t] e’ un dominio di
integrità EUCLIDEO, in particolare tutti gli ideali sono principali
(cioè unigenerati) * I(A) = I(A^t) * I(A) = I(C^{-1}AC), per
ogni C invertibile * Polinomio minimo
di una matrice A. E’ una nozione intrinseca, i.e. indipendente
dalla scelta del riferimento * I(f) = ideale di un
endomorfismo * Polinomio minimo
di un endomorfismo f * Polinomi minimi di varie
tipologie di matrici. * Gli zeri del polinomio
minimo nella chiusura algebrica di IK coincidono con lo spettro
dell’endomorfismo * Endomorfismi nilpotenti * Endomorfismi a spettro
nullo * f è
nilpotente se e solo se è a spettro
nullo * ord(f) := ordine
di f o indice di nilpotenza di f |
|
I |
Settimana 6 |
(2 ore)- 12/04/2021 |
ESERCITAZIONI
PROFESSORESSA TOVENA |
|
|
|
(2 ore)- 14/04/2021 |
Forme di Jordan [AL] Cap. 17. Par. 2 * Endomorfismi ciclici * Vettori radice di un
endomorfismo * Sottospazio dei vettori
radice di un endomorfismo * Per autovalori distinti,
i sottospazi dei vettori radice sono in somma diretta |
|
|
|
(2 ore)- 14/04/2021 |
Forme di Jordan [AL] Cap. 17. Par. 3 * Dimensione di un
sottospazio di vettori radice * Teorema di riduzione a
forma canonica di Jordan * Polinomio
caratteristico, polinomio minimo e forma canonica di Jordan (Prop. 17.20) |
|
|
|
(2 ore)- 16/04/2021 |
ESERCITAZIONI PROFESSORE FLAMINI |
|
I |
Settimana 7 |
(2 ore)- 19/04/2021 |
SVOLGIMENTO
I ESONERO SU ARGOMENTI FINO A SETTIMANA 6 COMPRESA |
|
(2 ore)- 21/04/2021 |
[Disp] Spazi Proiettivi. Par. 5.1, 5.2
e 5.3 * Considerazioni
preliminari: completamento di una retta affine con un punto
“all’infinito” * Proiezione stereografica di S^1 e
modello della retta proiettiva reale * IP(V) spazio
proiettivo associato ad uno spazio vettoriale V * Dimensione
di IP(V) * IP^n spazio
proiettivo numerico di dimensione n sul campo IK * Sottospazi proiettivi di
suo spazio proiettivo. * Iperpiani * Equazioni
parametriche omogenee ed equazioni cartesiane omogenee
in forma normale di ssp. proiettivi * Equazioni
parametriche omogenee ed equazioni cartesiane omogenee
in forma normale di punti, rette ed iperpiani * Ogni sottospazio
proiettivo è intersezione di k iperpiani, ove k la codimensione del
sottospazio proiettivo *Iperpiani fondamentali di
IP^n |
||
|
|
|
(2 ore)- 21/04/2021 |
[Disp] Spazi Proiettivi. Par. 5.3, 5.4 * Sottospazio
intersezione e sottospazio congiungente di due
sottospazi proiettivi di IP(V) * Formula di
Grassmann in IP(V) * Sottospazi proiettivi incidenti
e sghembi * Punti indipendenti
in uno spazio proiettivo * Proiettività
(od omografie) * Isomorfismi proiettivi.
Spazi proiettivi isomorfi * Gruppo proiettivo PGL(V) * Luoghi geometrici proiettivamente
equivalenti * Geometria
Proiettiva * Proiettività di uno
spazio proiettivo numerico. * PGL(n+1; IK)
= Aut(IP^n) = gruppo degli automorfismi proiettivi di IP^n |
|
(2 ore)- 23/04/2021 |
[Disp] Spazi Proiettivi. Par. 5.5 * Equazioni cartesiane di
sottospazi proiettivi f(H) < IP^m che sono
trasformati di sottospazi proiettivi H<IP^n mediante una
proiettività f:IP^n à IP^m * Riferimenti
proiettivi in IP(V) * Punti in posizione
generale * Punti fondamentali e punto
unità in IP^n: costituiscono una (n+2)-upla di punti in posizione
generale. * Equazioni di una proiettività f: IP(V) à IP(V’) in
riferimenti proiettivi fissati in IP(V) e IP(V’) * Teorema
fondamentale delle proiettività e Teorema fondamentale dei riferimenti
proiettivi * Punti fissi,
luoghi fissi e luoghi di punti fissi di una proiettività
f di IP(V) in sè |
||
|
I |
Settimana 8 |
(2 ore)- 26/04/2021 |
ESERCITAZIONI
PROFESSORESSA TOVENA |
|
|
|
(2 ore)- 28/04/2021 |
[Disp] Spazi Proiettivi. Par.5.4 e 5.7 * Proiettività
degeneri (Osservazione
5.4.8) * Proiezioni da un punto e
proiezioni da un sottospazio proiettivo (Problemi 5.23 e 5.24) * La retta proiettiva
numerica IP^1 su un campo IK * Sistema di coordinate
omogenee [X_0, X_1] su IP^1: punti fondamentali e punto
unità di IP^1 * Riferimenti proiettivi
su IP^1 * Rivisitazione dei
Teoremi fondamentali delle proiettività e dei riferimenti su IP^1. * Quaterne
di punti proiettivamente equivalenti. * Birapporto di
una quaterna di punti. |
|
|
|
(2 ore)- 28/04/2021 |
[Disp] Spazi Proiettivi. Par. 5.6 * Geometria affine e
geometria proiettiva: completamento proiettivo dello spazio
affine A^n * Punti impropri
(od all’infinito) di A^n. * Iperpiano
improprio di A^n [Disp]
Spazi Proiettivi. Par. 5.7 * Completamento
proiettivo della retta affine A^1 con coordinata affine
x = X_1/X_0 * Carte affini
fondamentali della retta proiettiva numerica IP^1: retta affine A^1_x
con coordinata affine x = X_1/X_0 e retta affine A^1_y con coordinata
affine y = X_0/X_1 * I punti fondamentali di
IP^1 sono l’origine (risp. il punto all’infinito) e il punto all’infinito
(risp. l’origine) della retta affine A^1_x (risp. A^1_y) * La relazione tra le
coordinate affini nell’intersezione delle due carte affini fondamentali di
IP^1 è y = 1/x |
|
|
|
(2 ore)- 30/04/2021 |
[Disp] Spazi Proiettivi. Par. 5.6 * Struttura di spazio
proiettivo su IP(A^n) * Riferimenti proiettivi
su IP(A^n) associati a riferimenti affini di A^n * Formule di cambiamento di
coordinate omogenee dedotte da formule di cambiamento di coordinate affini
mediante un’affinità * Affinità di A^n
come restrizioni allo spazio affine di proiettività di IP^n che fissano
l’iperpiano improprio di A^n * Omogeneizzazione
e de-omogeneizzazione di polinomi in un certo numero di
indeterminate * Completamento
proiettivo (o chiusura proiettiva) H di un sottospazio
affine S (identificando lo spazio affine con la carta affine di IP^n
complementare dell’iperpiano X_0 =0): determinazione delle equazioni
cartesiane omogenee definenti il completamento proiettivo H dalle equazioni
cartesiane del sottospazio affine S (omogeneizzazione 0-esima dei polinomi
non omogenei delle equazioni cartesiane del sottospazio affine S) * Traccia di un sottospazio
proiettivo H in una carta affine e determinazione delle equazioni
cartesiane del sottospazio affine S_i traccia del sottospazio proiettivo H
nella carta affine complementare dell’iperpiano X_i=0 (de-omogeneizzazione
i-esima dei polinomi omogenei delle
equazioni cartesiane del sottospazio proiettivo H) [Disp] Spazi Proiettivi. Par. 5.8 * Il piano proiettivo
numerico IP^2 * Carte affini
fondamentali del piano
proiettivo numerico IP^2 * Completamento
proiettivo del piano affine A^2 e di rette affini nel piano
affine A^2 * I completamenti
proiettivi di due rette affini parallele sono rette proiettive del
piano proiettivo che si incidono in un punto, che risulta improprio per le
due rette affini originarie. * Traccia di
rette proiettive nelle tre carte affini fondamentali di IP^2 |
|
I |
Settimana 9 |
(2 ore)- 03/05/2021 |
ESERCITAZIONI
PROFESSORESSA TOVENA |
|
|
|
(2 ore)- 05/05/2021 |
[Disp] Spazi Proiettivi. Par. 5.6 * Proiettività che
estendono un’affinità * Proiettività che fissano
l’iperpiano {X_0=0} inducono affinità nella carta affine IP^n – {X_0=0} * Stella di rette
per un punto di uno spazio affine ha struttura di spazio proiettivo * Se H è un iperpiano in uno spazio proiettivo IP(V),
allora IP(V) – H ha sempre una struttura di spazio affine * Carte affini
fondamentali dello spazio
proiettivo numerico IP^n * de-omogeneizzazione i-esima per trovare la traccia
di un sottospazio proiettivo nella carta affine fondamentale i-esima di IP^n [Disp]
Spazi Proiettivi. Par. 5.8 * Lo spazio proiettivo
numerico IP^3 * Carte affini
fondamentali dello spazio proiettivo
IP^3 * Equazioni omogenee
parametriche e cartesiane di una retta e di un piano in IP^3 * Mutue posizioni di rette
e piani in IP^3 * Completamento proiettivo
di uno spazio affine 3-dimensionale, delle sue rette affini e dei suoi piani
affini * Traccia di
rette proiettive e di piani proiettivi nelle carte affini fondamentali di
IP^3 |
|
|
|
(2 ore)- 05/05/2021 |
[Disp]
Dualità e Spazi Proiettivi * Spazio proiettivo
duale * Coordinate duali
o pluckeriane * Riferimenti duali * H(Z) = Stella
di iperpiani in IP(V) di asse (o centro) il sottospazio
proiettivo Z * H(Z) = IP(Ann_V(W)) se Z = IP(W) < IP(V) * H(Z) è sottospazio
proiettivo di IP(V)* di dimensione dim (IP(V)) – dim(Z) – 1 * IP(V)** naturalmente
isomorfo a IP(V) * Principio di
dualità negli spazi proiettivi * Proposizioni di
carattere grafico |
|
|
|
(2 ore)- 07/05/2021 |
[AL]
Cap. 18 * Forme bilineari,
bilineari simmetriche e bilineari antisimmetriche
su un IK-spazio vettoriale V * Forme quadratiche
su un IK-spazio vettoriale V * Forma polare
associata ad una forma quadratica. * Polarizzazione di una forma quadratica * Operatori di simmetrizzazione
e di anti-simmetrizzazione * Esempi: traccia di
matrici; prodotto scalare e norma in uno spazio vettoriale reale euclideo * Omomorfismi
metrici * Isometrie di (V, F),
dove F forma quadratica su V * Matrice di una
forma bilineare in un dato riferimento R_V * La forma bilineare è
simmetrica (risp. antisimmetrica) se e solo se la matrice rappresentativa in
un qualsiasi riferimento è una matrice simmetrica (risp. antisimmetrica) * dimensioni di Bil(V),
Sym(V) e Antisym(V) * Forme bilineari su IK^n
come polinomi in due n-uple distinte di indeterminate che sono bi-omogenei di grado di omogeneità
uno per ciascuna delle due n-uple * Forme quadratiche su
IK^n come polinomi omogenei di grado due in una n-upla di
indeterminate * Sostituzione
lineare di indeterminate in una forma bilineare |
|
|
Settimana 10 |
(2 ore)- 10/05/2021 |
ESERCITAZIONI
PROFESSORESSA TOVENA |
|
|
|
(2 ore)- 12/05/2021 |
[AL]
Cap. 18 * Matrice di una
forma quadratica in un dato riferimento R_V * Cambiamenti di
riferimento in uno spazio vettoriale e cambiamento delle matrici
rappresentative di una forma bilineare per mezzo di congruenza attraverso
la matrice cambiamento di base * Sostituzione
lineare di indeterminate in una forma bilineare (o in una forma
quadratica) su IK^n * Discriminante
e rango di una forma bilineare * Forme bilineari non-degeneri
e degeneri * Omomorfismi metrici:
relazioni matriciali * Endomorfismi metrici e
loro rango: confronto con il rango dela forma vilineare che esiste su V |
|
|
|
(2 ore)- 12/05/2021 |
[AL]
Cap. 19 * Ortogonalità in V
rispetto ad una forma bilineare simmetrica f * Complementi f-ortogonali
* Radicale
di (V,f) * Decomposizioni ortogonali rispetto ad una forma
bilineare simmetrica f * Riferimenti f-ortogonali * Versori rispetto ad una
forma bilineare simmetrica f su V * Normalizzazione rispetto
ad una forma bilineare f * Forme bilineari
simmetriche euclidee ed opposte di euclidee
(dipende dal campo IK) * Forme bilineari simmetriche
e dualità * Reciprocità
definita da una forma bilineare simmetrica f non degenere su uno spazio
vettoriale di dimensione finita. * La reciprocità relativa
ad una forma bilineare simmetrica non-degenere f definisce un isomorfismo
canonico tra V e V* * Nell’isomorfismo
canonico tra V e V*, per ogni sottospazio W di V si ha che Ann_V(W) è
isomorfo mediante la reciprocità al supplemento f-ortogonale di W in V * Le proprietà dei
complementi f-ortogonali, discendono dalle proprietà degli annullatori |
|
|
|
(2 ore)- 14/05/2021 |
[AL]
Cap. 19 * Piano iperbolico * Vettori isotropi * Forme bilineari
simmetriche e forme quadratiche definite * Forme quadratiche indefinite * Il caso di IK algebricamente
chiuso * Esistenza di basi
f-ortogonali * Riduzione a forma
normale di forme bilineari simmetriche e quadratiche (IK qualsiasi,
IK algebricamente chiuso e IK= IR) * Riduzione a forma
normale di polinomi omogenei di II grado a n indeterminate su un
campo IK (IK qualsiasi, IK algebricamente chiuso e IK= IR) * Riduzione a forma
normale (o diagonale) di matrici simmetriche (IK qualsiasi, IK
algebricamente chiuso e IK= IR) |
|
I |
Settimana 11 |
(2 ore)- 17/05/2021 |
ESERCITAZIONI
PROFESSORESSA TOVENA |
|
|
|
(2 ore)- 19/05/2021 |
[AL]
Cap. 19 CASO REALE: * Indici di inerzia,
indice di nullità, segnatura di
una forma quadratica su uno spazio vettoriale reale * Forma canonica di
Sylvester di una forma quadratica reale. Riferimento di
Sylvester * Teorema di
Sylvester o legge di
inerzia: gli indici di inerzia sono invarianti metrici, i.e.
due spazi vettoriali reali isometrici hanno stessa forma canonica di
Sylvester * Forme quadratiche reali definite negative
(positive), indefinite non-degeneri, degeneri semidefinite (positive e
negative), indefinite degeneri [AL]
Cap. 20 * Procedimenti di
f-ortogonalizzazione rispetto ad una forma bilineare simmetrica f * Estensione del procedimento
di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt ad una forma bilineare simmetrica f * Coefficienti di
Fourier * Le matrici cambiamento di base ad ogni passo sono unitriangolari
superiori * Riferimenti i-regolari rispetto ad una
forma bilineare simmetrica f su V * Basi f-ortogonali
(o basi f-diagonalizzanti) per una forma bilineare simmetrica f
(o forma quadratica F) * Primo passo
dell’Algoritmo di Lagrange per la determinazione di una base
f-ortogonale |
|
|
|
(2 ore)- 19/05/2021 |
[AL]
Cap. 20 * Secondo e terzo
passo dell’Algoritmo di Lagrange per la determinazione di una base
f-ortogonale * Esempi di calcolo di forma normale e di forma di
Sylvester con individuazione di riferimento ortogonale e riferimento di
Sylvester * Teorema di Jacobi:
classificazione determinantale di riferimenti i-regolari |
|
|
|
(2 ore)- 21/05/2021 |
[AL]
Cap. 20 * IL CASO REALE: Criterio
di Sylvester per stabilire se una f bilineare simmetrica reale sia
definita positiva [Disp_G1] Geometria 1 di E. Sernesi
(Bollati Boringhieri) Par. 22 * Endomorfismi
(o Operatori autoaggiunti (o simmetrici) in uno
spazio vettoriale reale euclideo V * T autoaggiunto se e solo
se in ogni base ortonormale di V è rappresentato da una matrice simmetrica * Lo spettro di una
matrice simmetrica è sempre reale * Teorema Spettrale degli operatori autoaggiunti o simmetrici in
uno spazio vettoriale reale euclideo |
|
I |
Settimana 12 |
(2 ore)- 24/05/2021 |
[Disp] Quadriche proiettive oppure
scansioni scritte a mano Prof. F. Flamini e caricate on line *Quadriche nello spazio
proiettivo IP^n sul campo complesso o sul campo reale: matrice simmetrica e
forma polare associate ad una quadrica proiettiva * Rango di una quadrica
proiettiva * Quadriche non degeneri e
degeneri * Quadriche su IP^1: caso
complesso e caso reale * Quadriche riducibili:
componenti irriducibili o componente doppia * CNES matriciale affinchè
una quadrica sia riducibile: se e solo se rg= 1 o 2 * Intersezione tra una
retta ed una quadrica * Molteplicità di
intersezione in un punto |
|
|
|
(2 ore)- 25/05/2021 |
Recupero ore14:00-16:00 di 2 ore delle 4 ore
perse del 2 Giugno [Disp] Quadriche proiettive oppure
scansioni scritte a mano Prof. F. Flamini e caricate on line * Teorema di Bezout per
quadriche di IP^n complesso, con n>1 * Punti doppi
(o singolari) di una quadrica * Punti semplici (o
non-singolari o lisci) di una quadrica * Luogo singolare
di una quadrica: o è vuoto oppure è un sottospazio proiettivo di IP^n * Quadriche singolari
e quadriche lisce * Coniche semplicemente
e doppiamente degeneri come uniche coniche singolari di IP^2 * E’ falso in generale: coni
in IP^3 di vertice un punto e proiettanti una conica non singolare su un
piano esterno al punto * Classificazione delle singolarità
di una quadrica di IP^n a seconda del rango della quadrica * Retta tangente
ad una quadrica in un suo punto semplice * Iperpiano tangente
ad una quadrica in un punto semplice * L’intersezione di una
quadrica con un iperpiano tangente in un suo punto fornisce sempre una
quadrica singolare nell’iperpiano * Sottospazi
proiettivi tangenti: l’intersezione di una quadrica proiettiva con un
sottospazio proiettivo tangente Z è o Z (quando Z era contenuto nella
quadrica) oppure una quadrica degenere in Z |
|
|
|
(2 ore)- 26/05/2021 |
[Disp] Quadriche proiettive oppure
scansioni scritte a mano Prof. F. Flamini e caricate on line * Polarità
definita da una quadrica * Iperpiano polare
di un punto rispetto ad una quadrica, polo di un iperpiano
rispetto ad un punto * Appartenenza,
reciprocità e sezione * Se il polo P è sulla quadrica,
l’iperpiano polare coincide con l’iperpiano tangente alla quadrica nel polo P * Proiettività da IP^n a
IP^n* indotta da una quadrica non degenere: polo -----> iperpiano polare * Caso di IP^1: punto
polare di un punto rispetto ad una conica, involuzione e punti
coniugati, coniugati armonici, assoluto e punti ciclici * Caso di IP^2: retta
polare rispetto ad una conica, interpretazione geometrica della retta
polare di un punro ripetto ad una conica non degenere, * Conica duale di una conica (esempio esplicito con X_0X_2 – X_1^2
=0) |
|
|
|
(2 ore)- 26/05/2021 |
[Disp] Classificazione coniche oppure
scansioni scritte a mano Prof. F. Flamini e caricate on line * Forme canoniche
proiettive di quadriche di IP^1 (caso reale e caso complesso) * Forme canoniche
proiettive di coniche in IP^2 sul campo IK (caso reale e caso
complesso) * Due coniche proiettive
su IK sono proiettivamente equivalenti se e solo se hanno la
stessa forma canonica proiettiva * Forme canoniche
proiettive delle coniche complesse: forme normali di f.q. in tre
indeterminate e relative forme canoniche proiettive * Invariante
proiettivo complesso per classificare le coniche proiettive complesse
è solo il rango della conica * Due coniche proiettive
complesse sono proiettivamente equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango * Forme canoniche
proiettive delle coniche reali: forme canoniche di Sylvester e relative
forme canoniche proiettive di coniche reali * Invarianti
proiettivi reali per classificare una conica proiettiva sono il rango
della conica, unitamente alla tipologia di indici di inerzia della forma
quadratica associata alla conica * Segnatura (3,0) o (0,3)
fornisce conica non degenere a punti immaginari (o conica
a supporto reale vuoto) * Segnatura (1,2) o (2,1)
fornisce canonica non degenere a punti reali * Indici di inerzia
(2,0,1) o (0, 2,1) forniscono conica semplicemente degenere reale
puntiforme * Indici di inerzia
(1,1,1) forniscono conica semplicemente degenere a punti reali
(o coppia di rette proiettive incidenti) * CNES matriciali per
stabilire se una conica proiettiva ha infiniti punti reali: applicazioni
del Teorema di Jacobi e dei Criteri di Sylvester * Rango 1 fornisce conica
doppiamente degenere (o retta reale con molteplicità due) |
|
(2 ore)- 28/05/2021 |
ESERCITAZIONI PROFESSORESSA TOVENA |
||
|
I |
Settimana 13 |
(2 ore)- 31/05/2021 |
[Disp] Classificazione coniche oppure
scansioni scritte a mano Prof. F. Flamini e caricate on line * Piano proiettivo complesso,
piano proiettivo complessificato e piano proiettivo reale * Conica proiettiva propria rispetto ad
una carta affine fondamentale * Traccia di
una conica propria in una carta affine è conica affine * Corrispondenza biunivoca
tra coniche affini e tracce di coniche proiettive proprie rispetto alla carta
affine dove x_0 non è zero, i.e. con coordinate omogenee x = X_1/X_0 e y =
X_2/X_0 * Matrice simmetrica
associata ad una conica affine *Affinità di A^2
come proiettività che fissano la retta impropria X_0 = 0 per quella carta. * Matrice completa
rappresentativa dell’affinità * Invarianti affini
di una conica affine su IK: rg(A) e rg(A_00) * Coniche affini non
degeneri, semplicemente degeneri, doppiamente degeneri * Parabole (quando rg(A_00) = 1) e coniche a centro (quando
rg(A_00) = 2) * Punti impropri di una conica affine nella carta dove X_0 non è
zero * Una parabola è sempre tangente
alla retta impropria ed il punto di tangenza è polo della retta
impropria. Equivalentemente la retta impropria è la polare del punto
improprio della parabola * Se A^2 piano
complesso le coniche a centro sono secanti la retta impropria * Se A^2 è piano
affine complessificato o piano affine reale, ha senso parlare di ellisse
ed iperbole perché anche il segno di det(A_00) diventa un invariante
affine * Significato
geometrico del centro: e’ intersezione delle polari rispetto ai due
punti impropri, ma è anche intersezioni delle polari rispetto ai due punti
fondamentali U_1= [0,1,0] e U_2= [0,0,1] * Le tracce nella carta
affine dove X_0 diverso da zero delle polari di U_1 ed U_2 rispetto alla
conica sono rette affini reali non parallele se l’equazione della conica era
reale. Pertanto il centro C rispetta la struttura di piano affine complesso,
complessificato o reale |
|
|
|
(2 ore)- 2/06/2021 |
Festività del 2 Giugno |
|
|
|
(2 ore)- 2/06/2021 |
Festività del 2 Giugno |
|
|
|
(2 ore)- 4/06/2021 |
[Disp] Classificazione coniche oppure scansioni
scritte a mano Prof. F. Flamini e caricate on line * Forme canoniche
affini di una conica in A^2: il problema si scinde in (i) piano affine
complesso, (ii) piano affine
complessificato e (iii) piano affine reale * Classificazione
affine coniche doppiamente degeneri su IK qualsiasi * Classificazione
affine coniche semplicemente degeneri (caso reale, caso complessificato e
caso complesso) * Classificazione
affine delle coniche non degeneri (caso reale, caso complessificato e
caso complesso) * Significati geometrici
delle affinità utilizzate in termini di spostamento del (centro per le
coniche a centro) per mezzo di traslazioni e trasformazioni assi per mezzo di
affinità lineari, eccetera |
|
|
Settimana 14 |
(2 ore)- 7/06/2021 |
ESERCITAZIONI PROFESSORESSA TOVENA * Diametri
ed Asintoti di una conica affine non degenere * Una parabola
è priva di asintoti ed i suoi diametri sono tutte rette parallele * Una conica a
centro ha due asintoti che, insieme a tutti i diametri, determinano
un fascio di rette affini per il centro della conica |
|
|
|
(2 ore)- 9/06/2021 |
[Disp] Classificazione coniche oppure
scansioni scritte a mano Prof. F. Flamini e caricate on line * Classificazione metrica delle coniche reali nel
piano euclideo reale IE^2 * Invarianti metrici di una conica euclidea * Classificazione
metrica delle coniche non degeneri * Fuochi di
una conica euclidea non degenere. * Una conica euclidea non
degenere ha al più 4 fuochi * Geometria della
forma canonica metrica di un’ellisse a punti reali: centro ed assi di
simmetria, semiasse maggiore e semiasse minore, rilettura in termini del
teorema spettrale, ha solo due fuochi reali * Geometria della
forma canonica metrica di un’iperbole: centro ed assi di simmetria,
asse trasverso ed asse non trasverso, rilettura in termini del teorema
spettrale, ha quattro fuochi: due reali e due complessi e coniugati * Geometria della
forma canonica metrica di una parabola: ha un unico asse di
simmetria, vertice della parabola come punto di intersezione
tra la parabola ed asse di simmetria, rilettura in termini del teorema
spettrale, ha un unico fuoco F; la direttrice della parabola è la retta
polare rispetto al fuoco F * Classificazione
metrica coniche semplicemente degeneri * Classificazione
metrica coniche doppiamente degeneri |
|
|
|
(2 ore)- 9/06/2021 |
ESERCITAZIONI PROFESSOR FLAMINI |
|
|
|
(2 ore)- 11/06/2021 |
SVOLGIMENTO II ESONERO SU ARGOMENTI
DA SETTIMANA 7 COMPRESA |