Corso di Geometria – II Modulo

Scienza e Tecnologia dei Media

II semestre - A.A. 2019-2020


Docente: Prof. Flaminio Flamini  e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it

Tutrice: Giulia Iezzi e-mail: guu.giulia@[ANTISPAM]hotmail.it

Orario Lezioni: Lunedì & Mercoledì/ ore: 11 – 13 / Aula 5PP2

Orario Esercitazioni: Venerdì/ ore: 14 - 16  / Aula 5PP2

Ricevimento Studenti Prof. Flamini.  studio 1116 – Dipartimento di Matematica (Piano 1 – dente 1) – inviare una e-mail qualche giorno prima per appuntamento

 

Diario giornaliero delle lezioni e delle esercitazioni

 

SEMESTRE

SETTIMANA

  LEZIONE

ARGOMENTI

II

Settimana 1

 (2 ore)-2/3/2020

Dispense Flamini su operatori ortogonali ed autoaggiunti

· Matrici ortogonali

· Matrici speciali ortogonali e matrici ortogonali non-speciali.

· Loro composizioni ed interpretazione del segno del determinante via regola di Binet.

· Matrici legate alle isometrie   che conservano o meno le orientazioni

· La matrice cambiamento di base M_{e,f} tra due basi ortonormali e e f di uno spazio vettoriale euclideo (V, <,>) è una matrice ortogonale (dimostrazione solo nel caso di IR^n dotato di prodotto scalare standard)

· Operatori ortogonali su uno spazio vettoriale euclideo (V, <,> )

· Operatori ortogonali su IR^n dotato di prodotto scalare standard: sono dati dalle matrici ortogonali

· Esempi concreti di operatori ortogonali dati da matrici ortogonali

     (i) R_t= rotazione di angolo t attorno all'origine di IR^2: matrice rappresentativa in base canonica speciale ortogonale.

     (ii) La composizione di due rotazioni R_t e R_s e’ la rotazione R_{t+s} di angolo t+s  

     (iii) S_x= Simmetria assiale in IR^2 rispetto all’asse x: matrice rappresentativa in base canonica ortogonale non speciale.

     (iv) S_y= Simmetria assiale in IR^2 rispetto all’asse y: matrice rappresentativa in base canonica ortogonale non speciale.

     (v) S_O = Simmetria in IR^2 rispetto all'origine = S_y S_x = R_{pi-greco} è speciale ortogonale

  

  

 ( 2 ore)-4/3/2020

Dispense Flamini su operatori ortogonali ed autoaggiunti

    (vi) R_{t,e_3} = rotazione di angolo t attorno a Span e_3 in IR^3 è  speciale ortogonale.

· Studio del polinomio caratteristico degli operatori (i), (ii), (iii), (iv) (v) e (vi) e commenti sulla loro eventuale diagonalizzabilità.

· Se M è un operatore ortogonale su un qualsiasi spazio vettoriale euclideo (V, <,>), i suoi eventuali autovalori reali sono esclusivamente + 1 e – 1.

· Matrici CONGRUENTI

· Se M:= M_{e,f} è una matrice ortogonale, le relazioni di coniugio (o similitudine) e di congruenza coincidono.

· Semplificazione dei conti per la diagonalizzazione.

Esercizi proposti sia sul sito web docente sia dal testo Esercizi adottato (“Esercizi di algebra lineare e geometria”, di L. Mauri e E. Schlesingher, Casa Ed. Zanichelli)---> a cominciare da pg. 385: Es. 7.1, 7.2, 7.7, 7.19, 7.20, 7.21, 7.22, 7.23, 7.24, 7.25, 7.26, 7.28, 7.29, 7.30, 7.31, 7.32, 7.34

  

  

 ( 2 ore)-6/3/2020

LINK AL COMUNICATO RETTORALE DI GIOVEDI' 05/03/2020 CONSEGUENTE AL DPCM SU CORONAVIRUS

 

Alla luce della comunicazione Rettorale sopra riportata, IL TUTORATO DA SVOLGERSI IN DATA ODIERNA E' SOPPRESSO.

II

Settimana 2

(2 ore)-09/3/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi Lunedi' 09/03/2020, alla luce della comunicazione Rettorale sopra riportata e della comunicazione dall'Ateneo, ricevuta nel pomeriggio del 06/03/2020, riguardo il futuro uso di MICROSOFT TEAMS, nell'attesa delle nuove strumentazioni che verranno fornite dall'Ateneo, la lezione del 9 Marzo 2020 è stata impartita in modalità TELEMATICA (11:15-14:10) attraverso Google Classroom in videoconferenza HANGOUTS (per alcuni è stata necessaria anche la connessione via Instagram)

Il docente ha inoltre caricato il file PDF della lezione su GOOGLE CLASSROOM


Dispense Flamini su operatori ortogonali ed autoaggiunti

· Operatori autoaggiunti in uno spazio vettoriale euclideo (V, < , >).

· Autovettori di un operatore autoaggiunto, relativi ad autovalori distinti, sono ortogonali

· Se v è autovettore di un operatore autoaggiunto L, e v^{perp} è il complemento ortogonale di Span(v) in V, allora L(v^{perp})  e' contenuto in v^{perp}

· Un operatore autoaggiunto L in IR^n (munito del prodotto scalare standard) è autoaggiunto se e solo M_{f,f}(L) = A è una matrice simmetrica, per ogni scelta di base ortonormale f

· Lo spettro di una matrice simmetrica n x n e' tutto reale (dimostrazione nel caso n <4)

  

  

(2 ore)-11/3/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi Mercoledi' 11/03/2020 nell'attesa delle nuove strumentazioni che verranno fornite dall'Ateneo, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso ZOOM CALL

Il docente ha inoltre caricato il file PDF della lezione su GOOGLE CLASSROOM

 

Dispense Flamini su operatori ortogonali ed autoaggiunti

· Teorema Spettrale degli operatori autoaggiunti

· Utilizzo e conseguenze del Teorema Spettrale degli operatori autoaggiunti:

(i) ogni matrice simmetrica nxn è sempre diagonalizzabile

(ii) la diagonalizzazione di una matrice simmetrica nxn avviene in base ortonormale

(iii) ogni matrice simmetrica A è congruente (mediante una matrice ortogonale M) ad una matrice diagonale

Esercizi proposti dal sito web docente e dal testo Esercizi adottato (“Esercizi di algebra lineare e geometria”, di L. Mauri e E. Schlesingher, Casa Ed. Zanichelli)

  

  

(2 ore)-13/3/2020

Alla luce dei DPCM su COVID19 GLI ESERCIZI TUTORATO SVOLTI DAL DOCENTE SONO CARICATI ON-LINE QUI SOTTO 


Esercizi svolti dal Docente - Tutorato del 13 Marzo 2020

 

II

Settimana 3

 (2 ore)-16/3/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Marini

Introduzione agli spazi affini

· IR^n come spazio affine di dimensione n

· Sottospazi affini di IR^n

· giacitura di un sottospazio affine (nozione affine)

· dimensione di un sottospazio affine (nozione affine)

· Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine di IR^n. Passaggio dalle une alle altre

· giacitura di una retta =  vettore direttore di una retta (nozione affine)

· intersezioni di sottospazi affini (rilettura del Teorema di Rouchè Capelli e della compatibilità di sistemi lineari non omogenei) (nozione affine)

Motivazioni geometriche che spiegano incompatibilità di SL(m,n; IR). (nozione affine)

· sottospazi affini paralleli (nozione affine)

· sottospazi affini sghembi (nozione affine)

  

  

 (2 ore)- 18/3/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Marini

Introduzione agli spazi cartesiani euclidei

· IR^n come spazio cartesiano euclideo di dimensione n

Prime formule di geometria affine in IR^n

· lunghezza di un segmento = distanza tra due punti distinti in IR^n (nozione euclidea)

· vettore normale ad un iperpiano affine (caso parametrico e caso cartesiano) (nozione euclidea)

· sottospazi affini ortogonali (nozione euclidea)

· equazioni parametriche e cartesiane della retta per due punti distinti in IR^n (nozione affine)

· equazioni parametriche e cartesiane del piano per tre punti non allineati in IR^n (nozione affine)

· punto medio di un segmento per due punti distinti in IR^n (nozione affine)

Esercizi dal testo Esercizi adottato (“Esercizi di algebra lineare e geometria”, di L. Mauri e E. Schlesingher, Casa Ed. Zanichelli)

  

  

(2 ore)- 20/3/2020

Alla luce dei DPCM su COVID19 GLI ESERCIZI TUTORATO SVOLTI DALLA TUTRICE DOTT.SSA G IEZZI SONO CARICATI ON-LINE QUI SOTTO

Esercizi svolti dalla Tutrice - Tutorato del 20 Marzo 2020

 

Il docente ha inoltre caricato il file PDF degli esercizi svolti su MICROSOFT TEAMS

II

Settimana 4

 (2 ore)- 23/3/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Marini

Formule di geometria affine ed euclidea nel piano cartesiano IR^2

· punti del piano cartesiano: equazioni parametriche e cartesiane (nozione affine)

· rette del piano cartesiano: vettore direttore e giacitura di una retta (nozione affine)

· equazioni parametriche e cartesiane di una retta e passaggio dalle une alle altre (nozione affine)

· rette parallele, rette coincidenti, rette incidenti (nozione affine);  

· vettore normale ad una retta (nozione euclidea)

· rette perpendicolari (nozione euclidea);  

· proiezione ortogonale di un punto su una retta (nozione euclidea);

· formula della distanza punto-retta (nozione euclidea);

  

  

 (2 ore)- 25/3/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Marini e Dispense Picardello-Zsido (parag. 11.2, pg. 190-191)

Circonferenze nel piano cartesiano IR^2

· circonferenze del piano cartesiano (nozione euclidea); 

· rette tangenti, secanti ed esterne ad una circonferenza (nozione euclidea);

Dispense Marini

Formule di geometria affine ed euclidea nello spazio cartesiano IR^3

· Piani nello spazio cartesiano IR^3: equazioni parametriche e cartesiane; passaggio dalle une alle altre; (nozione affine)

· giacitura di un piano; (nozione affine)

· piani paralleli, piani coincidenti, piani incidenti (nozione affine)

· vettore normale ad un piano (nozione euclidea);  

· piani perpendicolari (nozione euclidea);

· equazione normale di un piano (nozione euclidea); 

· Rette nello spazio cartesiano IR^3: equazioni parametriche e cartesiane; passaggio dalle une alle altre; (nozione affine)

· giacitura di una retta e vettore direttore di una retta (nozione affine)

· piano vettoriale normale ad una retta (nozione euclidea);  

 

Esercizi dal testo Esercizi adottato (“Esercizi di algebra lineare e geometria”, di L. Mauri e E. Schlesingher, Casa Ed. Zanichelli)

  

  

 (2 ore)-27/3/2020

Alla luce dei DPCM su COVID19 GLI ESERCIZI TUTORATO SVOLTI DALLA TUTRICE Dott.ssa G. Iezzi SONO CARICATI ON-LINE QUI SOTTO


Esercizi svolti dalla Tutrice - Tutorato del 27 Marzo 2020

 

Il docente ha inoltre caricato il file PDF degli esercizi svolti su MICROSOFT TEAMS

II

Settimana 5

 (2 ore)- 30/3/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Marini

Formule di geometria affine ed euclidea nello spazio cartesiano IR^3

· Parallelismo in IR^3: retta-retta, piano-piano e retta-piano. (nozione affine)

· Mutue posizioni di due rette in IR^3; rette sghembe in IR^3 (nozione affine)

· Mutue posizioni di due piani in IR^3; esempi (nozione affine)

· Mutue posizioni di retta-piano in IR^3;  esempi (nozione affine)

· Retta in IR^3 perpendicolare ad un piano  (nozione euclidea); 

·  Piano in IR^3 perpendicolare ad una retta (nozione euclidea); 

· Rette (piani) perpendicolari in IR^3 (nozione euclidea); 

  

  

 (2 ore)- 1/4/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Marini

·  Brevi richiami sui  fasci di rette nel piano cartesiano IR^2: fascio improprio di rette (o fascio di rette parallele) e fascio proprio di rette (o fascio di rette a centro)

· Fascio di piani paralleli in IR^3 (o fascio improprio)

· Fascio di piani di asse una retta in IR^3 (o fascio proprio di piani). Condizioni sul fascio e formule di geometria affine ed euclidea.

· Proiezione ortogonale di un punto su un piano (nozione euclidea).

· Distanza punto-piano (nozione euclidea).  

· Distanza fra due piani paralleli (nozione euclidea).  

· Proiezione ortogonale di un punto su una retta (nozione euclidea).

· Due rette parallele sono sempre complanari.

· Distanza fra due rette parallele (nozione euclidea).  

· Distanza fra due rette sghembe (nozione euclidea).  

Esercizi dal testo Esercizi adottato (“Esercizi di algebra lineare e geometria”, di L. Mauri e E. Schlesingher, Casa Ed. Zanichelli)

  

  

 (2 ore)- 03/4/2020

Alla luce dei DPCM su COVID19 GLI ESERCIZI TUTORATO SVOLTI DALLA TUTRICE Dott.ssa G. Iezzi SONO CARICATI ON-LINE QUI SOTTO


Esercizi svolti dalla Tutrice - Tutorato di 03 Aprile 2020

 

Il docente ha inoltre caricato il file PDF degli esercizi svolti su MICROSOFT TEAMS

II

Settimana 6

(2 ore)- 06/4/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Marini & Dispense Picardello-Zsido

· Fasci di rette impropri (o fasci di rette parallele) e propri (o a centro) su un piano di IR^3

· Sfere in IR^3

· Piani esterni, tangenti e secanti ad una sfera in IR^3

· Sezioni piane di sfere in IR^3

Dispense Picardello-Zsido Paragrafo 12.6

· Raggi riflessi e raggi rifratti

  

  

(2 ore)- 08/4/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Flamini su Geometria proiettiva

Fondamenti di Geometria Proiettiva

· Introduzione euristica agli spazi proiettivi come ampliamento di spazi cartesiani con elementi impropri (od all’infinito).

· Esempio: retta proiettiva IP^1(IR) e coordinate omogenee [X_0, X_1].

· Proiezione stereografica della circonferenza e modello di IP^1(IR).

· Carte (o schermi) affini di IP^1(IR): descrizione delle due carte affini con proiezioni stereografiche.

· La carta affine [1, x] di IP^1(IR) è la retta reale standard IR con coordinata (affine) x.

· La seconda carta affine di IP^1(IR) è [y, 1].

· Nel luogo di intersezione delle due carte affini la relazione che sussiste tra le due coordinate affini è xy =1.

· Punti all’infinito (od impropri) delle due carte affini di IP^1(IR) 

  

  

(2 ore)- 10/4/2020

Alla luce dei DPCM su COVID19 GLI ESERCIZI TUTORATO SVOLTI DALLA TUTRICE Dott.ssa G. Iezzi SONO CARICATI ON-LINE QUI SOTTO


Esercizi svolti dalla Tutrice - Tutorato del 10 Aprile 2020

 

Il docente ha inoltre caricato il file PDF degli esercizi svolti su MICROSOFT TEAMS

II

Settimana 7

(2 ore)- 13/4/2020

FESTIVITA' PASQUALI

  

  

(2 ore)-15/4/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Flamini su Geometria proiettiva

· Piano proiettivo IP^2(IR) come completamento con gli elementi impropri (o all’infinito) del piano affine IR^2. 

· Coordinate omogenee [X_0, X_1, X_2] nel completamento.

· Il piano cartesiano standard IR^2, con coordinate affini (x,y),  ha come retta all’infinito X_0=0.

· Punti all’infinito di rette nel piano cartesiano standard IR^2, con coordinate affini (x,y).

· Completamento proiettivo o chiusura proiettiva dell’equazione cartesiana di una retta in IR^2.

· Il punto all’infinito della retta r: ax+by=0 e’ dato da [0, b, -a] (interpretazione con vettore direttore).

· Piano proiettivo IP^2(IR) e coordinate omogenee [X_0,X_1,X_2].

· Significato geometrico di direzioni in un 3-spazio vettoriale. 

· Carte (o schermi) affini di IP^2(IR): A_0, A_1 e A_2

· La carta affine A_0, cioè dove X_0 è diverso da zero cioè [X_0, X_1, X_2] = [1, x, y], è quella che si identifica canonicamente con il piano cartesiano standard con coordinate affini (x,y) ed esso ha come retta all’infinito la retta che in IP^2(IR) ha equazione omogenea  X_0=0.

  

  

(2 ore)-17/4/2020

ESERCITAZIONE DI PREPARAZIONE AL I ESONERO DA PARTE DEL DOCENTE

Per quanto concerne l’esercitazione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file dell’esercitazione.

II

Settimana 8

(2 ore)-20/4/2020

TEST INTERMEDIO (ARGOMENTI DA SETTIMANA 1 FINO A QUELLI DI LEZIONE DEL 6 APRILE 2020 COMPRESI) - ORE 11:00-13:0

Alla luce dei DPCM su COVID19, l’esonero è stato svolto in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file dello svolgimento.

(2 ore)-22/4/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Flamini su Geometria proiettiva

·  Costruzione formale di spazio proiettivo IP(V) a partire da uno spazio vettoriale V: relazione di proporzionalità e classi di equivalenza.

·  Proiezione canonica da V-{0} a IP(V).

·  IP(V) come proiettivizzazione di V (o spazio proiettivo associato a V)

·  Punti di IP(V)

· Dimensione (proiettiva) di IP(V).

(2 ore)-24/4/2020

Alla luce dei DPCM su COVID19 GLI ESERCIZI TUTORATO SVOLTI DALLA TUTRICE Dott.ssa G. Iezzi SONO CARICATI ON-LINE QUI SOTTO


Esercizi svolti dalla Tutrice - Tutorato del 24 Aprile 2020

 

Il docente ha inoltre caricato il file PDF degli esercizi svolti su MICROSOFT TEAMS

II

Settimana 9

(2 ore)- 27/4/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Flamini su Geometria proiettiva

·  Spazio proiettivo numerico IP^n(IR) = IP(IR^{n+1})

·  Coordinate omogenee [X_0, …, X_n] in IP^n(IR).

· Carte affini   A_0,….,A_n di IP^n(IR)

· {X_i = 0} è un iperpiano (proiettivo) in IP^n(IR), che si chiama iperpiano improprio od all’infinito per la carta affine A_i, per ogni i = 0,…,n

· Paragrafo 13.4: IP^n(IR) come “compattificazione” di IR^n

· Modelli geometrici di IP^n(IR): relazione di antipodalità sulla ipersfera unitaria S^n in IR^{n+1} e legame con IP^n(IR)

· Descrizione esplicita della relazione di antipodalità  nel caso n=1 e n=2

  

  

(2 ore)- 29/4/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Flamini su Geometria proiettiva

· Sottospazi proiettivi in IP^n(IR)

· equazioni omogenee come uniche equazioni atte a descrivere luoghi ben definiti in IP^n(IR).

· Codimensione di sottospazi proiettivi.

· Traccia di sottospazi proiettivi nelle carte affini fondamentali A_0,….,A_n di IP^n(IR)

· Completamento proiettivo in IP^n(IR) di luoghi geometrici lineari nello spazio cartesiano IR^n, identificato con la carta affine A_0. 

· rette del piano proiettivo IP^2(IR), le loro equazioni omogenee e la loro traccia nei tre schermi affini A_0 A_1 e A_2

· rette della carta affine standard A_0 = IR^2 e loro completamenti (o chiusure) proiettivi;

· punti impropri di rette affini in A_0=IR^2;

· la nozione di parallelismo scompare in ambito proiettivo.

  

  

(2 ore)- 1/5/2020

FESTA DEL LAVORO

II

Settimana 10

(2 ore)- 4/5/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Picardello-Zsido Parag. 13.5 (revisionato)

Trasformazioni proiettive o proiettività

· Gruppo lineare GL_n(IR) come gruppo di trasformazioni (automorfismi) dello spazio vettoriale IR^n

· Gruppo proiettivo lineare PGL_n(IR) su IP^{n-1}(IR): gruppo delle proiettività o delle trasformazioni proiettive di IP^{n-1}(IR)

· Punti fissi di una proiettività

· Luoghi fissi (o stabili) di una proiettività e luoghi di punti fissi di una proiettività 

  

  

(2 ore)- 6/5/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Picardello-Zsido Parag. 14.1 (revisionato)

· Proiettività di IP^n(IR) che fissano la carta affine A_0 (e dunque fissano anche l’iperpiano all’infinito {X_0 = 0} della carta affine A_0) come luoghi fissi (o stabili)

· Trasformazioni dello spazio cartesiano IR^n indotte dalle proiettività che fissano la carta affine A_0:

(i)               Trasformazioni affini (od affinità)  di IR^n

(ii)             Trasformazioni euclidee (od isometrie) di IR^n

Dispense Flamini su Isometrie ed affinità notevoli

· Alcune isometrie od affinità notevoli in IR^2:

(i) traslazioni di passo dato P = (p_1 , p_2),

(ii) rotazioni di centro l'origine O= (0,0) ed angolo dato t

· Loro rappresentazioni matriciali.

  

  

(2 ore)- 8/5/2020

Alla luce dei DPCM su COVID19 GLI ESERCIZI TUTORATO SVOLTI DALLA TUTRICE Dott.ssa G. Iezzi SONO CARICATI ON-LINE QUI SOTTO


Esercizi svolti dalla Tutrice - Tutorato del 8 Maggio 2020

 

Il docente ha inoltre caricato il file PDF degli esercizi svolti su MICROSOFT TEAMS

II

Settimana 11

(2 ore)-11/5/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Flamini su Isometrie ed affinità notevoli

(iii) rotazioni di centro un punto qualsiasi P = (p_1, p_2) ed angolo dato t,

(iv) simmetrie rispetto all'origine O = (0,0) e simmetrie rispetto ad un punto qualsiasi P = (p_1, p_2)

(v) simmetrie rispetto ad una retta l di equazione cartesiana ax + by + c =0. 

(vi) Dilatazioni lineari

(vii) Deformazioni lineari (o shears)

·   Loro rappresentazioni matriciali.  

· Trasformati di luoghi geometrici del piano cartesiano IR^2

  

  

(2 ore)-13/5/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Flamini su Isometrie ed affinità notevoli

· Alcune isometrie od affinità notevoli in IR^3:

(i) traslazioni di passo dato P = (p_1 , p_2, p_3) 

(ii) Rotazioni in IR^3 attorno ad una retta vettoriale x = s v e di angolo dato t: utilizzo dei cambiamenti di base ortonormali e congruenza

(iii) Rotazioni in IR^3 attorno ad una retta orientata qualsiasi x = p + s v e di angolo dato t: utilizzo del caso x = sv  e traslazioni

(iv) simmetrie rispetto all'origine O= (0,0,0) e ad un punto arbitrario P = (p_1 , p_2, p_3) 

· Loro rappresentazioni matriciali.

  

  

(2 ore)-15/5/2020

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Esercizi svolti dalla Tutrice - Tutorato del 15 Maggio 2020

 

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II

Settimana 12

(2 ore)-18/5/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Flamini su Isometrie ed affinità notevoli

· Ulteriori isometrie notevoli in IR^3:

(i) simmetrie rispetto ad una retta arbitraria x = p + s v.

(iv) simmetrie rispetto ad un piano arbitrario di equazione cartesiana ax+by+cz+d=0.

· Loro rappresentazioni matriciali.

· Alcune affinità (non isometrie) notevoli in IR^3: 

(i) Dilatazioni lineari

(ii) Deformazioni lineari (o shears).

· Loro rappresentazioni matriciali. 

· Trasformati di alcuni luoghi geometrici notevoli del piano e dello spazio cartesiano

· Punti fissi di un’affinità (di un’isometria) di IR^2 o di IR^3.

· Luoghi fissi di un’affinità (di un’isometria) e luoghi di punti fissi un’affinità (di un’isometria)

  

  

(2 ore)-20/5/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Picardello-Zsido Paragrafo 14.5

· Spostamento di una macchina da ripresa

· Angoli di Eulero

Dispense Picardello-Zsido Paragrafo 15.1

· Espressioni di rotazioni in IR^3 in forma assiale (senza uso di coordinate o matrici)

  

  

(2 ore)-22/5/2020

Alla luce dei DPCM su COVID19 GLI ESERCIZI TUTORATO SVOLTI DALLA TUTRICE Dott.ssa G. Iezzi SONO CARICATI ON-LINE QUI SOTTO


Esercizi svolti dalla Tutrice - Tutorato del 22 Maggio 2020

 

Il docente ha inoltre caricato il file PDF degli esercizi svolti su MICROSOFT TEAMS

II  

Settimana 13

(2 ore)- 25/5/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Picardello-Zsido Capitolo 15

· Rotazioni in IR^2 attorno all’origine e numeri complessi di modulo unitario

· Quaternioni. Definizioni e prime proprietà. Addizione, moltiplicazione, coniugato, norma, inverso.

· I quaternioni hanno una struttura di spazio vettoriale reale di dimensione 4, con base i, j, k, 1.

· I quaternioni hanno una struttura di corpo

· Quaternioni immaginari puri: costituiscono un sottospazio vettoriale isomorfo allo spazio vettoriale IR^3 euclideo standard

· Quaternioni immaginari puri identificati con i punti dello spazio cartesiano IR^3.

  

  

(2 ore)-27/5/2020

Per quanto concerne la lezione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, la lezione di oggi verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della lezione.

Dispense Picardello Capitolo 15

· Quaternioni unitari: caratterizzazione.

· Coniugazione di quaternioni e rotazioni in IR^3 attorno a rette vettoriali orientate

· Composizione di due rotazioni di assi vettoriali orientati dati e moltiplicazione di quaternioni

  

  

(2 ore)-29/5/2020

ESERCITAZIONE DI PREPARAZIONE AL II ESONERO DA PARTE DEL DOCENTE

Per quanto concerne l’esercitazione di oggi, alla luce dei DPCM su COVID19, essa verra' impartita in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file della esercitazione.

II

Settimana 14

(2 ore)-1/6/2020

PONTE DEL 2 GIUGNO

  

  

(2 ore)-3/6/2020

TEST INTERMEDIO (ARGOMENTI DA SETTIMANA 6 - Lezione 8/4/2020- A SETTIMANA 13) - ORE 11:00-13:00

Alla luce dei DPCM su COVID19, l’esonero è stato svolto in modalità TELEMATICA attraverso MICROSOFT TEAMS (indicazioni di ateneo) in cui il docente ha caricato il file dello svolgimento.

  

  

CORSO FINITO