Corso di Geometria – I Modulo

Scienza e Tecnologia dei Media

I semestre - A.A. 2019-2020


Docente: Prof. Flaminio Flamini  e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it

Co-docente: da definire

Orario Lezioni ed Esercitazioni: (vedere specifiche nella tabella sottostante)

Martedì, Mercoledì/ ore: 09:00 – 11:00 / Aula 5PP2

Venerdì/ ore: 11:40 – 13:30 / Aula 5PP2

 

Ricevimento Studenti Prof. Flamini. Martedì 15:00-17:00 - studio 1116 – Dipartimento di Matematica (Piano 1 – dente 1) – inviare una e-mail qualche giorno prima.

 

Diario giornaliero delle lezioni e delle esercitazioni

SEMESTRE

SETTIMANA

  LEZIONE

ARGOMENTI

I

Settimana 1

 (2 ore)-01/10/2019

· Presentazione del corso, del materiale didattico e dei metodi di valutazione (Esoneri, Pre-appello, Appelli)

Dispense Marini

· Revisione dei sistemi lineari in una indeterminata: condizioni necessarie e sufficienti per esistenza di soluzioni in IR e “numero” di soluzioni”

· Revisione dei sistemi lineri in due indeterminate: condizioni necessarie e sufficienti per esistenza di soluzioni in  IR^2 e “numero” di soluzioni”

· Sistemi lineari di m equazioni in n indeterminate = SL(m,n;IR).

· Sistemi lineari omogenei associati = SLO(m,n;IR).

· Soluzioni di un SL(m,n;IR).

· Sistemi lineari compatibili ed incompatibili.

· Un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile.

· Esercizi ed esempi

  

  

 (2 ore)-02/10/2019

Dispense Marini

· Sistemi lineari equivalenti (relazione di equivalenza). Significati geometrici.

· Classe di equivalenza di sistemi lineari

· Combinazione lineare delle righe di un SL(m,n;IR)

· Operazioni elementari sulle equazioni di un SL(m,n;IR) e sistemi equivalenti

· Matrici mxn = m righe e n colonne

· Operazioni elementari sulle righe di una matrice rettangolare mxn

· Matrice dei coefficienti e matrice completa associate ad un SL(m,n;IR)

· Matrici quadrate. Diagonale principale di una matrice quadrata.

· Matrici quadrate particolari: matrice triangolare superiore (inferiore), matrice diagonale, la matrice identità.

· Esercizi ed esempi

  

  

 (2 ore)-04/10/2019

Dispense Marini

· Matrici a scala (o a gradini) superiore.

· Pivots di una matrice a scala (o a gradini) superiore

· Sistemi lineari a scala (o a gradini) superiore:  metodo di risoluzione a ritroso

· Algoritmo di riduzione a scala superiore (o dell'Eliminazione di Gauss) di una matrice rettangolare qualsiasi

· Applicazione alla compatibilità dei SL(m,n): CNES per la compatibilità di un SL(m,n) e determinazione del numero di parametri liberi da cui dipendono le soluzioni del sistema dato attraverso i pivots

· Esercizi riepilogativi di settimana I proposti agli studenti: FOGLIO 1 sul sito web

I

Settimana 2

(2 ore)- 08/10/2019

Dispense Marini

· Operazioni tra matrici: addizione tra matrici mxn e moltiplicazione di una matrice mxn per uno scalare.

· Elemento NEUTRO per l'addizione di matrici (Matrice Nulla); opposta di una matrice

· Prodotto riga per colonna tra matrici: compatibilità del prodotto

· Matrice riga. Matrice colonna = n-upla = vettore

· Non commutatività del prodotto (quando compatibile)

· Esistenza di zero-divisori per il prodotto (quando compatibile)

· Elemento NEUTRO SINISTRO e DESTRO per la moltiplicazione con matrici rettangolari.

· Se A è una matrice quadrata nxn, l'elemento Neutro Destro e Sinistro coincidono (con la matrice identità I(n))

· I Applicazione di prodotto righe per colonne: scrittura di sistemi lineari SL(m,n;IR) con notazione di prodotto matriciale.

· Sostituzione di indeterminate per mezzo di prodotto righe per colonne

· Esercizi ed esempi

  

  

(2 ore)- 09/10/2019

Dispense Marini

· II Applicazione del prodotto righe per colonne: Teorema di struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare compatibile.

· III Applicazione del prodotto righe per colonne: scrittura di operazioni elementari tra le righe per mezzo di prodotti a sinistra con matrici elementari

· Trasposta di una matrice. Proprietà dell'operazione di trasposizione.

· Matrici quadrate simmetriche ed antisimmetriche.

· Decomposizione unica di una qualsiasi matrice quadrata in parte simmetrica e parte antisimmetrica.

· Esercizi ed esempi

  

  

(2 ore)- 12/10/2018

· ESERCITAZIONI DI RIEPILOGO - PROFESSOR FLAMINI (ORE EXTRA)

· Esercizi riepilogativi di settimana II proposti agli studenti: FOGLIO 2 sul sito web

I

Settimana 3

(2 ore)-15/10/2019

Dispense Marini

· Matrici (quadrate) invertibili.

· Se A invertibile, l’inversa della matrice A è univocamente determinata.

· Un SL(n,n; IR) con matrice A dei coefficienti invertibile è sempre compatibile e con unica soluzione (senza utilizzare Eliminazione di Gauss).

· Condizione sufficiente per l’invertibilità di una matrice A in termini di SL(n,n; IR) compatibili.

· Calcolo dell’inversa per mezzo dei sistemi lineari

· Esercizi ed esempi

  

  

 (2 ore)-16/10/2019

Dispense Marini

· Determinante di matrici 1x1, 2x2 e 3x3 (metodo di Sarrus).

· Sviluppo del determinante secondo la regola di Laplace: sviluppo rispetto ad una riga o rispetto ad una colonna.

· Determinante della trasposta di una matrice

· Prime proprietà elementari del determinante: scambio di righe o colonne e segno del determinante.

· Conseguenze: se A ha una riga (oppure una colonna) nulla oppure due righe (oppure due colonne) uguali, allora det(A) = 0

· Conseguenze: det e’ una funzione lineare nelle righe di A

· Conseguenze: se una matrice A ha due righe (oppure due colonne) proporzionali, allora det(A) = 0

· Conseguenze: det (k A) = k^n det(A), se k scalare e A matrice quadrata di ordine n

· Esercizi ed esempi

  

  

(2 ore)-18/10/2019

Dispense Marini

· Conseguenze: se ad una matrice A si sostituisce una riga R_i con la riga R_i più combinazione lineare delle altre righe, il determinante non cambia

· Conseguenze: se una matrice A ha una riga che e’ combinazione lineare delle altre, allora det (A) =0

· Determinante e trasformazioni elementari tra le righe

· Determinante di una matrice triangolare superiore.

· CNES affinchè una matrice triangolare superiore T sia a determinante nullo. Interpretazione con compatibilità o numero di soluzioni che ogni sistema lineare, avente T come matirce dei coefficienti.

· Teorema di Binet (solo enunciato)

· Conseguenza 1: Determinante e trasformazioni elementari tra le righe con utilizzo di matrici Elementari e Teorema di Binet

· Conseguenza 2: A invertibile SE E SOLO SE det(A) diverso da zero

· Conseguenza 3: se A invertibile, allora det(A^-1) = 1/det(A)

· Esercizi ed esempi

I

Settimana 4

 (2 ore)-22/10/2019

Dispense Marini

Calcolo dell'inversa senza utilizzo di sistemi lineari

· Matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici) di A

· Matrice aggiunta A* di A (trasposta della matrice dei cofattori di A)

· Calcolo dell’inversa di una matrice A per mezzo della matrice aggiunta A* (Teorema 6.1 delle dispense)

· Risoluzione del SL(n,n;IR)   Ax = b con A invertibile: l’unica soluzione è  x = A^{-1} b, oppure con Metodo di Cramer (Teorema 7.4 delle dispense) 

· Esercizi ed esempi

  

  

 (2 ore)-23/10/2019

· ESERCITAZIONI DI RIEPILOGO - PROFESSOR FLAMINI (ORE EXTRA)

  

  

 (2 ore)-25/10/2019

NO LEZIONE (Partecipazione del docente ad una conferenza dipartimentale)

· Esercizi riepilogativi di settimana IV proposti agli studenti: FOGLIO 3 sul sito web

I

Settimana 5

(2 ore)-29/10/2019

Dispense Marini

· Spazi vettoriali reali: assiomi.

· Vettori geometrici (applicati nell’origine): vettore nullo, somma (regola del parallelogramma), vettore opposto, differenza di due vettori, multipli di un vettore, combinazione lineare di vettori geometrici.

· Esempi di spazi vettoriali reali:

  1. IR^n, con n >= 1
  2. M(m,n;IR),
  3. polinomi IR[x],
  4. polinomi IR[x] con grado limitato d = IR[X]_{<= d}
  5. funzioni da un dominio I a valori in IR,
  6. successioni di numeri reali

· Sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale: sottospazi banali

· Esempi:

  1. sottoinsieme in IR^n delle soluzioni di un SLO(m,n;IR),  Ax = 0,
  2. esempi geometrici: piani e rette passanti per l’origine di IR^3.
  3. Esempi di alcuni sottospazi dello spazio vettoriale delle matrici M(n,n;IR): sottospazio delle matrici triangolari superiori ed inferiori, sottospazio delle matrici diagonali, sottospazio delle matrici simmetriche, sottospazio delle matrici antisimmetriche

· Controesempi: circonferenze, sfere, sottoinsieme in IR^n delle soluzioni di un SL(m,n;IR),  Ax = b, eccetera

· Esercizi ed esempi

  

  

 (2 ore)-30/10/2019

Dispense Marini

· Combinazione lineare di vettori in V.

· Vettori linearmente indipendenti e vettori linearmente dipendenti. Significati geometrici

· Sistemi liberi (od indipendenti) di k vettori in V. Significato geometrico

· Se S è un sottoinsieme di vettori di uno spazio vettoriale V, Span(S) ha sempre una struttura di sottospazio vettoriale di V

· Sistema di generatori per uno spazio vettoriale V

· Spazi vettoriali finitamente generati.

· Esempi e controesempi

  

  

 (2 ore)-01/11/2019

PONTE 1 NOVEMBRE UNIVERSITA' CHIUSA

· Esercizi riepilogativi di settimana V proposti agli studenti : FOGLIO 4 sul sito web

I

Settimana 6

(2 ore)-05/11/2019

Dispense Marini

· Basi di uno spazio vettoriale finitamente generato

· Base canonica dello spazio vettoriale IR^n.

· Esempi: ulteriori basi (non canoniche) di IR^2; sistemi di generatori di IR^2 che NON SONO BASI (quindi non liberi); sistemi liberi in IR^2 che NON SONO BASI (quindi non sistema di generatori)

· Coordinate di un vettore v di uno spazio vettoriale V rispetto ad una base fissata.

· Esempi di cambiamenti di coordinate rispetto a due basi differenti di uno spazio vettoriale

· Teorema di estrazione di una base (finita) da un sistema finito di generatori di V e Algoritmo di estrazione di una base

· Teorema di estensione (o completamento) di un sistema libero finito di V ad una base finita di V e Algoritmo di estensione ad una base

· La cardinalità delle basi di uno spazio vettoriale V è costante

· DIMENSIONE di uno spazio vettoriale V f.g.: è una buona definizione

· Esercizi ed esempi

  

  

 

(2 ore)-06/11/2019

Dispense Marini

· Dimensione e basi canoniche degli spazi vettoriali:

(i)                 IR^n,

(ii)               M(m,n;IR),

(iii)             IR[X]_{<= d},

(iv)             Sym(2,2;IR),

(v)              Sym(3,3;IR), 

(vi)             Antisym(2,2;IR),

(vii)           Antisym(3,3;IR).

· Minori di ordine k di una matrice A rettangolare mxn.

· Il rango di A ridotta a scala coincide con il numero di pivots di A

· Rango di A: numero massimo di righe (o colonne) indipendenti di A.

· Rango di A: e' una nozione invariante rispetto alla Eliminazione di Gauss

· Strategie per il calcolo del rango di A senza utilizzare l'Eliminazione di Gauss: Teorema degli orlati o di Kronecher (solo enunciato)

· Commento al Teorema egli orlati di Kronecher: limita le verifiche da fare per il calcolo del rango di una matrice, a partire da una sottomatrice invertibile fissata

· Applicazioni del calcolo del rango:

  1. calcolo della dimensione di un sottospazio di IR^n generato da colonne di una matrice A ed individuazione di una base del sottospazio generato
  2. calcolo del numero massimo di equazioni indipendenti di un SLO, i cui coefficienti sono le righe di una matrice A, che definiscono un sottospazio vettoriale in IR^n

· Esercizi ed esempi

  

  

(2 ore)-08/11/2019

· ESERCIZI DI RIEPILOGO - CODOCENTE AL CORSO

· Esercizi riepilogativi di settimana VI proposti agli studenti : FOGLIO 5 sul sito web

I

Settimana 7

(2 ore)-12/11/2019

Dispense Marini

· Se U e W sottospazi di V, U ^ W  è un sottospazio di V detto sottospazio intersezione. Esso è sottospazio sia di U che di W.

· Se U e W sottospazi di V, U+W è un sottospazio di V detto sottospazio somma Esso è il più piccolo sottospazio di V che contiene l'unione di U e di  W.

· U+W = Span {b_U , b_W}, ove b_U è una base di U e b_W è una base di W

·  {b_U , b_W}, non è in generale una base di U+W

· Formula di Grassmann. dim (U+W) = dim (U) + dim (W) - dim (UnW)

· Significati geometrici

· Somma diretta di sottospazi U (+) W

· Significato geometrico della somma diretta = unicità delle scritture.

· Se V = U (+) W, allora U si dice sottospazio supplementare di W (equiv. W è sottospazio supplementare a U)

(2 ore)–13/11/2019

Dispense Marini

· Codimensione di un sottospazio W in uno spazio vettoriale  V, codim(W,V) := dim(V)-dim(W).

· Equazioni parametriche di un sottospazio proprio W di V rispetto ad una base di V.

· Numero di parametri presenti nelle equazioni parametriche che definiscono W  = dim (W)

· Equazioni cartesiane di un sottospazio proprio W di V rispetto ad una base di V.

· Numero di equazioni cartesiane che servono per definire W  = codim(W,V) 

· Passaggio da equazioni cartesiane ad equazioni parametriche =  risolvere il SLO(m,n;IR) dato dalle equazioni cartesiane che definiscono W rispetto ad un sistema di coordinate (x_1, ....x_n) dato da una base di V.

· Passaggio da equazioni parametriche ad equazioni cartesiane = liberare dai parametri liberi per individuare un SLO(m,n;IR) che fornisce equazioni cartesiane di W.

· Utilizzo del Teorema di Kronecher per la determinazione di equazioni cartesiane da equazioni parametriche.

· Esempi ed esercizi.

· Esercizi riepilogativi di settimana VII proposti agli studenti : FOGLIO 6 sul sito web

(2 ore)–15/11/2019

· ESERCITAZIONI DI PREPARAZIONE AL I ESONERO - CODOCENTE AL CORSO

I

Settimana 8

(2 ore)-19/11/2019

ESONERO IN AULA 5PP2– ore 9-11 (file PDF su sito web) – Argomenti esonero: fino a Settimana 7

  

  

(2 ore)-20/11/2019

Dispense Marini

· Numeri complessi C: motivazioni e costruzione.

· Unità immaginaria: i^2 = -1

· Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso.

· Numeri complessi immaginari puri.  IR < C  

· C ha una struttura di IR-spazio vettoriale di dimensione 2    ----->  C su IR è lo Span{1, i }, dove 1 e i IR-linearmente indipendenti.

· Piano di Argand-Gauss. Asse reale ed asse immaginario

· IR < C   come inclusione di sottospazi (IR si identifica all’asse reale del piano di Argand-Gauss).

· Moltiplicazione tra numeri complessi. Estende in modo naturale il prodotto in IR

· (C +, x) è un anello commutativo unitario.

· Coniugio in C: significato geometrico nel piano di Argand-Gauss.

· Il coniugio e’ una biiezione involutoria di C

· Norma di un numero complesso.

· Inverso di un numero complesso non nullo.

· C è un campo.

· Modulo e argomento di un numero complesso.

· Un numero complesso di modulo r si trova, nel piano di Argand-Gauss, sulla circonferenza di centro (0,0) e raggio r 

· Rappresentazione polare ed esponenziale dei numeri complessi. 

· Esempi ed esercizi.

  

  

(2 ore)-22/11/2019

Dispense Marini

· Prodotti di numeri complessi in forma polare

· Prodotti di numeri complessi in forma esponenziale

· Potenze di un numero complesso in forma polare. 

· Potenze di un numero complesso in forma esponenziale

· Formule di De Moivre.

· Radici n-esime di un numero complesso.

· Teorema fondamentale dell’Algebra (solo enunciato)

· C ha una struttura di C-spazio vettoriale di dimensione 1.   -----> C su C e' lo Span{1}, dove 1 e i sono C-linearmente dipendenti

· Cenni a spazi vettoriali su C

· Esempi ed esercizi.

· Esercizi riepilogativi di settimana VIII proposti agli studenti: FOGLIO 7 sul sito web

I

Settimana 9

(2 ore)-26/11/2019

Dispense Marini

· Applicazioni lineari L:V----> W tra spazi vettoriali.

· Applicazione lineare L(A) associata ad una matrice A in M(m,n;IR).

· Nucleo di un'applicazione lineare (Ker(L)):  è sottospazio vettoriale di V. Inoltre Ker(L) è l’insieme delle controimmagini mediante L del vettore nullo di W.

· Immagine di un'applicazione lineare (Im(L)): è sottospazio di W

· Per l'applicazione lineare L(A): IR^n ----> IR^m, individuata da una matrice A mxn, si ha che:

           (i) Im(L(A)) = Span{colonne di A} e quindi  dim (Im(L(A))) = rg(A)

           (ii) Ker(L(A)) = {sottospazio di IR^n formato delle soluzioni del SLO  Ax = 0} e quindi dim(Ker(L(A))) = n-rg(A)

· Iniettività e suriettività di un’applicazione lineare L:V ----> W in termini delle dimensioni di Ker(L) e Im(L).

· Rango di un’applicazione lineare L.

· Teorema di Nullità più Rango (Prop. 12.13).

· Esempi ed esercizi.

  

  

(2 ore)-27/11/2019

Dispense Marini

· Isomorfismi tra spazi vettoriali di stessa dimensione. Spazi vettoriali isomorfi.

· Endomorfismi ed Automorfismi  di uno spazio vettoriale V.

· CNES affinchè un endomorfismo L_A, individuato da una matrice quadrata A nxn, sia un automorfismo di IR^n

· Applicazione lineare c_b :V-----> IR^n = associazione coordinate dei vettori di uno spazio V di dimensione n rispetto ad una base b fissata. c_b è un isomorfismo.

· Matrice A mxn rappresentativa, nelle basi canoniche rispettive, di un’applicazione lineare L:  IR^n ----> IR^m, calcolo di L=L(A)

· Corrispondenza biunivoca tra matrici mxn ed applicazioni lineari IR^n ----->  IR^m.

· Per b vettore di  IR^m, risolvere A x = b, ove A matrice mxn, vuol dire determinare l’insieme delle controimmagini di  b mediante L(A)

· Teorema di Rouché-Capelli: rilettura di compatibilità di A x = b con  b nell’Im(L(A))

· Teorema di Rouché-Capelli:  teorema di struttra per  A x = b in funzione di dim (Ker(L(A))

· Esempi ed esercizi.

  

  

(2 ore)-29/11/2019

· ESERCIZI DI RIEPILOGO - CODOCENTE AL CORSO

· Esercizi riepilogativi di settimana IX proposti agli studenti: FOGLIO 8 sul sito web

  

Settimana 10

(2 ore)-03/12/2019

Dispense Marini

· Composizione di L:V----> W e M: W---->  U, è l’applicazione lineare M L: V----->  U

· Prodotto righe per colonne tra matrici, riletto come composizione di applicazioni lineari: L(A) L(B) = L(AB)

· Operatori (od endomorfismi) su uno spazio vettoriale V.

· Autovalori di un operatore L:V ----> V

· Autovettori di un operatore L:V ----> V

· Autospazi di un operatore L:V ----> V

· Spettro (in C) di un operatore L:V ----> V ed insieme degli autovalori (in IR) di L

· Un autovettore di un operatore L:V ----> V e' autovettore per un unico autovalore

· Autovettori di un operatore L:V ----> V relativi ad autovalori distinti sono vettori linearmente indipendenti di V

· Esempi ed esercizi.

  

  

(2 ore)-04/12/2019

Dispense Marini

· La somma di autospazi di un operatore L:V -----> V relativi ad autovalori distinti è una somma diretta.

· Caso degli operatori (od endomorfismi) di IR^n dati da L(A), con A matrice quadrata nxn

· Polinomio caratteristico di L(A)

· Calcolo dello Spettro (in C) di L(A)  per mezzo del polinomio caratteristico di L(A)

· Calcolo di autovalori di  L(A)

· Calcolo di autospazi di L(A) 

· Traccia e determinante di A (equivalentemente di L(A)). Coefficienti del polinomio caratteristico di L(A)

· Esempi ed esercizi.

  

  

(2 ore)-06/12/2019

Dispense Marini

· Paragrafo 14 e Pagine 96-97 di Approfondimenti

· A = M_{b,c}(L) = Matrice rappresentativa di un’applicazione lineare L: V--->W rappresentata nelle basi b di V e c di W (Def. 14.2 e Oss. 14.5, 14.6)

· Proprietà invarianti delle varie matrici M_{b,c}(L), al variare di b tra le basi di V e di c tra le basi di W

· Rango di L = dim (Im L) = rango della della matrice M_{b,c}(L), per ogni scelta di b base di V e c base di W

· M_{b,c} = Matrice cambiamento di base su uno spazio vettoriale V = la i-esima colonna di M_{b,c} è la colonna delle coordinate dell’i-esimo vettore della base c espresso in coordinate rispetto alla base b di V

· Formula cambiamento delle coordinate: x = Cy e  y = C^{-1}x , ove C = M_{b,c}, y le coordinate di un vettore rispetto a c e x le coordinate del medesimo vettore rispetto alla base b (Prop. 15.4, 15.7)

· Esercizi ed esempi

· Esercizi riepilogativi di settimana X proposti agli studenti: FOGLIO 9 sul sito web

I

Settimana 11

(2 ore)-10/12/2019

Dispense Marini

· L applicazione lineare  L: V ---> W. Se e ed f sono due basi di V, se b ed c sono due basi di W, siano C = M_{e,f} in V e B = M_{b,c} matrice cambiamento di base in W. Allora M_{c,f}(L) = M_{c,b}  M_{b,e}(L)  M_{e,f} = = M_{b,c}^{-1}  M_{b,e}(L)  M_{e,f} = B^{-1} M_{e,e}(L) C (Prop. 15.6)

· Caso Particolare: L operatore (o endomorfismo) su V. Se e ed f sono due basi di V e se C = M_{e,f} matrice cambiamento di base in V, allora M_{f,f}(L) = C^{-1}  M_{e,e}(L)  C (Prop. 15.8)

· Matrici coniugate o simili: relazione di coniugio o di similitudine.

· Quindi, due matrici quadrate rappresentano lo stesso operatore L in basi diverse e ed f per V se e solo se le due matrici rappresentative M_{e,e}(L) e M_{f,f}(L) sono fra di loro CONIUGATE (equiv. SIMILI).

· La similitudine avviene mediante la matrice invertibile C = M_{e,f} matrice cambiamento di base.

· La similitudine è una relazione di equivalenza

· Il polinomio caratteristico di M_{e,e}(L)  e' invariante per coniugio di matrici, i.e. è lo stesso di M_{f,f}(L) per ogni altra base  f di V

· Conseguenze: sono definizioni intrinseche polinomio caratteristico di un operatore L, spettro di un operatore L, traccia di un operatore L, determinante di un operatore L, ecc.

· Esercizi ed esempi

  

  

(2 ore)- 11/12/2019

Dispense Marini

· Paragrafo 15: Problema della diagonalizzabilità.

· Operatori diagonalizzabili su uno spazio vettoriale V.

· Basi diagonalizzanti d per un operatore L: sono basi costituite da autovettori dell'operatore L.

· La matrice M_{d,d}(L), rappresentativa di un operatore L in una base diagonalizzante d, è diagonale e sulla diagonale principale appaiono tutti gli autovalori (equivalentemente gli elementi reali dello spettro) di L. In particolare lo spettro di L è necessariamente tutto reale.

· Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore di un operatore L

· La molteplicità geometrica di un autovalore e' minore od uguale alla molteplicità algebrica di quell'autovalore (Teorema 13.7)

· CNES di diagonalizzabilità di un operatore L in termini dello Spettro di L e delle molteplicità algebriche e geometriche dei suoi autovalori.

· Esercizi ed esempi

· Esercizi riepilogativi di settimana IX proposti agli studenti: FOGLIO 10 sul sito web

  

  

(2 ore)-13/12/2019

LEZIONE ANNULLATA CAUSA ALLERTA METEO

E-MAIL UFFICIALE DEL RETTORE

Date: Thu, 12 Dec 2019 23:09:19 +0100

From: Rettore <rettore-noreply@uniroma2.it>

To: <Undisclosed-Recipient:;>

Subject: Sospensione attività didattica venerdì 13 dicembre 2019

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A seguito dell'allerta meteo diramata dalla Protezione Civile della Regione Lazio si dispone per l?intera giornata del 13 dicembre 2019 la sospensione dell'attività didattica, incluso lo svolgimento delle prove di esame, delle sessioni di laurea e l'accesso alle biblioteche, fermo restando il regolare svolgimento delle attività amministrative.

IL RETTORE

Prof. Orazio Schillaci

Vedasi anche al sito web https://web.uniroma2.it/module/name/Content/newlang/italiano/navpath/HOM/action/showpage/content_id/79079

Dispense Marini

· Diagonalizzabilità nel caso particolare di n autovalori semplici.

· Se A è una matrice diagonalizzabile, allora

      * Tr(A) = somma degli autovalori di A,

      * det(A) = prodotto degli autovalori

· Potenza n-esima di una matrice diagonalizzabile.

· Esercizi su operatori non diagonalizzabili perchè privi di autovalori, i.e. con spettro immaginario non reale.

· Esercizi su operatori non diagonalizzabili con spettro reale, ma che non forniscono una base di autovettori

· Esempi di operatori diagonalizzabili

· Cenni di diagonalizzazione di un operatore su C-spazi vettoriali.

I

Settimana 12

(2 ore)-17/12/2019

Dispense Flamini

· Prodotti scalari su spazi vettoriali. Spazi vettoriali euclidei.

· Esempi: prodotto scalare standard in IR^n, ulteriori prodotti scalari su IR^n, prodotti scalari tra polinomi o funzioni (uso dell'integrale)

· Prodotti scalari rispetto a basi di V e matrici simmetriche.

· Norma ||v|| di un vettore v di uno spazio vettoriale euclideo V.

· Versori. Versorizzazione di un vettore.

· Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz e diseguaglianza triangolare.

· Coseno dell'angolo convesso tra due vettori.

· Vettori ortogonali.

· Esercizi ed esempi

  

  

(2 ore)-18/12/2019

Dispense Flamini

· Sistemi di vettori ortogonali di uno spazio vettoriale euclideo V.

· Basi ortogonali e basi ortonormali di uno spazio vettoriale euclideo V.

· Proiezione < , > - ortogonale di un vettore v su Span(w).

· Procedimento di ortonormalizzazione e di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

· Esistenza di basi ortogonali (ortonormali) di uno spazio vettoriale euclideo.

· Esempi ed esercizi

· Esercizi riepilogativi di settimana XII proposti agli studenti: FOGLIO 11 sul sito web

  

  

(2ore)-20/12/2019

· ESERCIZI DI RIEPILOGO - CODOCENTE AL CORSO

I

Settimana 13

(2 ore)- 07/01/2020

Dispense Flamini

· Sottospazio ortogonale ad un sottoinsieme S di  uno spazio vettoriale euclideo V.

· Complemento ortogonale di un sottospazio W in uno spazio vettoriale euclideo V.

· Somma diretta ortogonale di un sottospazio con il suo complemento ortogonale.

· dim (W ortogonale) = codim(W,V)

· (Un) vettore normale ad un iperpiano W di IR^n (munito di prodotto scalare standard): coefficienti dell'equazione di W.

· Proiettori ortogonali p_W su un sottospazio W. Sono endomorfismi di V.

· L'immagine di p_W e' W ed il nucleo di p_W e' il complemento ortogonale di W

· Esempi ed esercizi.

· Esempi ed esercizi

  

  

(2 ore)-08/01/2020

Dispense Marini

· Applicazioni geometriche del prodotto scalare standard in IR^2 o IR^3

· Aree di parallelogrammi formati da due vettori linearmente indipendenti di IR^2 e formula determinantale.

· Prodotto vettoriale di IR^3: è bilineare, è antisimmetrico.

· Prodotto misto in IR^3: formula determinantale.

· Prodotto vettoriale di IR^3:  se v e w indipendenti, v vettor w e’ un vettore sempre ortogonale  a Span (v,w)

· Norma di v vettor w: significato geometrico.

· Volume di un prisma formato da tre vettori indipendenti in IR^3: formula determinantale e prodotto misto.

· Basi ortonormali positivamente orientate o negativamente orientate di IR^n. Matrici ortogonali speciali e non.

· Calcolo rapido di basi ortonormali e positivamente orientate di IR^3 via prodotto vettoriale.

· Esempi ed esercizi.

· Esercizi riepilogativi di settimana XIV proposti agli studenti: FOGLIO 12 sul sito web

  

  

(2 ore)-10/01/2020

· ESERCIZI DI RIEPILOGO - CODOCENTE AL CORSO

  

Settimana 14

· IN QUESTA SETTIMANA IL CODOCENTE AL CORSO SI ACCORDA CON GLI STUDENTI PER LO SVOLGIMENTO DI UNA ESERCITAZIONE DI PREPARAZIONE AL II ESONERO DA SVOLGERSI NEGLI ORARI DEL CORSO DI GEOMETRIA I MODULO

  

  

  

  

(2 ore)-

  

Settimana 15

(2 ore)-22/01/2020

ESONERO IN AULA 5PP2 – Mercoledì 22 GENNAIO 2020 – ore 9-11 (file PDF su sito web corso) – Argomenti esonero: da Settimana 8 a Settimana 13