Corso di Geometria – I Modulo

Scienza e Tecnologia dei Media

I semestre - A.A. 2018-2019


Docente: Prof. Flaminio Flamini  e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it

Tutore: Valerio Panetta e-mail: valeriopanetta28@[ANTISPAM]gmail.com

Orario Lezioni ed Esercitazioni Docente/Tutorati: Martedì, Mercoledì e Venerdì / ore: 09:00 – 11:00 / Aula T6 (vedere specifiche nella tabella)

Ricevimento Studenti Prof. Flamini. SEMESTRE I: Martedì 16:00-18:00 - studio 1116 – Dipartimento di Matematica (Piano 1 – dente 1) – inviare una e-mail qualche giorno prima. SEMESTRE II: per appuntamento via e-mail

 

Diario giornaliero delle lezioni e delle esercitazioni

SEMESTRE

SETTIMANA

  LEZIONE

ARGOMENTI

I

Settimana 1

 (2 ore)-02/10/2018

· Presentazione del corso, del materiale didattico e dei metodi di valutazione (Esoneri, Pre-appello, Appelli)

Dispense Marini

· Revisione dei sistemi lineari in una indeterminata: condizioni necessarie e sufficienti per esistenza di soluzioni in IR e “numero” di soluzioni”

· Revisione dei sistemi lineri in due indeterminate: condizioni necessarie e sufficienti per esistenza di soluzioni in  IR^2 e “numero” di soluzioni”

· Sistemi lineari di m equazioni in n indeterminate = SL(m,n;IR).

· Sistemi lineari omogenei associati = SLO(m,n;IR).

· Soluzioni di un SL(m,n;IR).

· Sistemi lineari compatibili ed incompatibili.

· Un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile.

· Esercizi ed esempi

  

  

 (2 ore)-03/10/2018

Dispense Marini

· Sistemi lineari equivalenti (relazione di equivalenza). Significati geometrici.

· Classe di equivalenza di sistemi lineari

· Combinazione lineare delle righe di un SL(m,n;IR)

· Operazioni elementari sulle righe di una matrice completa di un SL(m,n;IR) e sistemi equivalenti

· Matrici mxn = m righe e n colonne

· Matrici dei coefficienti e completa associate ad un SL(m,n;IR)

· Matrici quadrate. Diagonale principale di una matrice quadrata.

· Matrici quadrate particolari: matrice triangolare superiore (inferiore), matrice diagonale, la matrice identità.

· Operazioni elementari tra le righe di una matrice mxn

· Esercizi ed esempi

  

  

 (2 ore)-05/10/2018

Dispense Marini

· Matrici a scala (o a gradini).

· Sistemi lineari a scala (o a gradini). Caso particolare con matrice quadrata triangolare superiore

· Metodo di risoluzione a ritroso di un SL(m,n;IR) con matrice dei coefficienti a scala (o a gradini)

· Pivots di una matrice ridotta a scala

· Algoritmo di riduzione a scala (o dell'Eliminazione di Gauss) di un SL(m,n;IR).

· Individuazione di compatibilità ed eventuale risoluzione.

· Esercizi ed esempi

· Esercizi riepilogativi di settimana I proposti agli studenti: FOGLIO 1 sul sito web

I

Settimana 2

(2 ore)- 09/10/2018

Dispense Marini

· Operazioni tra matrici: addizione tra matrici mxn, moltiplicazione di una matrice mxn per uno scalare.

· Elemento NEUTRO per l'addizione di matrici (Matrice Nulla); opposta di una matrice

· Prodotto riga per colonna tra matrici: compatibilità del prodotto

· Non commutatività del prodotto (quando compatibile)

· Esistenza di zero-divisori per il prodotto (quando compatibile)

· I Applicazione di prodotto righe per colonne: scrittura di sistemi lineari SL(m,n;IR) con notazione di prodotto matriciale.

· Sostituzione di indeterminate per mezzo di prodotto righe per colonne

· Esercizi ed esempi

  

  

(2 ore)- 10/10/2018

Dispense Marini

· II Applicazione del prodotto righe per colonne: Teorema di struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare compatibile.

· III Applicazione del prodotto righe per colonne: scrittura di operazioni elementari tra le righe per mezzo di prodotti a sinistra con matrici elementari

· Elemento NEUTRO SINISTRO e DESTRO per la moltiplicazione con matrici rettangolari.

· Se A è quadrata nxn, l'elemento Neutro Destro e Sinistro coincidono (con la matrice identità I(n))

· Trasposta di una matrice.

· Proprietà dell'operazione di trasposizione.

· Matrici quadrate simmetriche ed antisimmetriche.

· Decomposizione di una qualsiasi matrice quadrata in parte simmetrica e parte antisimmetrica.

· Esercizi ed esempi

  

  

(2 ore)- 12/10/2018

· ESERCITAZIONI DI RIEPILOGO PROFESSOR FLAMINI

· Esercizi riepilogativi di settimana II proposti agli studenti: FOGLIO 2 sul sito web

I

Settimana 3

(2 ore)-16/10/2018

Dispense Marini

· Matrici (quadrate) invertibili.

· Se A invertibile, l’inversa della matrice A è univocamente determinata.

· Un SL(n,n; IR) con matrice A dei coefficienti invertibile è sempre compatibile e con unica soluzione (senza utilizzare Eliminazione di Gauss). 

· Condizione sufficiente per l’invertibilità di una matrice A in termini di SL(n,n; IR) compatibili.

· Calcolo dell’inversa per mezzo dei sistemi lineari

· Esercizi ed esempi

  

  

 (2 ore)-17/10/2018

Dispense Marini

· Determinante di matrici 1x1, 2x2 e 3x3 (metodo di Sarrus).

· Sviluppo del determinante secondo la regola di Laplace: sviluppo rispetto ad una riga o rispetto ad una colonna.

· Determinante della trasposta di una matrice

· Prime proprietà elementari del determinante: scambio di righe o colonne e segno del determinante.

· Conseguenze: se A ha una riga (oppure una colonna) nulla oppure due righe (oppure due colonne) uguali, allora det(A) = 0

· Conseguenze: det e’ una funzione lineare nelle righe di A

· Conseguenze: se una matrice A ha due righe (oppure due colonne) proporzionali, allora det(A) = 0

· Conseguenze: det (k A) = k^n det(A), se k scalare e A matrice quadrata di ordine n

· Esercizi ed esempi

  

  

(2 ore)-19/10/2018

Dispense Marini

· Conseguenze: se ad una matrice A si sostituisce una riga R_i con la riga R_i più combinazione lineare delle altre righe, il determinante non cambia

· Conseguenze: se una matrice A ha una riga che e’ combinazione lineare delle altre, allora det (A) =0

· Determinante e trasformazioni elementari tra le righe

· Determinante di una matrice triangolare superiore.

· CNES affinchè una matrice triangolare superiore T sia a determinante nullo. Interpretazione con compatibilità o numero di soluzioni che ogni sistema lineare, avente T come matirce dei coefficienti.

· Teorema di Binet (solo enunciato)

· Conseguenza 1: Determinante e trasformazioni elementari tra le righe con utilizzo di matrici Elementari e Teroema di Binet

· Conseguenza 2: A invertibile implica det(A) diverso da zero

· Conseguenza 3: se A invertibile, det(A^-1) = 1/det(A)

· Esercizi ed esempi

· Esercizi riepilogativi di settimana III proposti agli studenti: FOGLIO 3 sul sito web

I

Settimana 4

 (2 ore)-23/10/2018

Dispense Marini

· A invertibile SE E SOLO SE  det(A) diverso da zero

· Matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici) di A

· Matrice aggiunta A* di A (trasposta della matrice dei cofattori di A)

· Calcolo dell’inversa di una matrice A per mezzo della matrice aggiunta A* (Teorema 6.1 delle dispense)

· Conseguenza 1: risoluzione del SL(n,n;IR)   Ax = b con A invertibile: l’unica soluzione è  x = A^{-1} b

· Ulteriore risoluzione del SL(n,n;IR)   Ax = b con A invertibile: Metodo di Cramer (Teorema 7.4 delle dispense) 

· Esercizi ed esempi

  

  

 (2 ore)-24/10/2018

· ESERCITAZIONI DI RIEPILOGO PROFESSOR FLAMINI

  

  

 (2 ore)-26/10/2018

Dispense Marini

· Vettori geometrici (applicati nell’origine): vettore nullo, somma (regola del parallelogramma), vettore opposto, differenza, multipli di un vettore, combinazione lineare di vettori geometrici.

· Spazi vettoriali reali:  operazioni ed assiomi.

· Esempi di spazi vettoriali reali:

  1. IR^n, con n >= 1
  2. M(m,n;IR),
  3. Sottoinsieme in IR^n delle soluzioni di un SLO(m,n;IR),  Ax = 0,
  4. polinomi IR[x],
  5. polinomi IR[x] con grado limitato d = IR[X]_{<= d}
  6. funzioni da un dominio I a valori in IR,
  7. successioni di numeri reali

· Esempi geometrici: piani e rette passanti per l’origine di IR^3.

· Controesempi

· Esercizi ed esempi

· Esercizi riepilogativi di settimana IV proposti agli studenti: FOGLIO 4 sul sito web

I

Settimana 5

 (2 ore)-30/10/2018

ATTENZIONE AVVISO DA RETTORATO

http://web.uniroma2.it/module/name/Content/newlang/italiano/navpath/HOM/action/showpage/content_id/62645

 

SOSPENSIONE ATTIVITA' DIDATTICA 30 OTTOBRE 2018

Martedì 30 ottobre 2018 sospensione attività didattica causa allerta meteo

ALLA COMUNITA’ UNIVERSITARIA

Viste le condizioni meteorologiche previste per la mattinata di domani, l’attività didattica rimarrà sospesa anche nella giornata del 30 ottobre 2018 limitatamente allo svolgimento delle lezioni. Gli uffici amministrativi rimarranno aperti.

Si informa che a seguito dei danni causati dalle avverse condizioni metereologiche è stata disposta nella giornata del 29/10/2018 la sospensione dalle 16:00 fine a fine turno delle attività amministrative presso la Macroarea di Scienze.

L’Amministrazione

  

  

 (2 ore)-31/11/2018

Dispense Marini

· Sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale V.

· Esempi di alcuni sottospazi dello spazio vettoriale delle matrici M(n,n; IR): triangolari superiori ed inferiori, diagonali, simmetriche, antisimmetriche

· Combinazione lineare di vettori di uno spazio vettoriale V.

· Vettori linearmente indipendenti e vettori linearmente dipendenti.

· Significati geometrici: caso di un vettore linearmente dipendente, caso di due vettori linearmente dipendenti, caso di tre vettori linearmente dipendenti

· Sistemi liberi (od indipendenti) di k vettori di uno spazio vettoriale V. Significato geometrico

· Esempi di vettori linearmente indipendenti in: IR^n, M(m,n; IR), IR[x], IR[X]_{<= d}, funzioni trigonometriche elementari

· Se  S è un sottoinsieme di vettori di uno spazio vettoriale V,  Span(S) ha sempre una struttura di sottospazio vettoriale di V

· Sistema di generatori per uno spazio vettoriale V

· Spazi vettoriali finitamente generati.

· Esempi e controesempi.

· Esercizi ed esempi

· Esercizi riepilogativi di settimana V proposti agli studenti : FOGLIO 5 sul sito web

  

  

 (2 ore)-02/11/2018

PONTE 1 NOVEMBRE UNIVERSITA' CHIUSA

I

Settimana 6

(2 ore)-06/11/18

Dispense Marini

· ESERCITAZIONI DI RIEPILOGO PROFESSOR FLAMINI

· Basi di uno spazio vettoriale finitamente generato

· Base canonica dello spazio vettoriale IR^n.

· Esempi: ulteriori basi (non canoniche) di IR^2; sistemi di generatori di IR^2 che NON SONO BASI (quindi non liberi); sistemi liberi in IR^2 che NON SONO BASI (quindi non sistema di generatori)

· Coordinate di un vettore v di uno spazio vettoriale V rispetto ad una base fissata.  

· Esempi di cambiamenti di coordinate rispetto a due basi differenti di uno spazio vettoriale

· Esercizi ed esempi

  

  

(2 ore)-07/11/2018

Dispense Marini

· Teorema di estrazione di una base (finita) da un sistema finito di generatori di V e Algoritmo di estrazione di una base

· Teorema di estensione (o completamento) di un sistema libero finito di V ad una base finita di V e Algoritmo di estensione  ad una base

· La cardinalità delle basi di uno spazio vettoriale V è costante = DIMENSIONE di uno spazio vettoriale V f.g. 

· Dimensione e  basi canoniche degli spazi vettoriali:

(i)                 IR^n,

(ii)               M(m,n;IR),

(iii)             IR[X]_{<= d},

(iv)             Sym(2,2;IR),

(v)              Sym(3,3;IR), 

(vi)             Antisym(2,2;IR),

(vii)           Antisym(3,3;IR).

· Ulteriori basi (non canoniche)  di IR^n

· Esercizi ed esempi

  

  

(2 ore)-09/11/2018

Dispense Marini

· Minori di ordine k di una matrice A rettangolare mxn.

· Rango di A: numero massimo di righe (o colonne) indipendenti di A.

· Applicazioni al calcolo della dimensione di sottospazi di IR^n generati da colonne di una matrice A o di sottospazi definiti da equazioni in un SLO i cui coefficienti sono le righe di una matrice A. 

· Teorema degli orlati o di Kronecher  (solo enunciato)

· Matrice A associata ad una k-upla di vettori di IR^n.

· Calcolo della dimensione del sottospazio W generato dalle colonne di A, per mezzo del rango di A e determinazione di una base di W.

· Esercizi ed esempi

· Esercizi riepilogativi di settimana VI proposti agli studenti : FOGLIO 6 sul sito web

I

Settimana 7

(2 ore)-13/11/2018

Dispense Marini

· Se U e W sottospazio di V, U nW  è sottospazio intersezione; è sottospazio sia di U che di W.

· Se U e W sottospazio di V, U+W è sottospazio somma; è il più piccolo sottospazio di V che contiene U u W.

· U+W contiene sia U che W.

· U+W = Span {b_U , b_W}, ove b_U è base di U e b_W è base di W

·  L' unione b_U u b_W non è in generale una base di U+W (teorema di estrazione di una base dalsistema di generatori b_U u b_W)

· Formula di Grassmann. dim (U+W) = dim (U) + dim (W) - dim (UnW)

· Significati geometrici

· ESERCIZI DI RIEPILOGO PROFESSOR FLAMINI

(2 ore)–14/11/2018

Dispense Marini

· Somma diretta U (+) W

· Significato geometrico della somma diretta = unicità delle scritture.

· Se V = U (+) W, allora U è sottospazio supplementare a W (equiv. W è sottospazio supplementare a U)

· Codimensione di un sottospazio W in V, codim(W,V) = dim(V)-dim(W).

· Equazioni parametriche di un sottospazio proprio W di V rispetto ad una base di V. Numero parametri nelle equazioni parametriche = dim (W)

· Equazioni cartesiane di un sottospazio proprio W di V rispetto ad una base di V. Numero equazioni cartesiane = codim(W,V) 

· Passaggio da equazioni cartesiane ad equazioni parametriche =  risolvere il SLO(m,n;IR) dato dalle equazioni cartesiane di W rispetto ad una base di V.

· Passaggio da equazioni parametriche ad equazioni cartesiane = liberare dai parametri liberi per individuare il SLO(m,n;IR) che fornisce equazioni cartesiane di W. Utilizzo del Teorema di Kronecher per la determinazione di equazioni cartesiane da equazioni parametriche.

· Esempi ed esercizi.

· Esercizi riepilogativi di settimana VII proposti agli studenti : FOGLIO 7 sul sito web

(2 ore)–16/11/2018

· ESERCITAZIONI DI PREPARAZIONE AL I ESONERO PROFESSOR FLAMINI

I

Settimana 8

(2 ore)-20/11/2018

ESONERO IN AULA T6 – ore 9-11 (file PDF su sito web corso) – Argomenti esonero: fino a Settimana 7

  

  

(2 ore)-21/11/2018

Dispense Marini

· Numeri complessi C: motivazioni e costruzione.

· Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso. Immaginari puri.

· C ha una struttura di spazio vettoriale (su IR) di dimensione 2. Infatti, su IR, è Span{1,i}, dove 1 e i sono IR-linearmente indipendenti.

· Piano di Argand-Gauss. Asse reale ed asse immaginario

· Inclusione di IR < C   come inclusione di sottospazi (IR si identifica all’asse reale del piano di Argand-Gauss).

· Moltiplicazione tra numeri complessi. Estende in modo naturale il prodotto in IR

· (C +, x) è un anello commutativo unitario.

· Coniugio in C: significato geometrico nel piano di Argand-Gauss.

· Il coniugio e’ una biiezione involutoria di C

· Norma di un numero complesso.

· Inverso di un numero complesso non nullo.

· C è un campo.

· Esempi ed esercizi.

  

  

(2 ore)-23/11/2018

Dispense Marini

· Modulo e argomento di un numero complesso.

· Un numero complesso di modulo r si trova, nel piano di Argand-Gauss, sulla circonferenza di centro (0,0) e raggio r 

· Rappresentazione polare ed esponenziale dei numeri complessi. 

· Prodotti di numeri complessi in forma polare ed esponenziale

· Potenze di un numero complesso in forma polare ed esponenziale.  Formule di De Moivre.

· Radici n-esime di un numero complesso.

· Teorema fondamentale dell’Algebra (solo enunciato)

· C ha una struttura di spazio vettoriale (su C) di dimensione 1. Infatti, su C, è Span{1}, dove 1 e i sono C -linearmente dipendenti

· Cenni a spazi vettoriali su C

· Esempi ed esercizi.

· Esercizi riepilogativi di settimana VIII proposti agli studenti: FOGLIO 8 sul sito web

I

Settimana 9

(2 ore)-27/11/2018

Dispense Marini

· Applicazioni lineari L:V----> W tra spazi vettoriali.

· Applicazione lineare L(A) associata ad una matrice A in M(m,n;IR).

· Nucleo di un'applicazione lineare (Ker(L)):  è sottospazio vettoriale di V. Inoltre Ker(L) è l’insieme delle controimmagini mediante L del vettore nullo di W.

· Immagine di un'applicazione lineare (Im(L)): è sottospazio di W

· Per l'applicazione lineare L(A): IR^n ----> IR^m, individuata da una matrice A mxn, si ha che:

           (i) Im(L(A)) = Span{colonne di A} e quindi  dim (Im(L(A))) = rg(A)

           (ii) Ker(L(A)) = {sottospazio di IR^n formato delle soluzioni del SLO  Ax = 0} e quindi dim(Ker(L(A))) = n-rg(A)

· Iniettività e suriettività di un’applicazione lineare L:V ----> W in termini delle dimensioni di Ker(L) e Im(L).

· Rango di un’applicazione lineare L.

· Teorema di Nullità più Rango (Prop. 12.13).

· Esempi ed esercizi.

  

  

(2 ore)-28/11/2018

· ESERCITAZIONI DI RIEPILOGO TUTORE AL CORSO

  

  

(2 ore)-30/11/2018

Dispense Marini

· Isomorfismi tra spazi vettoriali di stessa dimensione. Spazi vettoriali isomorfi.

· Endomorfismi ed Automorfismi  di uno spazio vettoriale V.

· CNES affinchè un endomorfismo L_A, individuato da una matrice quadrata A nxn, sia un automorfismo di IR^n

· Applicazione lineare c_b :V-----> IR^n = associazione coordinate dei vettori di uno spazio V di dimensione n rispetto ad una base b fissata. c_b è un isomorfismo.

· Matrice A mxn rappresentativa, nelle basi canoniche rispettive, di un’applicazione lineare L:  IR^n ----> IR^m, calcolo di L=L(A)

· Corrispondenza biunivoca tra matrici mxn ed applicazioni lineari IR^n ----->  IR^m.

· Per b vettore di  IR^m, risolvere A x = b, ove A matrice mxn, vuol dire determinare l’insieme delle controimmagini di  b mediante L(A)

· Teorema di Rouché-Capelli: rilettura di compatibilità di A x = b con  b nell’Im(L(A))

· Teorema di Rouché-Capelli:  teorema di struttra per  A x = b in funzione di dim (Ker(L(A))

· Esempi ed esercizi.

· Esercizi riepilogativi di settimana IX proposti agli studenti: FOGLIO 9 sul sito web

  

Settimana 10

(2 ore)-04/12/2018

Dispense Marini

· Composizione di L:V----> W e M: W---->  U, è l’applicazione lineare M L: V----->  U

· Prodotto righe per colonne tra matrici, riletto come composizione di applicazioni lineari: L(A) L(B) = L(AB)

· Operatori (od endomorfismi) su uno spazio vettoriale V.

· Autovalori di un operatore L:V ----> V

· Autovettori di un operatore L:V ----> V

· Autospazi di un operatore L:V ----> V

· Spettro (in C) di un operatore L:V ----> V ed insieme degli autovalori (in IR) di L

· Un autovettore di un operatore L:V ----> V e' autovettore per un unico autovalore

· Autovettori di un operatore L:V ----> V relativi ad autovalori distinti sono vettori linearmente indipendenti di V

· Esempi ed esercizi.

  

  

(2 ore)-05/12/2018

Dispense Marini

· La somma di autospazi di un operatore L:V -----> V relativi ad autovalori distinti è una somma diretta.

· Caso degli operatori (od endomorfismi) di IR^n dati da L(A), con A matrice quadrata nxn

· Polinomio caratteristico di L(A)

· Calcolo dello Spettro (in C) di L(A)  per mezzo del polinomio caratteristico di L(A)

· Calcolo di autovalori di  L(A)

· Calcolo di autospazi di L(A) 

· Traccia e determinante di A (equivalentemente di L(A)). Coefficienti del polinomio caratteristico di L(A)

· Esempi ed esercizi.

  

  

(2 ore)-07/12/2018

Dispense Marini

· Paragrafo 14 e Pagine 96-97 di Approfondimenti

· A = M_{b,c}(L) = Matrice rappresentativa di un’applicazione lineare L: V--->W rappresentata nelle basi b di V e c di W (Def. 14.2 e Oss. 14.5, 14.6)

· Proprietà invarianti delle varie matrici M_{b,c}(L), al variare di b tra le basi di V e di c tra le basi di W

· Rango di L = dim (Im L) = rango della della matrice M_{b,c}(L), per ogni scelta di b base di V e c base di W

· M_{e,f} = Matrice cambiamento di base su uno spazio vettoriale V = la i-esima colonna di M_{e,f} è la colonna delle coordinate dell’i-esimo vettore della base f espresso in coordinate rispetto alla base e di V

· Formula cambiamento delle coordinate: x = Cy e  y = C^{-1}x , ove C = M_{e,f}, y le coordinate di un vettore rispetto a f e x le coordinate del medesimo vettore rispetto alla base e (Prop. 15.4, 15.7)

· Esercizi ed esempi

· Esercizi riepilogativi di settimana X proposti agli studenti: FOGLIO 10 sul sito web

I

Settimana 11

(2 ore)-11/12/2018

Dispense Marini

· L operatore (o endomorfismo) su V: se e ed f sono due basi di V e se C = M_{e,f} matrice cambiamento di base, allora M_{f,f}(L) = C^{-1} M_{e,e}(L) C (Prop. 15.6, 15.8)

· Matrici coniugate o simili: relazione di coniugio o di similitudine.

· Due matrici quadrate rappresentano lo stesso operatore L in basi diverse e ed f per V se e solo se le due matrici rappresentative M_{e,e}(L) e M_{f,f}(L) sono fra di loro CONIUGATE (equiv. SIMILI).

· La similitudine avviene mediante la matrice invertibile C = M_{e,f} matrice cambiamento di base.

· La similitudine è una relazione di equivalenza

· Il polinomio caratteristico di M_{e,e}(L)  e' invariante per coniugio di matrici, i.e. è lo stesso di M_{f,f}(L) per ogni altra base  f di V

· Conseguenze: sono definizioni intrinseche polinomio caratteristico di un operatore L, spettro di un operatore L, traccia di un operatore L, determinante di un operatore L, ecc.

· Esercizi ed esempi

  

  

(2 ore)- 12/12/2018

· ESERCITAZIONI DI RIEPILOGO TUTORE AL CORSO

  

  

(2 ore)-14/12/2018

Dispense Marini

· Paragrafo 15: Problema della diagonalizzabilità.

· Operatori diagonalizzabili su uno spazio vettoriale V.

· Basi diagonalizzanti d per un operatore L: sono basi costituite da autovettori dell'operatore L.

· La matrice M_{d,d}(L), rappresentativa di un operatore L in una base diagonalizzante d, è diagonale e sulla diagonale principale appaiono tutti gli autovalori (equivalentemente gli elementi reali dello spettro) di L. In particolare lo spettro di L è necessariamente tutto reale.

· Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore di un operatore L

· La molteplicità geometrica di un autovalore e' minore od uguale alla molteplicità algebrica di quell'autovalore (Teorema 13.7)

· CNES di diagonalizzabilità di un operatore L in termini dello Spettro di L e delle molteplicità algebriche e geometriche dei suoi autovalori.

· Caso particolare degli autovalori semplici.

· Esercizi ed esempi

· Esercizi riepilogativi di settimana XI proposti agli studenti: FOGLIO 11 sul sito web

I

Settimana 12

(2 ore)-18/12/2018

Dispense Marini

· Se A è matrice diagonalizzabile, allora Tr(A) = Somma degli autovalori, det(A) = prodotto degli autovalori, per ogni autovalore la molteplicità algebrica coincide con la molteplicità geometrica.

· Potenza n-esima di una matrice diagonalizzabile.

· Esempi di operatori non diagonalizzabili perchè privi di autovalori, i.e. con spettro complesso (non reale).

· Esempi di operatori non diagonalizzabili perchè, anche se con spettro reale, non ammettono una base di V formata da autovettori

· Esempi di operatori diagonalizzabili

· Rivisitazione di tutti gli esempi svolti (di diagonalizzabili e non) in termini di molteplicità algebriche e geometriche.

· Cenni di diagonalizzazione di un operatore su C-spazi vettoriali.

· ESERCIZI DI RIEPILOGO PROFESSOR FLAMINI

· Esempi ed esercizi

  

  

(2 ore)-19/12/2018

Dispense Flamini

· Prodotti scalari su spazi vettoriali. Spazi vettoriali euclidei.

· Esempi: prodotto scalare standard in IR^n, ulteriori prodotti scalari su IR^n, prodotti scalari tra polinomi o funzioni (uso dell'integrale)

· Prodotti scalari rispetto a basi di V e matrici simmetriche.

· Norma ||v|| di un vettore v di uno spazio vettoriale euclideo V.

· Versori. Versorizzazione di un vettore.

· Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz e diseguaglianza triangolare.

· Coseno dell'angolo convesso tra due vettori.

· Vettori ortogonali.

· Esempi ed esercizi

  

  

(2ore)-21/12/2018

Dispense Flamini

· Sistemi di vettori ortogonali di uno spazio vettoriale euclideo V.

· Basi ortogonali e basi ortonormali di uno spazio vettoriale euclideo V.

· Proiezione < , > - ortogonale di un vettore v su Span(w).

· Procedimento di ortonormalizzazione e di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

· Esistenza di basi ortogonali (ortonormali) di uno spazio vettoriale euclideo.

· Esempi ed esercizi

· Esercizi riepilogativi di settimana XII proposti agli studenti: FOGLIO 12 sul sito web

I

Settimana 13

(2 ore)-07/01/2019

ATTENZIONE: LEZIONE DI LUNEDI' 07/01/2019 AL POSTO DI ANALISI MATEMATICA PROF. PEIRONE (CHE SVOLGERA' LA SUA LEZIONE MERCOLEDI' 09/01/2019 AL POSTO DI GEOMETRIA PROF. FLAMINI)

Dispense Flamini

· Matrice cambiamento di base M_{e,f} tra due basi ortonormali e e f di V spazio vettoriale euclideo <,> : M_{e,f} è matrice ortogonale (dimostrazione solo nel prodotto scalare standard)

· Matrici speciali ortogonali e matrici ortogonali non-speciali.

· Loro composizioni ed interpretazione del segno del determinante via regola di Binet.

· Legate alle isometrie dirette ed inverse

· Esempi concreti

     (i) R_t= rotazione di angolo t attorno all'origine di IR^2: matrice rappresentativa in base canonica speciale ortogonale.

     (ii) La composizione di due rotazioni R_t e R_s e’ la rotazione R_{t+s} di angolo t+s  

     (iii) S_x= Simmetria assiale in IR^2 rispetto all’asse x: matrice rappresentativa in base canonica ortogonale non speciale.

     (iv) S_y= Simmetria assiale in IR^2 rispetto all’asse y: matrice rappresentativa in base canonica ortogonale non speciale.

     (v) S_y  S_x = R_{pi-greco} è  speciale ortogonale

     (vi) R_{t,e_3} = rotazione di angolo t attorno a Span e_3 in IR^3. Autovalori ed autospazi a seconda di t.

· Se M:= M_{e,f} e’ matrice cambiamento di base che e’ matrice ortogonale, le relazioni di coniugio e congruenza coincidono.

· Semplificazione dei conti per la diagonalizzazione.

· Sottospazio ortogonale ad un sottoinsieme S di  uno spazio vettoriale euclideo V.

· Esempi ed esercizi

  

  

(2 ore)-08/01/2019

Dispense Flamini

· Complemento ortogonale di un sottospazio W in uno spazio vettoriale euclideo V.

· Somma diretta ortogonale di un sottospazio con il suo complemento ortogonale.

· dim (W ortogonale) = codim(W,V)

· (Un) vettore normale ad un iperpiano W di IR^n (munito di prodotto scalare standard): coefficienti dell'equazione di W.

· Proiettori ortogonali p_W su un sottospazio W. Sono endomorfismi di V.

· L'immagine di p_W e' W ed il nucleo di p_W e' il complemento ortogonale di W

· Esempi ed esercizi.

· Esercizi riepilogativi di settimana XIV proposti agli studenti: FOGLIO 13 sul sito web

  

  

(2 ore)-11/01/2019

· ESERCITAZIONI DI RIEPILOGO TUTORE AL CORSO

  

Settimana 14

(2 ore)-15/01/2019

Dispense Marini

· Applicazioni geometriche del prodotto scalare standard in IR^2 o IR^3

· Aree di parallelogrammi formati da due vettori linearmente indipendenti di IR^2 e formula determinantale.

· Prodotto vettoriale di IR^3: è bilineare, è antisimmetrico.

· Prodotto misto in IR^3: formula determinantale.

· Prodotto vettoriale di IR^3:  se v e w indipendenti, v vettor w e’ un vettore sempre ortogonale  a Span (v,w)

· Norma di v vettor w: significato geometrico.

· Volume di un prisma formato da tre vettori indipendenti in IR^3: formula determinantale e prodotto misto.

· Basi positivamente (o negativamente) orientate in uno spazio vettoriale.

· Esempi ed esercizi.

  

  

(2 ore)-16/01/2019

Dispense Flamini

· Basi ortonormali positivamente orientate o negativamente orientate di IR^n. Matrici ortogonali speciali e non.

· Calcolo rapido di basi ortonormali e positivamente orientate di IR^3 via prodotto vettoriale.

· Operatori autoaggiunti in uno spazio vettoriale euclideo (V, < , >).

· Un operatore autoaggiunto L in IR^n (munito del prodotto scalare standard) è autoaggiunto se e solo M_{f,f}(L) = A è una matrice simmetrica, per ogni scelta di una base ortonormale f

· Teorema Spettrale degli operatori autoaggiunti (solo enunciato)

· Utilizzo del Teorema Spettrale degli operatori autoaggiunti: ogni matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile e la diagonalizzazione avviene in base ortonormale, i.e. ogni matrice simmetrica A è congruente ad una matrice diagonale

· Esempi ed esercizi.

· Esercizi riepilogativi di settimana XIV proposti agli studenti: FOGLIO 14 sul sito web

  

  

(2 ore)-18/01/2019

· ESERCITAZIONI PREPARAZIONE ESONERO TUTORE AL CORSO

  

Settimana 15

(2 ore)-25/01/2019

ESONERO IN AULA T6 – VENERDI’ 25 GENNAIO 2019 – ore 9-11 (file PDF su sito web corso) – Argomenti esonero: da Settimana 7 a Settimana 14