Algebraic Geometry

Laurea Magistrale in Matematica

  A.A. 2018-2019 – I semester


 Docente: Flaminio Flamini   e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
 Lezioni: AULA 29A Martedì 14:00-16:00, Mercoledì 16:00-18:00, Venerdì 11:00-13:00

Ricevimento Studenti. SEMESTRE I: Martedi' 16:00-18:00 - studio 1116 – Dipartimento di Matematica (Piano 1 – dente 1) – inviare una e-mail qualche giorno prima. 
 

Calendario Giornaliero (Daily Calendar)

1/10/2018 - 21/12/2019 (8 Credits – 64 hours)

Settimana (Week)

 Lezione (Lecture)

Argomenti (Topics)

Settimana 1

1 (2 ore)- 02/10/2018

· Introduzione alla Geometria Algebrica: descrizione del corso, problematiche legate a varie discipline

· Spazio affine numerico A^n(IK) ed anello dei polinomi A^(n) := IK[x_1,…,x_n] su un campo IK.

· Insiemi algebrici affini (IAA) Z_a(I) in A^n(IK) ed ideali I dell’anello A^(n).

· Corrispondenza Ideali ed IAA.

· Esempi di “non buona” corrispondenza tra IAA ed ideali sia per colpa del campo (non algebricamente chiuso, finito ed infinito) che per colpa degli ideali (non radicali).

· Ideali finitamente generati in A^(n)

· Anelli commutativi unitari e noetheriani.

· Teorema della base di Hilbert (NO DIMOSTRAZIONE – vedasi corso Algebra Commutativa)

· Osservazioni: quozienti di anelli noetheriani sono noetheriani.

· Formulazione equivalente di noetherianità per mezzo di catene ascendenti di ideali propri.

  

2 (2 ore)- 03/10/2018

· Prime corrispondenze tra IAA e ideali in A^(n) (IK qualsiasi campo): somma di ideali, intersezione di ideali e corrispondenti IAA; reversing inclusion.

· m_b = (x_1-b_1,….,x_n-b_n) è ideale massimale in A^(n)  (IK qualsiasi campo) e  Z_a (m_b) ={b} <  A^n(IK).

· IAA come chiusi di A^n(IK) nella topologia di Zariski Zar(a,n) sullo spazio affine A^n(IK).

· Prime proprietà di Zar(a,n): è T1.

· Conseguenza: se IK è infinito,  Zar(a,1)  non è  T_2.

· Ideali radicali; ideali primi e massimali sono radicali

· Esempi geometrici di ideali con medesimo radicale e determinazione del chiuso di Zariski.

· Corrispondenza non iniettiva tra ideali e chiusi di Zariski. Se IK non algebricamente chiuso (finito od infinito), la corrispondenza non è iniettiva nemmeno con ideali radicali. Esempi.

· Esempi: coniche affini irriducibili reali e complesse e sfera di Riemann associata ad una conica complessa (conti espliciti con parametrizzazione in A^2(C)).

  

3 (2 ore)- 05/10/2018

· Esempi: sottospazi affini coordinati di A^n(IK) e sottospazi affini di A^n(IK). L’ideale definito dalle equazioni del sottospazio affine è radicale perchè e' ideale primo.

· Esempi: ipersuperfici in A^n(IK). Equazione ridotta di un’ipersuperficie. Componenti irriducibili di un'ipersuperficie.

· Aperti principali della topologia di Zariski di A^n(IK). Gli aperti principali formano una base per gli aperti della topologia di Zariski di A^n(IK).

· Esempi: Prodotti di chiusi affini. Cilindri: rivisitazione delle quadriche doppiamente degeneri in di A^3(IK) che sono cilindri in termini di ideali.

Settimana 2

4 (2 ore) – 09/10/2018

· Ideale I_a(Y) < A^(n) di un sottoinsieme qualsiasi Y < A^n(IK) (IK qualsiasi campo).

· Chiusura (di Zariski) di un sottoinsieme Y in A^n(IK) nella topologia Zar(a,n): Z_a(I_a(Y))

· Corrispondenza sottoinsiemi–ideali via Z_a(-) e I_a(-): corrispondenza non biunivoca (esempi anche con IK algebricamente chiuso)

· Enunciati di Hilbert Nullstellensatz forma debole (HNfd) e forma forte (Hnff).

· Preliminari algebrici per la dimostrazione di (HNfd) e (HNff): Nozioni di finitezza: IK -algebra finita; IK -algebra di tipo finito; IK < L ampliamento di campi finitamente generato.

· Legami tra le tre nozioni: L è IK-algebra finita à L è IK-algebra di tipo finito à IK<L ampliamento di campi f.g.

· Le implicazioni in generale non si invertono: se x e’ indeterminata su IK, IK[x] è una IK-algebra di tipo finito che non e’ finita e IK(x) = Q(IK[x]) è un ampliamento di IK f.g. che non è una IK-algebra di tipo finito.

· Rivisitazione del caso delle estensioni semplici di campi: caso trascendente e caso algebrico.

· Lemma di Zariski: enunciato (NO DIMOSTRAZIONE – vedasi corso Algebra Commutativa)

· Dimostrazione di HNfd con l’utilizzo del Lemma di Zariski.

· Conseguenze di Hnfd.

· Dimostrazione di HNff con l’utilizzo di Hnfd.

· Conseguenza di HNff: se IK algebricamente chiuso, le applicazioni Z_a(-) ed I_a(-) inducono corrispondenze biunivoche tra l’insieme degli ideali radicali di A^(n) e l’insieme dei chiusi di Zariski di A^n(IK). Nella corrispondenza biunivoca, i punti di A^n(IK) sono in corrispondenza biunivoca con gli ideali massimali di A^(n).

  

5 (2 ore)- 10/10/2018

· Ulteriori proprietà di I_a(-): la somma di ideali radicali non necessariamente è radicale; I_a( - ) di una unione finita di chiusi e I_a( - ) di una intersezione qualsiasi di chiusi.

· Per ogni sottoinsieme X di A^n(IK), si ha I_a(X) = I_a(chiusura di Zariski di X).

· Rivisitazione delle componenti irriducibili di un’ipersuperficie di A^n(IK) in termini di ideali primi principali di A^(n)  

· Principio di Study affine per IK algebricamente chiuso.

· Ipersuperfici di A^2(IK) = curve piane affini; ipersuperfici irriducibili di A^2(IK) = curve piane affini irriducibili.

· Se IK algebricamente chiuso, ogni curva irriducibile di A^2(IK) ha infiniti punti.

· Principio di identità dei polinomi in A^(n) con IK campo infinito

· Conseguenze del principio di identità dei polinomi: se IK è infinito due aperti non vuoti di Zar(a,n) si intersecano sempre, equivalentemente ogni aperto non vuoto è denso in A^n(IK). In particolare, Zar(a,n) non è  T_2.

· Se IK è infinito, I_a(U) = I_a(A^n(IK)) = (0), per ogni aperto non vuoto di A^n(IK).

6 (2 ore) – 12/10/2018

· Richiami sulla costruzione di spazi proiettivi e sulle coordinate omogenee.

· Anello dei polinomi omogenei S^(n) := IK[x_0,…,x_n]

· S^(n)_d = la componente omogenea di grado d (insieme con il polinomio nullo) è un IK-spazio vettoriale

· Formula binomiale per dim (S^(n)_d) su IK

· Caratterizzazione dei polinomi omogenei ed identità di Eulero.

· Omogeneizzazione e de-omogeneizzazione di polinomi.

· Proprietà della mappa di omogeneizzazione (risp. di deomogeneizzazione).

· Significati geometrici.

Settimana 3

7 (2 ore) – 16/10/2018

· Anelli graduati.

· Elementi omogenei

· Ideale irrilevante in un anello graduato.

· Ideali omogenei di un anello graduato.

· Caratterizzazione di ideali omogenei in termini dei suoi generatori

· Somma, prodotto ed intersezione di ideali omogenei. Radicale di un ideale omogeneo. (NO DIMOSTRAZIONE – vedasi e.g. corso Algebra Commutativa)

· Un anello quoziente è graduato se e solo se l’ideale quoziente e’ omogeneo.

· Zeri in P^n di un polinomio omogeneo.

· Zeri in P^n di un polinomio qualsiasi.

  

8 (2 ore)- 17/10/2018

· Insiemi algebrici proiettivi (IAP): Z_p(I) dove I ideale omogeneo in S^(n).

· Ideali omogeneo I_p(X) in S^(n) di un sottoinsieme X di P^n.

· Proprietà di “reversing inclusion” come nel caso affine. Intersezioni e somme.

· Proprietà degli IAP come chiusi di una topologia su P^n = Zar(p,n) topologia di Zariski su P^n.

· Prime differenze sostanziali tra A^n e P^n: l’ideale irrilevante è radicale ma Z_p(S_{+}) = Z_p(1) è vuoto in P^n.

· Ogni IAP può essere scritto come luogo di zeri di polinomi omogenei dello stesso grado (Esercizio)

· HNfd in P^n: IK algebricamente chiuso, I ideale proprio omogeneo. Allora Z_p(I) vuoto, se e solo se rad(I) = S_+.

· Cono affine C_a(X) in A^{n+1} di un sottoinsieme X di P^n.

  

9 (2 ore) – 19/10/2018

· HNff in P^n: IK algebricamente chiuso, Z_p(I) non vuoto, allora I_p(Z_p(I)) = rad(I).

· Corrispondenza tra chiusi di P^n ed ideali radicali omogenei di S^(n) è biunivoca solo se si esclude S_+.

· Analogie tra A^n e P^n:

(i)   Zar(p,n) è T_1;

(ii)  Zar(p,1) non è T_2;

(iii) Sottospazi coordinati di   P^n e loro ideale omogeneo; 

      (iv) Ipersuperfici di P^n: componenti irriducibili

· Iperpiani di P^n e spazio proiettivo duale  (P^n)*.

· Iperpiani fondamentali H_i = Z_p(x_i) di P^n

· Aperti fondamentali U_i di P^n

Settimana 4

10 (2 ore) – 23/10/2018

· Gli aperti fondamentali U_i di P^n sono omemorfi a spazi affini A^n.

· Conseguenze:

    1. U_i si dicono carte (o aperti) affini di P^n.
    2. P^n è ricopribile con n+1 aperti (carte) affini.
    3. Punti all’infinito degli U_i

· Per ogni chiuso proiettivo Y, gli Y_i = Y n U_i  sono aperti affini di un ricoprimento aperto e finito di Y.

· Chiuso affine Y_i in U_i = A^n individuato da un chiuso proiettivo Y di P^n.

· Chiusi, aperti e localmente chiusi di P^n.

  

11 (2 ore) – 24/10/2018

· Chiusura proiettiva di un chiuso affine Y= Z_a(J) in A^n = U_i ed ideale generato dagli omogeneizzati dei polinomi in J.

· Se Y= Z_a(J) chiuso in A^n = U_i, Y_{infinito} e' parte all'infinito di Y rispetto alla carta U_i.

· Se IK e’ infinito, la chiusura proiettiva di A^n è P^n

· Ulteriori Esempi:

    1. Sottospazi lineari di P^n e sottospazi affini indotti nelle carte affini U_i. Chiusura proiettiva di un sottospazio affine ed ideale omogeneo della chiusura proiettiva.
    2. Chiusura proiettiva di un’ipersuperficie di A^n= U_0 ed ideale omogeneo associato. Principio di Study proiettivo.
    3. Cono affine C_a(X) e cono proiettivo C_p(X) di un sottoinsieme X di P^n: ideali I_p(X), I_a(C_a(X)) e I_p(C_p(X)).

  

12 (2 ore) – 26/10/2018

· Curva razionale affine parametrizzata in A^n:

X=(t, f_2(t), …, f_n(t)), ove t parametro in IK e f_i(t) polinomi non tutti costanti in A^(1)= IK[t]. I_a(X) è ideale primo.

· Applicazioni di curve razionali parametrizzate: cubica gobba affine C_a in A^3. I_a(C_a) è generato da due quadriche di A^3(IK)

· Cubica gobba proiettiva:  C_p come chiusura proiettiva in P^3  della cubica gobba affine C_a.

· C_p = C_a unione {P}= Z_p(F_1, F_2, F_3), dove F_i quadriche proiettive linearmente indipendenti in S^(3)_2.

· C_p è l'immagine della mappa IP^1 ---> IP^3 definita da [a,b] ---> [a^3, a^2b, ab^2, b^3]

· C_p è intersezione completa insiemistica di una quadrica ed una cubica, ma solo come insieme algebrico - struttura NON-RIDOTTA in tutti i punti di C_p. (Esercizio)

· I_p(C_p) = (F_1, F_2, F_3) è generato da tre quadriche (solo enunciato e commento del significato).

Settimana 5

13 (2 ore)  - 30/10/2018

ATTENZIONE AVVISO DA RETTORATO

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SOSPENSIONE ATTIVITA' DIDATTICA 30 OTTOBRE 2018

Martedì 30 ottobre 2018 sospensione attività didattica causa allerta meteo

ALLA COMUNITA’ UNIVERSITARIA

Viste le condizioni meteorologiche previste per la mattinata di domani, l’attività didattica rimarrà sospesa anche nella giornata del 30 ottobre 2018 limitatamente allo svolgimento delle lezioni. Gli uffici amministrativi rimarranno aperti.

Si informa che a seguito dei danni causati dalle avverse condizioni metereologiche è stata disposta nella giornata del 29/10/2018 la sospensione dalle 16:00 fine a fine turno delle attività amministrative presso la Macroarea di Scienze.

L’Amministrazione

  

14 (2 ore)  - 31/10/2018

· Sottoinsiemi irriducibili di uno spazio topologico X.

· Criteri topologici di irriducibilità.

· Aperti densi.

· Applicazioni ad IAA e IAP:

(i)                 P^n ed ogni suo aperto non vuoto sono irriducibili,

(ii)               ogni aperto non vuoto di  P^n è denso,

(iii)             Zar(p,n) non è T_2.

(iv)             Casi analoghi  per A^n.

(v)               Controesempi per IK finito.

· Esempi di chiusi algebrici irriducibili:

(i)               sottospazi affini,

(ii)             sottospazi lineari di P^n,

(iii)            la cubica gobba affine

(iv)            la cubica gobba proiettiva,

(v)             ogni curva razionale affine parametrizzata X=  (t, f_2(t), …, f_n(t)) omemorfa da A^1

· L’immagine continua di un irriducibile è irriducibile.

· Se X  sottoinsieme irriducibile di A^n ed  U aperto di X, allora si ha uguaglianza di ideali in A^(n):  I_a(U) = I_a(X) = I_a(X_a), dove X_a e’ la chiusura affine di X in A^n

· Se IK è algebricamente chiuso, X  sottoinsieme irriducibile di P^n ed  U aperto di X, allora si ha uguaglianza di ideali in S^(n):  I_p(U) = I_p(X) = I_p(X_p), dove X_p e’ la chiusura proiettiva di X in P^n

· A(X) = A(X_a) = anello delle coordinate affini di X sottoinsieme di  A^n.

· S(X) = S(X_p) = anello delle coordinate omogenee di X sottoinsieme di P^n

· Criteri algebrici di irriducibilità in termini di primalità di I_a(X) (corr. di I_p(X)) , equiv. dell’integrità di A(X) (corr., di S(X)). 

· Se IK è algebricamente chiuso: Corrispondenza 1-1 tra IAA irriducibili ed ideali primi di A^(n)

· Se IK è algebricamente chiuso: Corrispondenza 1-1- tra IAP ed ideali primi omogenei di S^(n) –{ S_+}.

  

15 (2 ore) – 02/11/2018

NO LEZIONE: PONTE FESTIVITA' OGNISANTI (UNIVERSITA' CHIUSA)

Settimana 6

16 (2 ore)  - 06/11/2018

· Un IAP X e’ irriducibile se e solo se il cono affine C(X)_a e’ irriducibile se e solo se il cono proiettivo C(X)_p e’ irriducibile.

· Varietà affini, varietà quasi-affini, varietà proiettive e varietà quasi-proiettive. La nozione più generale che le ingloba tutte è quasi-proiettiva.

· Varietà algebrica = varietà quasi-proiettiva.

· Spazi topologici noetheriani.

· Y sottoinsieme di X noetheriano è noetheriano.

· Noetherianità e compattezza.

· Conseguenze: A^n e  P^n sono noetheriani  (la noetherianità topologica discende dalla notherianità algebrica via Teorema della base di Hilbert e reversing-inclusion). Quindi anche ogni I.A.A. e I.A.P e ogni varietà algebrica sono noetheriani. 

· Noetherianità ed irriducibilità: ogni chiuso Y di un noetheriano X si scrive in modo unico (irridondante e a meno dell’ordine) in unione di suoi chiusi propri irriducibili. I chiusi propri irriducibili di una decomposizione (irridondante) di Y  sono detti COMPONENTI IRRIDUCIBILI di Y.

· Ogni varietà algebrica ammette un ricoprimento finito in varietà quasi-affini.

· Ogni localmente chiuso algebrico è unione finita di varietà algebriche, i.e. le varietà algebriche sono i mattoni dei localmente-chiusi algebrici.

· L’intersezione di due varietà affini (o proiettive) non sempre e’ una varietà. Esempio: due delle quadriche (irriducibili) proiettive che contengono la cubica gobba proiettiva forniscono un chiuso proiettivo riducibile

· Sottovarietà algebrica di una varietà algebrica.

  

17 (2 ore) - 07/11/2017

· Funzioni regolari e razionali su A^n. Aperti di definizione.

· Funzioni razionali omogenee di grado zero come funzioni razionali su IP^n. Aperti di definizione.

· Le funzioni razionali omogenee di grado zero costituiscono un sottocampo di IK(x_0, …..,, x_n) = Q(S^{(n)})

· Funzioni regolari in un punto P di una varietà algebrica X: definizione locale ed aperta.

· Asserzione equivalente nel caso dello spazio affine.

· Se X varietà affine, allora l’anello delle coordinate affini A(X) fornisce funzioni regolari su X ed il suo campo dei quozienti  Q(A(X)) definisce funzioni razionali su X.

· O_X(U) è IK-algebra delle funzioni regolari sull’aperto U di una varieta’ algebrica X

· se U<U’ aperti di X, l'applicazione r(U’,U) :  O_X(U’) ----> O_X(U)  è omomorfismo di IK-algebre (omomorfismi di restrizione)

· Prefasci  di gruppi abeliani su uno spazio topologico X

· F (U) = sezioni di un prefascio F su un aperto U di X.

· F (X) = Sezioni globali di un prefascio

· Fasci di gruppi abeliani su uno spazio topologico X

  

18 (2 ore) – 09/11/2018

· O_X  = prefascio strutturale di una varietà algebrica X. E' un prefascio di IK-algebre

· Le sezioni globali O_X(X) sono le funzioni regolari sulla varietà X.

· Luogo di zeri di una funzione regolare su una varietà algebrica X.

· Ogni funzione regolare su X varietà algebrica è un’applicazione continua, se IK si identifica con A^1 dotato di Zar(a,1)

· Se f e g sono funzioni regolari su X varietà algebrica, che coincidono su un aperto U di X, allora coincidono su X.

· Conseguenza: se U < V due aperti di X, l’omomorfismo (di IK-algebre) di restrizione r(V,U) : O_X(V) ---->  O_X(U) è  iniettivo.

· Funzioni razionali su una varietà X.

· K(X) campo delle funzioni razionali su X, è ampliamento del campo IK

Settimana 7

19 (2 ore)  - 13/11/2018

· Per ogni aperto non vuoto U di X, l’omomorfismo (di IK-algebre)  j_U: O_X(U) ---->  K(X) è  iniettivo.

· Per ogni aperto U di X,  O_X(U) è sotto-algebra integra di K(X) e si ha  O_X(X) <  O_X(U)  < K(X).

· Aperto di definizione di una funzione razionale su una varietà X.

· Esempi in cui l’aperto di definizione di una funzione razionale è strettamente contenuto in X.

· Conseguenze della definizione di K(X): O_X è fascio strutturale della varietà X.

· O_{X,W} anello delle funzioni razionali di X definite in una sottovarietà W.

· Per ogni sottovarietà W di X si ha O_X(X) < O_{X,W} < K(X).

· m_{X,W} < O_{X,W} ideale delle funzioni localmente nulle su W.

· Spiga O_{X,p} del fascio O_X nel punto p e germi di funzioni regolari nel punto p di X. 

  

20 (2 ore)  - 14/11/2018

· (A,m) anello locale di ideale massimo m.

· Caratterizzazione di (A,m) locale in termini di invertibili in A.

· Campo residuo A/m di un anello locale.

· (O_{X,W}, m_{X,W}) è anello locale.

· Il campo residuo di  (O_{X,W}, m_{X,W}) è isomorfo al campo delle funzioni razionali K(W) di W sottovarietà algebrica di X .

· Ideale I_U(W) di una sottovarietà W di X in un aperto U di X che interseca W.

· Se U aperto di X, K(U) è isomorfo a K(X).

· Richiami di dipendenza integrale: dipendenza integrale ed A-moduli f.g. Esempi.

· Chiusura integrale di un dominio A in un dominio B contenente A.

· Domini integralmente chiusi.

· Un UFD e' sempre integralmente chiuso

  

21 (2 ore)  - 16/11/2018

· Richiami di teoria della localizzazione per domini di integrità: S sistema moltiplicativo in un anello commutativo unitario A.

· Relazione di equivalenza su AxS.

· L’anello quoziente è A_S, il localizzato di A rispetto a S.

· Morfismo di localizzazione A ----> A_S (iniettivo se A è dominio di integrità)

· Se A dominio di integrità,  per ogni S moltiplicativo si hanno inclusioni  A < A_S < Q(A).

· Localizzazione omogenea di un dominio integro graduato A rispetto ad un sistema moltiplicativo S.  

· Richiami su ideali estesi e contratti: ideale esteso I^e ed ideale contratto J^c per un morfismo di anelli f:A---> B.

· Relazioni di inclusione in (I^e)^c ed in (J^c)^e.

· Ideale contratto di un ideale primo p rimane primo. Ideale contratto di un massimale m è un ideale primo.

· Applicazioni alla localizzazione:

      (i) se p è ideale primo di A, S:= A - p  è sistema moltiplicativo.

      (ii) A_ p := A_S ha ideale esteso  p A_ p := p^e  che è ideale massimale in A_ p.

Settimana 8

22 (2 ore) – 20/11/2018

· (A_ p , p A_ p ) è anello locale di campo residuo isomorfo a Q(A/ p).

· Se A è graduato e  p è ideale primo omogeneo, la localizzazione omogenea (A_ (p) , p A_ (p) ) è anello locale graduato di campo residuo isomorfo a Q_0(A/ p) sottocampo dei frazioni di grado 0 in Q(A/ p).

· Caso di A dominio di integrità: localizzazione A_(0) = Q(A).

· Se A dominio di integrità  graduato: localizzazione omogenea A_((0)) = Q_0 (A) sottocampo di Q(A) delle frazioni di grado zero

· Se A anello commutativo unitario e f in A elemento non-nilpotente: localizzazione A_f.

· Se A anello commutativo unitario graduato e F elemento omogeneo: localizzazione omogenea A_([F]).

· Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali

(i) Se X è una varietà affine, allora:

* O_X(X) = A(X);

* tutti e soli gli ideali primi di A(X) sono ideali I_X(W) < O_X(X) corrispondenti a sottovarietà W < X, con I_X(W)=I_a(W)/I_a(X). In particolare I_X(W) è massimale se e solo se W= P punto di X;

* l’anello locale (O_{X,W}, m_{X,W}) è isomorfo al localizzato di A(X) rispetto al sistema moltiplicativo definito dall’ideale primo I_X(W);

* K(X) = Q(A(X)) = A(X)_(0);

* per ogni sottovarietà W di X, K(W)  è il campo residuo dell’anello locale ottenuto per localizzazione di A(X) rispetto all’ideale primo I_X(W).

· Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali (CASO PROIETTIVO)

 (ii) Se X è una varietà proiettiva, allora:

* O_X(X) = IK.

* tutti e soli gli ideali primi omogenei (tranne l’irrilevante) di S(X) sono ideali I_X(W) < O_X(X) corrispondenti a sottovarietà W < X, con I_X(W)=I_p(W)/I_p(X);

* l’anello locale (O_{X,W}, m_{X,W}) è isomorfo al localizzato omogeneo di S(X) rispetto al sistema moltiplicativo definito dall’ideale primo omogeneo I_X(W);

* K(X) = S (X)_((0));

* per ogni sottovarietà W di X,  K(W)  è il campo residuo dell’anello locale ottenuto per localizzazione omogenea di S(X) rispetto all’ideale primo omogeneo I_X(W).

  

23 (2 ore) – 21/11/2018

· Dimostrazione del Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali nel caso affine.

· Esempio: O_{P^1}(P^1) = IK con conti espliciti

· Dimostrazione del Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali nel caso proiettivo.

  

24 (2 ore) – 24/11/2018

· Prime conseguenze del teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali:

(i)                 se X = p un punto O_p(p) = K(p) = IK;

(ii)               (ii) O_{A^n}(A^n) = A^(n), O_{P^n}(P^n) = IK ma K(A^n) = K(P^n) = K(x_1,….,x_n).

(iii)             Se p è punto in X varietà affine e X chiusura proiettiva di X, allora O_{X,p} = O_{X,p}.

· Esempio: X iperbole Z_a(xy-1) in A^2. Si ha A(X) = A^(1)_x mentre A(A^1) = A^(1). Se W e’ la sottovarietà quasi-affine  A^1 – {0} di A^1, allora A(A^1) < O_W(W) = A(X).   Tuttavia K(X) = K(A^1) = K(W) = K(P^1) = IK(x). Si ha che K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK.

· Motivazioni geometriche del precedente esempio: parametrizzazione f :W à X, t ----> (t , 1/t) , con inversa di f la mappa di proiezione p_1 da X su W (proiezione sulla prima coordinata).  Estensione della parametrizzazione f ad una mappa da P^1 alla chiusura proiettiva in P^2 di X (mappa con polinomi omogenei in 2 indeterminate). La mappa di proiezione p_1 e’ la proiezione da uno dei due punti all’infinito della conica X.  

· Esempio: Calcolo di O_X(X) e di K(X)   per X la parabola Z_a(y - x^2). Si ha O_X(X)= A(A^1) e K(X) = K(A^1) = IK(x), quindi K(X) è  un’estensione puramente trascendente di IK.

· Motivazioni geometriche del precedente esempio: parametrizzazione f: A^1 ----> X, t --à (t, t^2) , con inversa di f la mappa di proiezione p_1 da X su A^1 (proiezione sulla prima coordinata).  Estensione della parametrizzazione f ad una mappa da P^1 alla chiusura proiettiva in P^2 di X (mappa con polinomi omogenei in 2 indeterminate). La mappa di proiezione p_1 e’ la proiezione dall’unico punto all’infinito della conica X.  

· Esempio: Calcolo di O_X(X) e di K(X)  per X l’ellisse x^2 + y^2 =1 in A^2. Si ha A(A^1) < O_X(X) = A(X) però  K(X) = K(A^1)  = K(P^1) = IK(x). K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK.

· Motivazioni geometriche del precedente esempio. Rilettura in termini di parametrizzazione e proiezione da uno dei punti ciclici della ellisse.

· Esempio: calcolo di O_X(X) e di K(X)  per la parabola semicubica y^2 = x^3 (cubica piana cuspidale). Si ha A(A^1) < O_X(X) = A(X) però  K(X) = K(A^1)  = K(P^1) = IK(x). K(X) è  un’estensione puramente trascendente di IK.

· Proprietà: Se X e' varietà algebrica, K(X) e' sempre un ampliamento finitamente generato di IK

· Osservazione: non sempre K(X) risulta un ampliamento puramente trascendente di IK

· Esempio: calcolo di O_X(X) e di K(X)  per la cubica piana y^2 = x(x-1) (x-a). Se a = 0, 1, è cubica piana nodale e  K(X) = K(A^1)  = K(P^1) = IK(x), i.e. K(X) è  un’estensione puramente trascendente di IK. Invece, con a diverso da 0 e 1, X è cubica piana non-singolare e K(X) è un’estensione mista di IK, cioè K(X) è un’estensione algebrica quadratica di IK(x).

Settimana 9

25 (2 ore) – 27/11/2018

· Morfismi di varietà algebriche.

· Isomorfismi ed automorfismi di varietà algebriche.

· Morfismi di varietà algebriche e morfismi di algebre delle funzioni regolari su aperti.

· Corollario: se V e W sono varietà algebriche isomorfe, allora O_V(V) e O_W(W) sono isomorfe come IK-algebre integre.

· Conseguenze: l’iperbole ed A^1 (oppure l’ellisse ed A^1) non possono essere isomorfi

· Morfismi dominanti di varietà algebriche e morfismi tra campi delle funzioni razionali.

· Conseguenza: se V e W sono varietà algebriche isomorfe, allora K(V) e K(W) sono campi isomorfi.

· Non vale il viceversa: basta considerare V= Iperbole e W=A^1 oppure V= Ellisse e W=A^1.

· Ulteriore conseguenza: siano V e W varietà algebriche isomorfe mediante un isomorfismo f e siano V' <V , W' <W sottovarietà isomorfe mediante f, i.e. W' = f(V'). Allora i due anelli locali O_{V,V'} e O_{W,W'} sono isomorfi coem anelli locali.

· Funzioni regolari su varietà algebrica V come morfismi da V ad A^1

26 (2 ore) – 28/11/2018

· Luogo di zeri di un morfismo f: V ----> A^n.

· Immersioni chiuse, aperte e localmente chiuse di una sottovarietà W in una varietà V.

· Criterio per stabilire se un’applicazione (insiemistica) f: V---->W, con W (quasi)-affine in A^n, è un morfismo di varietà algebriche.

· Conseguenze del criterio:

(i)               n-upla di funzioni regolari su V e morfismi da V ad A^n.

(ii)               La parabola è isomorfa ad A^1: isomorfismo esplicito

(iii)              L’iperbole e l’ellisse sono isomorfe a W: = A^1\{0} aperto principale di A^1: isomorfismi espliciti

(iv)             Mappe polinomiali tra A^n ed A^m come morfismi

      (v)             Morfismi tra varietà affini.

· Morfismo di proiezione p_I :A^n à A^m sulle coordinate individuate dall’insieme I sottoinsieme di cardinalità m di {1,2, …., n}.

· Se f è isomorfismo di varietà algebriche allora f è anche omeomorfismo di spazi topologici irriducibili e noetheriani.

· Non è vero il viceversa: la parabola semicubica y^2 = x^3 ed A^1 sono omeomorfi ma non isomorfi.

  

27 (2 ore) – 30/11/2018

· Se V varietà algebrica e W varietà affine, Morph(V,W) corrisponde biunivocamente a Hom_{IK}(A(W), O_V(V)).

· Ricostruzione di un morfismo f: V---->W, con target W affine, da un omomorfismo f* in  Hom_{IK}(A(W), O_V(V))

· Controesempi con V e W proiettive e non punti.

· Se V e W varietà affini, allora V è isomorfa a W se e solo se A(V) è isomorfa come IK-algebra integra ad A(W).

· Esistenza di varietà quasi-affini che non sono affini: A^2-{(0,0)} è un aperto di A^2 che non è isomorfo ad una varietà affine.

· Se V e W varietà affini, allora f :V ----> W è morfismo dominante se e solo se l'omomorfismo f^# : A(W) ----> A(V) e’ iniettivo.

· L’immagine di un morfismo in generale non è né aperta né chiusa nella varietà target

· Conseguenze interessanti:

            (i) Se V è una varietà affine isomorfa ad una varietà proiettiva, allora V è un punto.

            (ii) l’unico chiuso affine irriducibile che è anche chiuso proiettivo è un punto. 

            (iii) Ogni morfismo da una varietà proiettiva ad una varietà affine è costante.

            (iv) Gli aperti fondamentali U_i di IP^n sono isomorfi ad A^n.

· Definizione generale di varietà affine e di aperto affine di una varietà algebrica.

· IP^n ha un ricoprimento finito in aperti affini.

· Per ogni ipersuperficie  Z < A^n , l’aperto W:= A^n \ Z è un aperto affine di  A^n isomorfo all’ipersuperficie irriducibile Z_a(x_{n+1} f - 1) di  A^{n+1}. In particolare, O_W(W) è isomorfo a (A^{(n)})_f.

· A differenza di A^2-{(0,0)}, che è quasi-affine ma non affine, il complementare in A^2 di una curva di grado d è una varietà affine.

Settimana 10

28 (2 ore) – 04/12/2018

· Se W proiettiva, O_W(W)  non può essere utilizzato per costruire morfismi non costanti né come invariante per classi di isomorfismo di varietà proiettive (differenza dal caso affine)

· Criterio per stabilire se un’applicazione f: V---->W, con W quasi-proiettiva è un morfismo.

· Morfismo f da un aperto di IP^n definito da una collezione di polinomi omogenei F_0,…F_r in S^{(n)}_d.

· B:= Z_p(F_0, …., F_r) = luogo base di f = luogo di non definizione del morfismo f

· U:= IP^n  - B = aperto di definizione del morfismo f. 

· Corrispondenza 1-1 tra sezioni iperpiane in IP^r  con l’immagine Im(f) ed ipersuperfici di grado d in IP^n.

· Im(f) è non degenere in IP^r se e solo se F_0, …F_r sono linearmente indipendenti in S^{(n)}_d.

· Sistemi lineari di dimensione r di ipersuperfici di grado d.

· Esempi: conica proiettiva in IP^2 come immagine di IP^1 via la base canonica di S_2^{(1)}: è un isomorfismo sull’immagine; corrispondenza sezioni iperpiane (cioè rettilinee) della conica e coppie di punti su IP^1.

· Esempi: Cubica gobba proiettiva in IP^3 come immagine di IP^1 via la base canonica di S_3^{(1)}. E’ un isomorfismo sull’immagine. corrispondenza sezioni piane della cubica e terne di punti su IP^1.

  

29 (2 ore) – 05/12/2018

· Morfismo da IP^n definito da polinomi F_i lineari.

(i)       Se r = n, il morfismo f corrisponde ad una proiettività di IP^n. 

(ii)      Se  r < n, f è definito sul complementare di un sottospazio lineare L di IP^n.

(iii)     Identificazione del morfismo f con una proiettività degenere di IP^n, i.e. con la proiezione da  IP^n di centro il sottospazio lineare L su  un qualsiasi sottospazio di IP^n, sghembo ad L, ed isomorfo a IP^r

(iv)     Costruzione geometrica della proiezione di IP^n di centro  un sottospazio lineare L su un IP^r.

· Morfismo di Veronese di indici n e d. Varietà di Veronese V_{n,d} in IP^{N(n,d)}.

· V_{1,d} è la curva razionale normale: è una varietà proiettiva, non-degenere in IP^d ed isomorfa a IP^1. Grado di V_{1,d} e sue sezioni iperpiane. 

· V_{2,2} è la Superficie di Veronese. E’ una superficie isomorfa a IP^2 e non degenere in IP^5; il suo grado è 4.

· Ulteriori utilizzi del morfismo di Veronese:

              (i) se W è un’ipersuperficie di IP^n di grado d, allora IP^n – W e’ una varietà affine.

              (ii) se W è un’ipersuperficie di IP^n e se V è una varietà proiettiva non ridotta ad un punto, allora W interesca V

· Esistenza di varietà quasi-proiettive che non sono proiettive, nè affini, nè quasi-affini: IP^2 – {[1,0.0]}

· A differenza del caso affine, se V è una varietà proiettiva l’anello delle coordinate omogenee S(V) non è un invariante per classi di isomorfismo.

· Esempio: IP^1 e la conica di Veronese V_{1,2} sono isomorfe ma l’anello delle coordinate omogenee S(V_{1,2}) è isomorfo ad un sottoanello di S^{(1)}, con graduazione “shiftata” di 2.

  

30 (2 ore) - 07/12/2018

· Il prodotto A^n x A^m è A^{n+m} quando lo si dota con Zar_{a,,n+m}

· Le proiezioni p_n : A^n x A^m = A^{n+m} ----->A^n  e  p_m: A^n x A^m = A^{n+m} ----->A^m  sono morfismi

· Anello delle coordinate A(A^n x A^m)  = A(A^{n+m}) = A^(n+m)

· Il prodotto VxW di 2 varietà affini V e W è una varietà affine.

· Le proiezioni p_V : VxW -----> V e p_W : VxW -----> W sono morfismi di varietà affini.

· Anello delle coordinate A(VxW)

· Proprietà locali di morfismi di varietà algebriche qualsiasi

· Immersione di Segre e varietà di Segre S_{n,m}.

· Esempio: IP^1 x IP^1= S_{1,1} quadrica doppiamente rigata in IP^3. La carta affine di  S_{1,1} in U_0 è il paraboloide a sella z=xy di A^3.

· S_{n,m} è in corrispondenza biunivoca insiemistica (via la mappa di Segre) con  IP^n x IP^m.

Settimana 11

31 (2 ore) – 11/12/2018

· S_{n,m} è una varietà proiettiva.

· L'immersione di Segre è un morfismo.

· Il prodotto IP^n x IP^m eredita la struttura di varietà proiettiva da quella di S_{n,m}. Questa struttura di varietà proiettiva è compatibile, sugli aperti affini del ricoprimento affine naturale di S_{n,m}, con la struttura di prodotto di due varietà affini. 

· Le proiezioni p_n : IP^n x IP^m -----> IP^n e  p_m: IP^n x IP^m -----> IP^m sono morfismi di varietà proiettive

· Struttura di varietà algebrica su A^n x IP^m: è un aperto di IP^n x IP^m

· Chiusi di A^n x IP^m e chiusi di IP^n x IP^m

· Il prodotto VxW di due varietà proiettive V e W è una varietà proiettiva.

·  Le proiezioni p_V : VxW -----> V e p_W : VxW -----> W sono morfismi di varietà proiettive.

· Prodotto VxW  di due varietà quasi-proiettive V e W è una varietà quasi-proiettiva

·  Le proiezioni p_V : VxW -----> V e p_W : VxW -----> W sono morfismi di varietà quasi-proiettive

· Per ogni varietà algebrica V, la diagonale Diag(V) è un chiuso di VxV.

  

32 (2 ore)  - 12/12/2018

· Ogni varietà algebrica V ha una base di aperti per la topologia Zar_V costituita da aperti affini.

· Per ogni morfismo f: V ----> W di varietà algebriche, il grafico del morfismo Gamma_f è un chiuso di VxW.

· F:V -  -  -  -> W applicazione razionale tra varietà algebriche. 

· U_F aperto di definizione di F, i.e. F = (U_F, f), dove f morfismo rappresentativo di F su U_F.

· Applicazioni razionali dominanti: la composizione di due applicazioni razionali dominanti è ancora razionale dominante.

· Applicazioni (od isomorfismi) birazionali.

· Corrispondenza 1-1 tra {applicazioni razionali dominanti tra V e W} e {monomorfismi di campi K(W) ----> K(V)}. In tale corrispondenza le applicazioni birazionali vanno in isomorfismi di campi.

· Conseguenze:

(i)               V e W sono birazionali se e solo se K(V) e K(W) sono campi isomorfi;

(ii)              due varietà sono birazionalmente equivalenti se e solo se hanno due aperti isomorfi;

(iii)             ogni varietà algebrica V è birazionalmente equivalente ad un suo aperto;

(iv)             ogni varietà algebrica è birazionalmente equivalente ad una varietà affine ed ad una varietà proiettiva.  

· Classe di equivalenza birazionale di una data varietà algebrica. Modello di una classe birazionale.

· Varietà razionali.

· Esempi: la retta affine, la retta proiettiva, l’ellisse, l’iperbole, la parabola, ogni conica proiettiva irriducibile, la cubica gobba affine, la cubica gobba proiettiva, ogni curva razionale normale, la parabola semicubica, sono tutte birazionali fra loro. Ciascuno e’ modello della classe birazionale di [P^1]. Sono CURVE RAZIONALI.

· Esempi: la cubica piana Z data da y^2 = x (x-1) (x-a), con a diverso da 0 e 1, non è razionale quindi non appartiene alla classe birazionale  [P^1] (K(Z) era un'estensione algebrica di grado 2 di IK(t)).

  

33 (2 ore)  - 14/12/2018

· La costruzione di IP^n determina un’applicazione razionale da A^{n+1} a IP^n

· Ogni morfismo f: V ----> IP^1 individua un’applicazione razionale F: V - - - -> A^1, e quindi un elemento F di K(V).

· Esempi in cui la corrispondenza si inverte: ogni mappa razionale da A^1 ad A^n si estende in modo unico ad un morfismo da IP^1 a IP^n.

· Esempi in cui la corrispondenza non si inverte: la funzione razionale x_1/x_0 su IP^2 determina il morfismo proiezione da U_0 = A^2 ad A^1, che si estende  al  morfismo  proiezione  da  IP^2 – {[0,0,1]} a IP^1, di centro il sottospazio lineare [0,0,1], e quindi ad un’applicazione razionale  IP^2 - - - -> IP^1 non ulteriormente estendibile ad un morfismo.

· Ulteriori esempi di estensioni di applicazioni: proiezioni p_V di varietà algebriche V < IP^n su sottospazi IP^m: luogo di definizione della proiezione p_V e casi di estendibilità.

·Proiezione stereografica della quadrica di Segre S_{1,1} di IP^3 su un piano: conti espliciti.

· Conseguenza: IP^1 x IP^1 è birazionalmente equivalente ma non isomorfo a IP^2, i.e. la quadrica di Segre S_{1,1} è una SUPERFICIE RAZIONALE non isomorfa a  IP^2.

Settimana 12

34 (2 ore) - 18/12/2018

· Scoppiamento di IP^n nel punto P_0 = [1,0,…,0] come sottovarietà chiusa di IP^n x IP^{n-1}

· Divisore eccezionale dello scoppiamento: significato geometrico del divisore eccezionale come spazio di parametri della famiglia delle rette di IP^n uscenti da P_0.

· Conti espliciti per lo scoppiamento di IP^2: in opportune carte affini lo scoppiamento è in A^3 il paraboloide a sella y = mx e la retta (0,0,m) sopra l’origine (0,0) di A^2 è descritta dai coefficienti angolari m del fascio di rette in A^2 per l’origine.

· Utilizzo dello scoppiamento:

(i)        scioglimento della singolarità in (0,0) della parabola semicubica x^2 = y^3 in A^2,

(ii)       della cubica nodale x^3 + x^2 – y^2 = 0 in A^2.

(iii)      la trasformata stretta in A^3 è in entrambi i casi una cubica gobba affine che, nel primo caso, incontra il divisore eccezionale nell’unico punto (0,0,0) mentre, nel secondo caso, nei due punti (0,0,1) e (0,0,-1).

  

35 (2 ore) – 19/12/2018

· Varietà complete.

· Le varietà affini non sono complete: esempi vari.

· Teorema fondamentale dell’eliminazione: le varietà proiettive sono complete.

· Conseguenze:

(i)         l’immagine di una varietà proiettiva mediante un morfismo è sempre un chiuso della varietà target. 

(ii)        ogni morfismo dominante da una varietà proiettiva è sempre suriettivo (spiega il termine COMPLETA),

· Conseguenze di Conseguenze: le curve razionali normali, le varietà di Segre, di Veronese, le immagini di sistemi lineari privi di punti base ecc…sono tutte varietà proiettive. Ritroviamo inoltre che tutti i morfismi da una varietà proiettiva ad una affine sono costanti, che tutte le funzioni regolari su una varietà proiettiva sono costanti.

  

36 (2 ore) – 21/12/2018

· Varietà affine V in A^r e spazio tangente affine T_a(V,p) in un suo punto.

· Matrice jacobiana J. Minori J_h di J : rango e dimensione dello spazio tangente affine

· Chiusi di V determinati da Z_a(J_h). Sing(V) è un chiuso proprio di V, eventualmente vuoto.

· Punti non-singolari e punti singolari di V.

· Dimensione di una varietà affine per mezzo di T_a(V,p)  in un punto non singolare.

· Esempi: cubica piana cuspidale (parabola semi-cubica) e cubica piana nodale.

· Caso di V varietà proiettiva: lo spazio lineare tangente a V in un punto P è la chiusura proiettiva dello spazio tangente affine a V_0 in p.

· Molteplicità di intersezione tra una retta ed una varietà V in un punto p di V. Rette che toccano V in p.

· Lo spazio tangente affine a V in p è costituito dalle rette che toccano V in p.

· Brevi cenni a spazio tangente di Zariski ad una varietà algebrica  V in un suo punto p.