Corso di Geometria – I Modulo

Scienza e Tecnologia dei Media

I semestre - A.A. 2017-2018


Docente: Prof. Flaminio Flamini  tel. +39.06.72594608   e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
Tutore: Dott. Edoardo Bruno e-mail: edoardobruno90@[ANTISPAM]gmail.com

Orario Lezioni e Tutorati: Martedì, Mercoledì e Venerdì / ore: 09:00 – 11:00 / Aula T6

Ricevimento Studenti Prof. Flamini. SEMESTRE I: Mercoledi' 16:30-18:30 - studio 1116 – Dipartimento di Matematica (Piano 1 – dente 1) – inviare una e-mail qualche giorno prima. SEMESTRE II: per appuntamento via e-mail

 

Diario giornaliero delle lezioni e dei tutorati

SEMESTRE

SETTIMANA

  LEZIONE

ARGOMENTI

I

Settimana 1

 (2 ore)-03/10/2017

· Presentazione del corso, del materiale didattico e dei metodi di valutazione (Esoneri, Pre-appello, Appelli)

Dispense Marini

· Revisione dei sistemi lineari in una indeterminata: condizioni necessarie e sufficienti per esistenza di soluzioni in IR e “numero” di soluzioni”

· Revisione dei sistemi lineri in due indeterminate: condizioni necessarie e sufficienti per esistenza di soluzioni in  IR^2 e “numero” di soluzioni”

· Sistemi lineari di m equazioni in n indeterminate = SL(m,n;IR).

· Sistemi lineari omogenei associati = SLO(m,n;IR).

· Sistemi lineari compatibili ed incompatibili. Un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile.

· Esempi

  

  

 (2 ore)-04/10/2017

Dispense Marini

· Sistemi lineari equivalenti (relazione di equivalenza). Significati geometrici.

· Classe di equivalenza di sistemi lineari

· Combinazione lineare delle righe di un SL(m,n;IR)

· Operazioni elementari sulle righe di una matrice completa di un SL(m,n;IR) e sistemi equivalenti

· Matrici mxn = m righe e n colonne

· Matrici dei coefficienti e completa associate ad un SL(m,n;IR)

· Matrici quadrate. Diagonale principale di una matrice quadrata.

· Matrici quadrate particolari: matrice triangolare superiore (inferiore), matrice diagonale, la matrice identità.

· Esercizi

  

  

 (2 ore)-06/10/2017

Dispense Marini

· Operazioni elementari tra le righe di una matrice mxn

· Matrici a scala (o a gradini).

· Sistemi lineari a scala (o a gradini). Caso particolare con matrice quadrata triangolare superiore

· Metodo di risoluzione a ritroso di un SL(m,n;IR) con matrice dei coefficienti a scala (o a gradini)

· Pivots di una matrice ridotta a scala

· Algoritmo di riduzione a scala (o dell'Eliminazione di Gauss) di un SL(m,n;IR).

· Individuazione di compatibilità ed eventuale risoluzione.

· Esercizi

· Esercizi riepilogativi di settimana I proposti agli studenti: FOGLIO 1 sul sito web

I

Settimana 2

(2 ore)- 10/10/2017.

Dispense Marini

· Operazioni tra matrici: addizione tra matrici mxn, moltiplicazione di una matrice mxn per uno scalare.

· Prodotto riga per colonna tra matrici: compatibilità del prodotto,

· Non commutatività del prodotto (quando compatibile)

· Esistenza di zero-divisori per il prodotto (quando compatibile)

· I Applicazione di prodotto righe per colonne: scrittura di sistemi lineari SL(m,n;IR) con notazione di prodotto matriciale.

· II Applicazione del prodotto righe per colonne: Teorema di struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare compatibile.

· Esercizi

  

  

(2 ore)- 11/10/2017.

Dispense Marini

· III Applicazione del prodotto righe per colonne: scrittura di operazioni elementari tra le righe per mezzo di prodotti a sinistra con matrici elementari

· Trasposta di una matrice.

· Proprietà dell'operazione di trasposizione.

· Matrici simmetriche ed antisimmetriche.

· Decomposizione di una qualsiasi matrice quadrata in parte simmetrica e parte antisimmetrica.

· Esercizi

  

  

(2 ore)- 13/10/2017.

Dispense Marini

· Matrici (quadrate) invertibili.

· Se A invertibile, l’inversa della matrice A è univocamente determinata.

· Un SL(n,n; IR) con matrice A dei coefficienti invertibile è sempre compatibile e con unica soluzione (senza utilizzare Eliminazione di Gauss). 

· Condizione sufficiente per l’invertibilità di una matrice A in termini di SL(n,n; IR) compatibili.

· Calcolo dell’inversa per mezzo dei sistemi lineari

· Esercizi

· Esercizi riepilogativi di settimana II proposti agli studenti : FOGLIO 2 sul sito web

I

Settimana 3

(2 ore)-17/10/2017

· ESERCITAZIONI/TUTORATO

  

  

 (2 ore)-18/10/2017

Dispense Marini

· Determinante di matrici 1x1, 2x2 e 3x3 (metodo di Sarrus).

· Sviluppo del determinante secondo la regola di Laplace: sviluppo rispetto ad una riga o rispetto ad una colonna.

· Determinante della trasposta di una matrice

· Prime proprietà elementari del determinante: scambio di righe o colonne e segno del determinante.

· Conseguenze: se una matrice A ha una riga (oppure una colonna) nulla oppure due righe (oppure due colonne) uguali, allora det(A) = 0

· Conseguenze: det e’ una funzione lineare nelle righe di A

· Conseguenze: se una matrice A ha due righe (oppure due colonne) proporzionali, allora det(A) = 0

· Conseguenze: det (k A) = k^n det(A), se k scalare e A matrice quadrata di ordine n

· Esempi

  

  

(2 ore)-20/10/2017

Dispense Marini

· Conseguenze: se ad una matrice A si sostituisce una riga R_i con la riga R_i più combinazione lineare delle altre righe, il determinante non cambia

· Conseguenze: se una matrice A ha una riga che e’ combinazione lineare delle altre, allora det (A) =0

· Determinante e trasformazioni elementari tra le righe

· Determinante di una matrice triangolare superiore.

· CNES affinchè una matrice triangolare superiore T sia a determinante nullo. Interpretazione con compatibilità o numero di soluzioni che ogni sistema lineare, avente T come matirce dei coefficienti, ha.

· Deduzione della Condizione Necessaria e Sufficiente (CNES) per l’invertibilità di una matrice A in termini del determinante (Teorema 7.3 delle dispense): A invertibile se e solo se det(A) diverso da zero

· Esercizi

· Esercizi riepilogativi di settimana III proposti agli studenti: FOGLIO 3 sul sito web

I

Settimana 4

 (2 ore)-24/10/2017.

· ESERCITAZIONI/TUTORATO

  

  

 (2 ore)-25/10/2017.

Dispense Marini

· Teorema di Binet (Teorema 5.14 delle dispense)

· Conseguenza: determinante della matrice inversa di una matrice invertibile A. 

· Calcolo dell’inversa di una matrice A per mezzo della matrice aggiunta A* di A cioè la trasposta della matrice dei complementi algebrici di A (Teorema 6.1 delle dispense)

· Metodo di Cramer per la risoluzione di sistemi quadrati SL(n,n;IR), Ax = b, con A matrice invertibile (Teorema 7.4 delle dispense) 

· Esercizi

  

  

 (2 ore)-27/10/2017.

Dispense Marini

· Vettori geometrici applicati nell’origine: vettore nullo, somma (regola del parallelogramma), vettore opposto, differenza, multipli di un vettore, combinazione lineare di vettori geometrici.

· Spazi vettoriali reali:  operazioni ed assiomi.

· Esempi di spazi vettoriali reali:

  1. IR^n, con n >= 1
  2. M(m,n;IR),
  3. Sottoinsieme in IR^n delle soluzioni di un SLO(m,n) Ax = 0,
  4. polinomi IR[x],
  5. polinomi IR[x] con grado limitato d,
  6. funzioni continue da un dominio I a valori in IR,
  7. successioni di numeri reali

· Esempi geometrici: piani e rette passanti per l’origine di IR^3. 

· Esercizi riepilogativi di settimana IV proposti agli studenti: FOGLIO 4 sul sito web

I

Settimana 5

 (2 ore)-31/10/2016

Dispense Marini

· Sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale V.

· Sottospazi di matrici M(n,n; IR): triangolari superiori ed inferiori, diagonali, simmetriche, antisimmetriche

· Combinazione lineare di vettori di V.

· Vettori linearmente indipendenti e vettori linearmente dipendenti.

· Significati geometrici: un vettore linearmente dipendente, due vettori linearmente dipendenti, tre vettori linearmente dipendenti

· Sistemi liberi (od indipendenti) di k vettori di V. Significato geometrico

· Esempi di vettori linearmente indipendenti: vettori di IR^n, matrici mxn, polinomi, funzioni elementari da un dominio I a valori in IR.

  

  

 (2 ore)-01/11/2017.

PONTE 1 NOVEMBRE

  

  

 (2 ore)-03/11/2017

Dispense Marini

· Span(S): ha sempre una struttura di sottospazio vettoriale.

· Sistema di generatori per uno spazio vettoriale.

· Spazi vettoriali finitamente generati.

· Esempi e controesempi.

· Basi di uno spazio vettoriale finitamente generato

· Base canonica dello spazio vettoriale IR^n.

· Esempi: ulteriori basi (non canoniche) di IR^2; sistemi di generatori di IR^2 che NON SONO BASI (quindi non liberi); sistemi liberi in IR^2 che NON SONO BASI (quindi non generanti)

· Coordinate di un vettore v di uno spazio vettoriale V rispetto ad una base fissata: sono univocamente determinate.  

· Esempi di cambiamenti di coordinate rispetto a due basi differenti di uno spazio vettoriale

· Esempi.

· Esercizi riepilogativi di settimana V proposti agli studenti : FOGLIO 5 sul sito web

I

Settimana 6

07/11/17

Dispense Marini

· Teorema di estrazione di una base (finita) da un sistema finito di generatori di V e Algoritmo di estrazione di una base

· Teorema di estensione (o completamento) di un sistema libero finito di V ad una base finita di V e Algoritmo di estensione  ad una base

· La cardinalità delle basi di uno spazio vettoriale V è costante = DIMENSIONE di uno spazio vettoriale V f.g. 

· Dimensione e  basi canoniche degli spazi vettoriali:

(i)                 IR^n,

(ii)               M(m,n;IR),

(iii)             IR[X]_{<= d},

(iv)             Sym(2,2;IR),

(v)               Sym(3,3;IR), 

(vi)             Antisym(2,2;IR),

(vii)           Antisym(3,3;IR).

· Ulteriori basi (non canoniche)  di IR^n

  

  

(2 ore)-08/11/2017.

· ESERCITAZIONI/TUTORATO

  

  

(2 ore)-10/11/2017.

Dispense Marini

· Minori di ordine k di una matrice A rettangolare mxn.

· Rango di A: numero massimo di righe (o colonne) indipendenti di A.

· Applicazioni al calcolo della dimensione di sottospazi di IR^n generati da colonne di una matrice A o di sottospazi definiti da equazioni in un SLO i cui coefficienti sono le righe di una matrice A. 

· Teorema degli orlati (o di Kronecher) -> solo enunciato

· Esercizi riepilogativi di settimana VI proposti agli studenti : FOGLIO 6 sul sito web

I

Settimana 7

(2 ore)-14/11/2017.

· ESERCITAZIONI/TUTORATO

(2 ore)–15/11/2017

Dispense Marini

· Intersezione U nW di due sottospazi U e W di uno spazio vettoriale V

· Somma U + W di due sottospazi U e W di uno spazio vettoriale V

· U nW e U+W hanno una struttura di sottospazi vettoriali.

· U nW è contenuto sia in U che in W.

· U+W contiene sia U che W.

· U+W = Span {b_U , b_W}, ove b_U è base di U e b_W è base di W

· Formula di Grassmann. Significati geometrici

· Esempi ed esercizi esplicativi

· Matrice A associata ad una k-upla di vettori di IR^n.

· Calcolo della dimensione del sottospazio W generato dalle colonne di A, per mezzo del rango di A e determinazione di una base di W.

(2 ore)–17/11/2017

Dispense Marini

· Somma diretta di sottospazi.

· Significato geometrico della somma diretta come unicità delle scritture.

· Se V = U somma diretta W, allora U è sottospazio supplementare a W (equiv. W è sottospazio supplementare a U)

· Esempi e controesempi

· Codimensione di un sottospazio U in V, codim(U,V) = dim(V)-dim(U).  

· Equazioni parametriche di un sottospazio proprio U di IR^n, i.e. combinazioni lineari definenti tutti i vettori di U rispetto ad una sua base. Il numero dei parametri liberi nelle combinazioni lineari è uguale a dim(U).

· Equazioni cartesiane di un sottospazio proprio U di IR^n, i.e. il SLO con numero equazioni = codim(U,IR^n), le cui soluzioni sono tutte le combinazioni lineari di U riepstto ad una sua base

· Passaggio da equazioni cartesiane ad equazioni parametriche =  risolvere il SLO dato dalle equazioni cartesiane di U

· Passaggio da equazioni parametriche ad equazioni cartesiane = liberare dai parametri liberi per individuare il SLO che fornisce equazioni cartesiane di U

· Utilizzo del Teorema di Kronecher per la determinazione di equazioni cartesiane da equazioni parametriche.

· Esempi ed esercizi.

· Esercizi riepilogativi di settimana VII proposti agli studenti : FOGLIO 7 sul sito web

I

Settimana 8

(2 ore)-21/11/2017

· ESERCITAZIONI/TUTORATO

  

  

(2 ore)-22/11/2017

Dispense Marini

· Numeri complessi C: motivazioni e costruzione. Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso. Immaginari puri.

· C ha una struttura di spazio vettoriale (su IR) di dimensione 2.

· Piano di Argand-Gauss. Inclusione di IR < C   come inclusione di sottospazi (IR si identifica all’asse reale del piano di Argand-Gauss).

· Coniugio in C: significato geometrico nel piano di Argand-Gauss.

· Moltiplicazione tra numeri complessi.

· Norma di un numero complesso.

· Inverso di un numero complesso non nullo.

· C è un campo.

· Esempi ed esercizi.

  

  

(2 ore)-24/11/2017

Dispense Marini

· Modulo e argomento di un numero complesso.

· Rappresentazione polare (ed esponenziale) dei numeri complessi. 

· Prodotti di numeri complessi in forma polare

· Potenze di un numero complesso (in forma polare) e formule di De Moivre.

· Radici n-esime di un numero complesso.

· Teorema fondamentale dell’Algebra (solo enunciato)

· Esempi ed esercizi.

· Esercizi riepilogativi di settimana VIII proposti agli studenti: FOGLIO 8 sul sito web

I

Settimana 9

(2 ore)-28/11/2017.

ESONERO IN AULA T6 – ore 9-11 (file PDF su sito web corso) – Argomenti esonero: fino a Settimana 7 (NO NUMERI COMPLESSI)

  

  

(2 ore)-29/11/2017.

Dispense Marini

· Applicazioni lineari L:V -> W tra spazi vettoriali.

· Applicazione lineare L(A) associata ad una matrice A in M(m,n;IR).

· Nucleo di un'applicazione lineare (Ker(L)). Ker(L) è l’insieme delle controimmagini del vettore nullo di W.

· Immagine di un'applicazione lineare (Im(L)).

· Ker(L) ha struttura di sottospazio di V e Im(L) ha struttura di sottospazio di W

· Per L(A): IR^n-> IR^m si ha dim (Im(L(A))) = rg(A) e Ker(L(A)) = {sottospazio in IR^n dei vettori soluzioni del sistema omogeneo Ax = 0}.

· Iniettività e suriettività di un’applicazione lineare L:V -> W in termini delle dimensioni di Ker(L) e Im(L).

· Rango di un’applicazione lineare L.

· Teorema di Nullità più Rango (Prop. 12.13).

· Esempi ed esercizi.

  

  

(2 ore)-01/12/2017.

Dispense Marini

· Isomorfismi tra spazi vettoriali di stessa dimensione.

· Spazi vettoriali isomorfi.

· Endomorfismi di uno spazio vettoriale.

· Automorfismi di uno spazio vettoriale.

· CNES affinchè un endomorfismo L_A sia un automorfismo di IR^n

· Matrice A mxn rapperesentativa, nelle basi canoniche rispettive,  di un’applicazione lineare da IR^n a IR^m.

· Corrispondenza biunivoca tra matrici A mxn ed applicazioni lineari da IR^n a IR^m.

· Prodotto righe per colonne tra matrici, riletto come composizione di applicazioni lineari

· Applicazione lineare c_b :V -> IR^n= associazione coordinate dei vettori di uno spazio V di dimensione n rispetto ad una base b fissata. Isomorfismo.

· Teorema di Rouché-Capelli: rilettura di compatibilità e dimensione dello spazio delle soluzioni di un SL(m,n; IR) Ax=b in termini di applicazioni lineari, nucleo ed immagine.

· Esempi ed esercizi.

· Esercizi riepilogativi di settimana IX proposti agli studenti: FOGLIO 9 sul sito web

  

Settimana 10

(2 ore)-05/12/2017.

Dispense Marini

· Operatori (od endomorfismi) su uno spazio vettoriale V.

· Autovalori di un operatore L:V -> V

· Autovettori di un operatore L:V -> V

· Autospazi di un operatore L:V -> V

· Spettro (in C) di un operatore L:V -> V ed insieme degli autovalori (in IR) di L

· Calcolo di autovalori e di autospazi di un operatore L= L(A) di IR^n

· Esempi ed esercizi.

  

  

(2 ore)-06/12/2017.

Dispense Marini

· Polinomio caratteristico di un operatore L=L(A) di IR^n, con A matrice quadrata nxn.

· Traccia e determinante di A.

· Un autovettore di un operatore L:V -> V e' autovettore per un unico autovalore

· Autovettori di un operatore L:V -> V relativi ad autovalori distinti sono vettori linearmente indipendenti di V

· La somma di autospazi di un operatore L:V -> V relativi ad autovalori distinti è una somma diretta.

· Esempi ed esercizi.

· Esercizi riepilogativi di settimana X proposti agli studenti: FOGLIO 10 sul sito web

  

  

(2 ore)-08/12/2017.

FESTIVITA' IMMACOLATA

I

Settimana 11

(2 ore)-12/12/2017.

· ESERCITAZIONI/TUTORATO

  

  

(2 ore)- 13/12/2017.

Dispense Marini

· Paragrafo 14 e Pagine 96-97 di Approfondimenti

· A = M_{b,c}(L) = Matrice rappresentativa di un’applicazione lineare L: V->W in una base b di V ed una base c di W (Def. 14.2 e Oss. 14.5, 14.6)

· Proprietà invarianti delle varie matrici M_{b,c}(L), al variare di b tra le basi di V e di c dalle basi di W

· Rango di L = dim (Im L) = rango della della matrice M_{b,c}(L), per ogni scelta di b Base di V e c base di W

· M_{e,f} = Matrice cambiamento di base su uno spazio vettoriale V = la i-esima colonna di M_{e,f} è la colonna delle coordinate dell’i-esimo vettore della base f espresso in coordinate rispetto alla base e di V

· Formula cambiamento delle coordinate: x = Cy e  y = C^{-1}x , ove C = M_{e,f}, y le coordinate di un vettore rispetto a f e x le coordinate del medesimo vettore rispetto alla base e (Prop. 15.4, 15.7)

  

  

(2 ore)-15/12/2017.

Scambio orario con Analisi 1. Geometria Lezione 14:00-16:00 (Prof. Peirone in commissione Laurea)

Dispense Marini

· L operatore (o endomorfismo) su V: se e ed f sono due basi di V e se C = M_{e,f} matrice cambiamento di base, allora M_{f,f}(L) = C^{-1} M_{e,e}(L) C (Prop. 15.6, 15.8)

· Matrici coniugate o simili: relazione di coniugio o di similitudine.

· Due matrici quadrate rappresentano lo stesso operatore L in basi diverse e ed f per V se e solo se le due matrici rappresentative M_{e,e}(L) e M_{f,f}(L) sono fra di loro CONIUGATE (equiv. SIMILI). La similitudine avviene mediante la matrice invertibile C = M_{e,f} matrice cambiamento di base.

· Il polinomio caratteristico e' invariante per coniugio di matrici.

· Conseguenze: sono definizioni intrinseche polinomio caratteristico di un operatore T, spettro di un operatore T, traccia di un operatore T, determinante di un operatore T, ecc.

· Paragrafo 15: Problema della diagonalizzabilità.

· Operatori diagonalizzabili su uno spazio vettoriale V.

· Basi diagonalizzanti d per un operatore: sono basi costituite da autovettori dell'operatore.

· La matrice M_{d,d}(L) rappresentativa di un operatore L in una base diagonalizzante L è diagonale e sulla diagonale principale appaiono tutti gli autovalori (equivalentemente gli elementi dello spettro) di L. In particolare lo spettro di L è necessariamente tutto reale.

· Esempi di operatori non diagonalizzabili perchè con spettro complesso (non reale).

· Esempi di operatori non diagonalizzabili perchè, anche se con spettro reale, non forniscono una base di autovettori per V

· Esempi di operatori diagonalizzabili

· Esercizi riepilogativi di settimana XI proposti agli studenti: FOGLIO 11 sul sito web

I

Settimana 12

(2 ore)-19/12/2017.

· ESERCITAZIONI/TUTORATO

  

  

(2 ore)-20/12/2017.

Dispense Marini

· Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore di un operatore L

· La molteplicità geometrica di un autovalore e' minore od uguale alla molteplicità algebrica di quell'autovalore (Teorema 13.7)

· CNES di diagonalizzabilità di un operatore L in termini dello Spettro di L e delle molteplicità algebriche e geometriche dei suoi autovalori.

· Caso particolare degli autovalori semplici.

· Potenza n-esima di una matrice diagonalizzabile.

· Rivisitazione di tutti gli esempi svolti (di diagonalizzabili e non) in termini di molteplicità algebriche e geometriche.

· Cenni di spazi vettoriali complessi e di diagonalizzazione di un operatore su C.

· Esempi ed esercizi

  

  

(2ore) -22/12/2017.

Dispense Flamini

· Prodotti scalari su spazi vettoriali. Spazi vettoriali euclidei.

· Esempi: prodotto scalare standard in IR^n, ulteriori prodotti scalari su IR^n, prodotti scalari tra polinomi o funzioni (uso dell'integrale)

· Prodotti scalari rispetto a basi di V e matrici simmetriche.

· Norma ||v|| di un vettore v di uno spazio vettoriale euclideo V.

· Versori. Versorizzazione di un vettore.

· Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz e diseguaglianza triangolare.

· Coseno dell'angolo convesso tra due vettori.

· Vettori ortogonali.

· Esempi ed esercizi

· Esercizi riepilogativi di settimana XII proposti agli studenti: FOGLIO 12 sul sito web

I

Settimana 13

(2 ore)-09/01/2018.

Dispense Flamini

· Sistemi di vettori ortogonali di uno spazio vettoriale euclideo V.

· Basi ortogonali e basi ortonormali di uno spazio vettoriale euclideo V.

· Proiezione < , >-ortogonale di un vettore v su Span(w).

· Procedimento di ortonormalizzazione e di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

· Esistenza di basi ortogonali (ortonormali) di uno spazio vettoriale euclideo.

· Esempi ed esercizi

  

  

(2 ore)-10/01/2018.

Dispense Flamini

· Matrice cambiamento di base M_{e,f} tra due basi ortonormali e e f di V spazio vettoriale euclideo: M_{e,f} è matrice ortogonale (dimostrazione solo nel prodotto scalare standard)

· Matrice speciale ortogonale e matrice ortogonale non-speciale. Loro composizioni ed interpretazione del segno del determinante via regola di Binet.

· R_t= Rotazione di angolo t in IR^2: ha una matrice rappresentativa in base canonica e che e’ matrice speciale ortogonale.

· La composizione di due rotazioni R_t e R_s e’ la rotazione R_{t+s} di angolo t+s  

· S_x= Simmetria assiale in IR^2 rispetto all’asse x: ha una matrice rappresentativa in base canonica e che e’ matrice ortogonale non speciale.

· S_y= Simmetria assiale in IR^2 rispetto all’asse y: ha una matrice rappresentativa in base canonica e che e’ matrice ortogonale non speciale.

· S_y S_x = R_{pigreco}  speciale ortogonale

· Se M_{e,f} e’ matrice cambiamento di base che e’ matrice ortogonale, le relazioni di coniugio e congruenza coincidono. Semplificazione dei conti per la diagonalizzazione.

· Ortogonale ad un sottoinsieme S di  uno spazio vettoriale euclideo V. Ha sempre una struttura di sottospazio vettoriale di V.

· Esempi ed esercizi

  

  

(2 ore)-12/01/2018.

Dispense Flamini

· Complemento ortogonale di un sottospazio W in uno spazio vettoriale euclideo V.

· Somma diretta ortogonale di un sottospazio con il suo complemento ortogonale.

· Dimensioni complementari

· (Un) vettore normale ad un iperpiano W di IR^n (munito di prodotto scalare standard): coefficienti dell'equazione di W.

· Proiettori ortogonali p_W su un sottospazio W. Sono endomorfismi di V.

· L'immagine di p_W e' W ed il nucleo di p_W e' il complemento ortogonale di W

· Esempi ed esercizi.

· Esercizi riepilogativi di settimana XIV proposti agli studenti: FOGLIO 13 sul sito web

  

Settimana 14

(2 ore)-16/01/2018.

· ESERCITAZIONI/TUTORATO

  

  

(2 ore)-17/01/2018.

· Esempi: proiettori ortogonali su rette vettoriali in IR^2 euclideo con prodotto scalare standard.

· Calcolo di matrici rappresentative in vari modi

Dispense Marini

· Applicazioni geometriche del prodotto scalare standard in IR^2 o IR^3

· Aree di parallelogrammi formati da due vettori indipendenti di IR^2 e formula determinantale.

· Prodotto vettoriale di IR^3: è bilineare.

· Il prodotto vettoriale è antisimmetrico.

· Prodotto misto in IR^3: formula determinantale.

· Esempi ed esercizi.

  

  

(2 ore)-19/01/2018.

Dispense Flamini

· Prodotto vettoriale di IR^3:  se v e w indipendenti, v vettor w e’ sempre ortogonale  a Span (v,w)

· Norma di un prodotto vettoriale: significato geometrici.

· Volume di un prisma formato da tre vettori indipendenti in IR^3: formula determinantale e prodotto misto.

· Basi positivamente (o negativamente) orientate in uno spazio vettoriale.

· Basi ortonormali positivamente orientate o negativamente orientate di IR^n e matrici ortogonali speciali e non.

· Calcolo rapido di basi ortonormali e positivamente orientate di IR^3 via prodotto vettoriale.

· Esempi ed esercizi.

· Esercizi riepilogativi di settimana XIV proposti agli studenti: FOGLIO 14 sul sito web

  

Settimana 15

20/04/17 02.00

ESONERO IN AULA T6 – ore 9-11 (file PDF su sito web corso) – Argomenti esonero: da Settimana 7 a Settimana 14