Algebraic Geometry

Laurea Magistrale in Matematica

  A.A. 2017-2018 – I semestre


 Docente: Flaminio Flamini   tel. +39.06.72594608   e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
 Lezioni: Martedì, Mercoledì, 14:00-16:00, Aula 29A – Venerdì, 11:00-13:00, Aula 29A

Ricevimento Studenti. SEMESTRE I: Mercoledi' 16:30-18:30 - studio 1116 – Dipartimento di Matematica (Piano 1 – dente 1) – inviare una e-mail qualche giorno prima. SEMESTRE II: per appuntamento via e-mail
 
 

Calendario Giornaliero (Daily Calendar)

2/10/2017 - 22/12/2018 (8 Credits – 64 hours)

Settimana (Week)

 Lezione (Lecture)

Argomenti (Topics)

Settimana 1

1 (2 ore)- 03/10/2017

· Introduzione alla Geometria Algebrica: descrizione del corso, problematiche legate a varie discipline.

· Spazio affine numerico A^n(IK) ed anello dei polinomi A^(n) := IK[x_1,…,x_n], su un campo IK.

· Insiemi algebrici affini (IAA) Z_a(I) in A^n(IK) ed ideali I dell’anello A^(n). Corrispondenza Ideali ed  IAA.

· Esempi di “non buona” corrispondenza tra IAA ed ideali sia per colpa del campo (non algebricamente chiuso, finito ed infinito) che per colpa degli ideali (non radicali).

· Ideali finitamente generati in A^(n)

· Anelli commutativi unitari e noetheriani. Esempi.

· Teorema della base di Hilbert

· Commenti: sottoanelli di anelli noetheriani non necessariamente sono noetheriani (esempi); quozienti di anelli noetheriani sono noetheriani.

· Formulazione equivalente di noetherianità per mezzo di catene ascendenti di ideali propri.

· Prime corrispondenze tra IAA e ideali in A^(n) (IK qualsiasi campo): somma di ideali, intersezione di ideali e corrispondenti IAA; se I_1 < I_2, allora Z_a(I_1) > Z_a(I_2).

· m_b = (x_1-b_1,….,x_n-b_n) è ideale massimale in A^(n)  (IK qualsiasi campo) e  Z_a (m_b) ={b} <  A^n(IK).

  

2 (2 ore)- 04/10/2017

· IAA come chiusi di A^n(IK) nella topologia di Zariski Zar(a,n) sullo spazio affine A^n(IK).

· Prime proprietà di Zar(a,n): è T1.

· Esempi: classificazione di tutti i chiusi propri di A^1(IK).

· Conseguenza: se IK è infinito,  Zar(a,1)  non è  T_2.

· Ideali radicali.

· Un ideale primo è  radicale; un ideale massimale è radicale.

· Esempi geometrici di ideali con medesimo radicale e determinazione del chiuso di Zariski.

· Corrispondenza non iniettiva tra ideali e chiusi di Zariski.

· Se IK non algebricamente chiuso (finito od infinito), la corrispondenza non è iniettiva nemmeno con ideali radicali. Esempi.

· Esempi: coniche affini irriducibili reali e complesse: sfera di Riemann associata ad una conica complessa (conti espliciti con parametrizzazione in A^2(C)).

  

3 (2 ore)- 06/10/2017

· Esempi: sottospazi affini coordinati di A^n(IK) e sottospazi affini di A^n(IK). L’ideale definito dalle equazioni del sottospazio affine è radicale perchè e' ideale primo.

· Esempi: ipersuperfici in A^n(IK). Equazione ridotta di un’ipersuperficie. Componenti irriducibili di un'ipersuperficie.

· Aperti principali della topologia di Zariski di A^n(IK). Gli aperti principali formano una base per gli aperti della topologia di Zariski di A^n(IK).

· Prodotti di chiusi affini. Cilindri: rivisitazione delle quadriche doppiamente degeneri in di A^3(IK) che sono cilindri in termini di ideali.

· Zar(a,n) e prodotti di chiusi. La topologia prodotto su A^n(IK) x A^m(IK) è meno fine della topologia naturale di Zariski su  A^n(IK) x A^m(IK) = A^{n+m}(IK).

· Enunciati di Hilbert Nullstellensatz forma debole (HNfd) e forma forte (Hnff). Significati geometrici.

· Controesempi di varia natura quando il campo IK e’ finito oppure non è algebricamente chiuso. Corrispondenza sottoinsiemi – ideali via Z_a(-) e I_a(-): corrispondenza in generale non biunivoca

Settimana 2

4 (2 ore) – 10/10/2017

· Ideale I_a(Y) < A^(n) di un sottoinsieme qualsiasi Y < A^n(IK) (IK qualsiasi campo).

· Chiusura (di Zariski) di un sottoinsieme Y in A^n(IK) nella topologia Zar(a,n): Z_a(I_a(Y))

· Corrispondenza sottoinsiemi – ideali via Z_a(-) e I_a(-): corrispondenza non biunivoca (esempi anche con IK algebricamente chiuso)

· Enunciati di Hilbert Nullstellensatz forma forte (HNff) in termini di I_a (-)

· Conseguenza: se IK algebricamente chiuso, le applicazioni Z_a(-) ed I_a(-) inducono corrispondenze biunivoche tra l’insieme degli ideali radicali di A^(n) e l’insieme dei chiusi di Zariski di A^n(IK). Nella corrispondenza biunivoca, i punti di A^n(IK) sono in corrispondenza biunivoca con gli ideali massimali di A^(n).

· Preliminari algebrici per la dimostrazione di (HNfd) e (HNff): A-moduli, morfismi di A-moduli, A-algebre, morfismi di A-algebre.

· Nozioni di finitezza: A-modulo finitamente generato = A-algebra finita, A-algebra di tipo finito, Ampliamento di campi finitamente generato. Legami tra le tre nozioni.

· Legami tra le tre nozioni nel caso di IK < L campi: L è IK-algebra finita à L è IK-algebra di tipo finito à IK<L ampliamento di campi f.g.

· Le implicazioni in generale non si invertono: se x e’ indeterminata su IK, IK[x] è una IK-algebra di tipo finito che non e’ finita e IK(x) = Q(IK[x]) è un ampliamento di IK f.g. che non è una IK-algebra di tipo finito.

· Rivisitazione del caso delle estensioni semplici di campi: caso trascendente e caso algebrico.

· Lemma di Zariski: enunciato

  

5 (2 ore)- 11/10/2017

· Dimostrazione di HNfd con l’utilizzo del Lemma di Zariski.

· Dimostrazione di HNff con l’utilizzo di HNfd.

· Proprietà di I_a(-) : la somma di ideali radicali non necessariamente è radicale; I_a(-) di una unione finita di chiusi e I_a(-) di una intersezione qualsiasi di chiusi.

· Per ogni sottoinsieme X di A^n(IK), si ha I_a(X) = I_a(chiusura di X).

· Se IK algebricamente chiuso, le applicazioni Z_a(-) ed I_a(-) inducono corrispondenze biunivoche tra ideali propri radicali principali di A^(n) e ipersuperfici di A^n(IK); in particolare inducono corrispondenze biunivoche tra ideali primi principali di A^(n) ed ipersuperfici irriducibili di A^n(IK). Rivisitazione delle componenti irriducibili di un’ipersuperficie di A^n(IK).

· Principio di Study affine per IK algebricamente chiuso. Controesempi in IK infinito, ma non algebricamente chiuso.

· Ipersuperfici di A^2(IK) = curve piane affini; ipersuperfici irriducibili di A^2(IK) = curve piane affini irriducibili.  

· Se IK algebricamente chiuso, ogni curva irriducibile di A^2(IK) ha infiniti punti. Controesempi se IK infinito ma non algebricamente chiuso.

· I chiusi propri di A^2(IK) sono il vuoto, unioni finite di punti, unioni finite di curve irriducibili ed unioni finite di curve irriducibili e punti non appartenenti alle curve irriducibili.

6 (2 ore) – 13/10/2017

· Dipendenza integrale ed A-moduli f.g. Esempi.

· Chiusura integrale di un dominio A in un dominio  B contenente A.

· Domini integralmente chiusi.

· Un UFD e' sempre integralmente chiuso

· Dimostrazione del Lemma di Zariski.

Settimana 3

7 (2 ore) – 17/10/2017

Su richiesta studenti – Aula 6A – 9:00-11:00

· Principio di identità dei polinomi in A^(n).

· Conseguenze del principio di identità dei polinomi: se IK è infinito due aperti non vuoti di Zar(a,n) si intersecano sempre, equivalentemente ogni aperto non vuoto è denso in A^n(IK). 

· Se IK algebricamente chiuso, I_a(U) = I_a(A^n(IK)) = (0). 

· Derivate di polinomi in D[x], ove D dominio integro. Derivate parziali in A^(n).

· Anello dei polinomi S^(n) := IK[x_0,…,x_n] e polinomi omogenei di S^(n).

· S^(n)_d = la componente omogenea di grado d (insieme con il polinomio nullo) è un IK-spazio vettoriale

· Formula binomiale per dim (S^(n)_d) su IK

· Caratterizzazione dei polinomi omogenei ed identità di Eulero.

  

8 (2 ore)- 17/10/2017

· Omogeneizzazione e de-omogeneizzazione di polinomi. Proprietà.

· Significati geometrici.

· Anelli graduati.

· Elementi omogenei ed ideale irrilevante in un anello graduato.

· Ideali omogenei di un anello graduato.

· Caratterizzazione di ideali omogenei in termini dei suoi generatori.

· Somma, prodotto ed intersezione di ideali omogenei. Radicale di un ideale omogeneo.  Ideali omogenei primi.

· Un anello quoziente è  graduato se e solo se l’ideale quoziente e’ omogeneo

  

9 (2 ore) – 18/10/2017

· Richiami sulla costruzione di spazi proiettivi e sulle coordinate omogenee.

· Zeri in P^n di un polinomio omogeneo. Insieme degli zeri di un polinomio omogeneo.

· Se IK è infinito, zeri in P^n di un polinomio e legame con gli zeri delle sue componenti omogenee. Controesempi su campi finiti.

· Insiemi algebrici proiettivi (IAP): Z_p(I) dove I ideale omogeneo in S^(n).

· Ideali omogeneo I_p(X) in S^(n) di un sottoinsieme X di P^n.

· Proprietà di “reversing inclusion” come nel caso affine. Intersezioni e somme.

· Proprietà degli IAP come chiusi di una topologia su P^n =  Zar(p,n)  topologia di Zariski su P^n.

· Prime differenze sostanziali tra A^n e P^n: l’ideale irrilevante è radicale ma Z_p(S_{+}) = Z_p(1) è vuoto in P^n.

· Ogni IAP può essere scritto come luogo di zeri di polinomi omogenei dello stesso grado. 

· HNfd  in  P^n:  IK algebricamente chiuso, I ideale proprio omogeneo.  Allora Z_p(I) vuoto, se e solo se rad(I) = S_+. 

Settimana 4

10 (2 ore) – 24/10/2017

Su richiesta studenti – Aula 6A – 9:00-11:00

· Cono affine C_a(X) in  A^{n+1} di un sottoinsieme X di P^n.

· HNff  in  P^n:  IK algebricamente chiuso, Z_p(I) non vuoto, allora I_p(Z_p(I)) = rad(I).

· Corrispondenza tra chiusi di P^n ed ideali radicali omogenei di S^(n) è biunivoca solo se si esclude S_+.

· I ideale radicale e’ t.c. Z_p(I) è un punto di  P^n se e solo se  I ideale primo (non massimale) dato da Ax= 0 con rg(A) = n;

· Analogie tra A^n e P^n:

(i)                 Zar(p,n) è T_1;

(ii)               Zar(p,1) non è T_2;

(iii)             Sottospazi coordinati di   P^n e loro ideale omogeneo; 

(iv)             Ipersuperfici di P^n: componenti irriducibili

· Iperpiani di P^n e spazio proiettivo duale  (P^n)*. Iperpiani fondamentali H_i = Z_p(x_i) ed aperti fondamentali U_i.

· Ricoprimento di  P^n in aperti fondamentali, punti all’infinito di aperti fondamentali. P^n e’ unione disgiunta di uno spazio affine e di un iperpiano proiettivo identificabile con P^{n-1}.

· Ricoprimento in aperti  Y_i = Y n U_i  di un chiuso Y di P^n.

· Chiuso Y_i in U_i individuato da un chiuso proiettivo Y di P^n. Esempi.

· Gli aperti fondamentali U_i sono omemorfi a spazi affini A^n.

· Conseguenze: U_i si dicono carte affini di P^n.

· P^n è ricopribile con n+1 aperti affini (o carte affini). Analogamente, per ogni chiuso proiettivo Y, gli Y_i = Y n U_i  sono aperti affini di un ricoprimento aperto finito.

  

11 (2 ore) – 24/10/2017

· Chiusura proiettiva di un chiuso affine Y= Z_a(J) in A^n = U_i ed ideale generato dagli omogeneizzati dei polinomi in J.

· Chiusura proiettiva di un chiuso affine e componenti all’infinito per la carta affine U_i.

· Se IK e’ infinito, la chiusura proiettiva di A^n è P^n

· Sottospazio lineare intersezione di sottospazi lineari in P^n  e sottospazio lineare congiungente di sottospazi di  P^n

· Formula di Grassmann proiettiva e conseguenze.

· Inviluppo lineare di un sottoinsieme in  P^n e sottoinsiemi non degeneri.

· Sottospazi lineari di P^n e sottospazi affini indotti nelle carte affini.

· Chiusura proiettiva di un sottospazio affine ed ideale omogeneo della chiusura proiettiva.

· Chiusura proiettiva di un’ipersuperficie di A^n ed ideale omogeneo associato. 

· Principio di Study proiettivo.

· Chiusura proiettiva di una curva di A^2 ed ideale omogeneo associato.

· Classificazione di tutti i chiusi propri di P^2

  

12 (2 ore) – 25/10/2017

· Cono affine C_a(X) e cono proiettivo C_p(X)  di un sottoinsieme X di P^n: ideali I_p(X), I_a(C_a(X)) e I_p(C_p(X)).

· Curva razionale affine parametrizzata in A^n: X =  (t, f_2(t), …, f_n(t)), ove t parametro in IK e f_i(t) polinomi non tutti costanti in A^(1)= IK[t].

· Ideale primo I_a(X) associato a X. 

· Applicazioni: cubica gobba affine C_a in A^3. I_a(C_a) è generato da due quadriche di  A^3(IK)

· Cubica gobba proiettiva C_p come chiusura proiettiva di C_a in P^3.

· C_p = C_a unione {P}= Z_p(F_1, F_2, F_3), dove F_i quadriche proiettive linearmente indipendenti.

· C_p come varietà determinantale (minori 2x2 di matrice 2x3 di forme lineari in S^(3))

Settimana 5

13 (2 ore)  - 31/10/2017

· C_p è intersezione completa insiemistica di una quadrica ed una cubica, ma solo come insieme algebrico (struttura NON-RIDOTTA in tutti i punti di C_p)

· I_p(C_p) è generato da tre quadriche, pertanto C_p non è intersezione completa in IP^3.

· Cenni dimostrazione del fatto che  I_p(C_p) =  (F_1, F_2, F_3): modulo delle sizigie, calcolo della dimensione di I_p(C_p) _d, per ogni d >1.

· Sottoinsiemi irriducibili di uno spazio topologico X.

· Esempi, contro-esempi e legami con la connessione.

· Criteri topologici di irriducibilità.

·  Aperti densi.

· Applicazioni ad IAA e IAP:

(i)                 P^n ed ogni suo aperto non vuoto sono irriducibili,

(ii)               ogni aperto non vuoto di  P^n è denso,

(iii)             Zar(p,n) non è T_2.

(iv)             Casi analoghi  per A^n.

(v)               Controesempi per IK finito.

· Esempi di chiusi algebrici irriducibili:

(i)                 sottospazi affini,

(ii)               sottospazi lineari di P^n,

(iii)             la cubica gobba affine

(iv)             la cubica gobba proiettiva,

(v)               ogni curva razionale affine parametrizzata X=  (t, f_2(t), …, f_n(t)) omemorfa da A^1

  

14 (2 ore)  - 01/11/2017

NO LEZIONE: FESTIVITA' OGNISANTI

  

15 (2 ore) – 03/11/2017

· L’immagine continua di un irriducibile è irriducibile.

· Se X  sottoinsieme irriducibile di A^n ed  U aperto di X, allora si ha uguaglianza di ideali in A^(n):  I_a(U) = I_a(X) = I_a(X_a), dove X_a e’ la chiusura affine di X in A^n

· Se X  sottoinsieme irriducibile di P^n ed  U aperto di X, allora si ha uguaglianza di ideali in S^(n):  I_p(U) = I_p(X) = I_p(X_p), dove X_p e’ la chiusura proiettiva di X in P^n

· A(X) = A(X_a) anello delle coordinate affini di X sottoinsieme di  A^n.

· S(X) = S(X_p) anello delle coordinate omogenee di X sottoinsieme di P^n

· Criteri algebrici di irriducibilità in termini di I_a(X), equiv. di A(X) (corrispondentemente, in termini di I_p(X) e di S(X)). 

· Corrispondenza 1-1 tra IAA irriducibili ed ideali primi.

· Corrispondenza 1-1- tra IAP ed ideali primi omogenei di S^(n) –{ S_+}.

· Ipersuperfici irriducibili, componenti irriducibili di un’ipersuperficie. Chiusi propri irriducibili di A^2 e di P^2. 

· Un IAP X e’ irriducibile se e solo se il cono affine C(X)_a e’ irriducibile se e solo se il cono proiettivo C(X)_p e’ irriducibile.

· Varietà affini, varietà quasi-affini, varietà proiettive e varietà quasi-proiettive. Esempi e contro esempi. La nozione più generale è quasi-proiettiva. Varietà ALGEBRICA.

· Ogni varietà quasi-proiettiva ammette un ricoprimento finito in varietà quasi-affini.

· Esercizio: Z varietà proiettiva se e solo se in ogni carta affine U_i il chiuso algebrico Z taglia una varietà affine (utilizzo della condizione di primalità di ideali omogenei). Esempi e controesempi. 

Settimana 6

16 (2 ore)  - 07/11/2017

· Spazi topologici noetheriani.

· Y sottoinsieme di X noetheriano è noetheriano.

· Noetherianità e compattezza.

· Conseguenze: A^n e  P^n sono noetheriani  (la noetherianità topologica discende dalla notherianità algebrica via Teorema della base di Hilbert e reversing-inclusion)

· Ogni varietà algebrica  è noetheriana. 

· Esempi di spazi topologici noetheriani, non con topologia di Zariski.

· Se X e’ noetheriano e separato, allora e’ un insieme finito con topologia discreta.

· Noetherianità ed irriducibilità: ogni chiuso Y di un noetheriano X si scrive in modo unico irridondante (a meno dell’ordine) in unione di suoi chiusi propri irriducibili.

· I chiusi propri irriducibili di una decomposizione irridondante sono detti COMPONENTI IRRIDUCIBILI di Y.

· Ogni chiuso algebrico è unione finita di varietà algebriche (chiuse). Le varietà quasi-proiettive sono i mattoni dei localmente-chiusi algebrici.

· L’intersezione di due varietà affini (o proiettive) non sempre e’ una varietà. Esempio: due delle quadriche (irriducibili) proiettive standard che contengono la cubica gobba proiettiva.

  

17 (2 ore) - 08/11/2017

NO LEZIONE

CONFERENZA a ROMA TRE “A day in honor of Edoardo Sernesi”-

pagina web: http://ricerca.mat.uniroma3.it/users/lopez/SERNESI-day/Sernesi-day.html

  

18 (2 ore) – 10/11/2017

· Funzioni regolari e razionali su A^n.

· Aperti di definizione.

· Funzioni razionali omogenee di grado zero come funzioni razionali su IP^n.

· Aperti di definizione.

· Le funzioni razionali omogenee di grado zero costituiscono un sottocampo di IK(x_0, …..,, x_n) = Q(S^{(n)})

· Funzioni regolari in un punto P di una varietà algebrica X: definizione locale ed aperta.

· Asserzione equivalente nel caso di una varietà  affine o quasi-affine

· Se X varietà affine, allora l’anello delle coordinate affini A(X) fornisce funzioni regolari su X ed il suo campo dei quozienti  Q(A(X)) definisce funzioni razionali su X.

· O_X(U) è IK-algebra delle funzioni regolari sull’aperto U di una varieta’ algebrica X

· se U<U’ aperti di X, r(U’,U) :  O_X(U’) -> O_X(U) omomorfismo di IK-algebre (omomorfismi di restrizione)

Settimana 7

19 (2 ore)  - 14/11/2017

Su richiesta studenti – Aula 6A – 9:00-11:00

· Prefasci e fasci di gruppi o di anelli su uno spazio topologico X

· F (U) = sezioni di un fascio F su un aperto U di X.

· F (X) = Sezioni globali di un fascio

· O_X  = prefascio strutturale di una varietà algebrica X. Le sezioni globali O_X(X) sono le funzioni regolari su tutta la varietà X.

· Luogo di zeri di una funzione regolare su una varietà algebrica.

· Ogni funzione regolare su X varietà algebrica è un’applicazione continua, se IK si identifica con A^1 dotato di Zar(a,1)

· Se f e g sono funzioni regolari su X varietà algebrica che coincidono su un aperto U di X, allora coincidono su X.

· Funzioni razionali su una varietà X.

· K(X) campo delle funzioni razionali su X, è ampliamento del campo IK

  

20 (2 ore)  - 14/11/2017

· Aperto di definizione di una funzione razionale su una varietà X.

· Esempi in cui l’aperto di definizione di una funzione razionale è strettamente contenuto in X.

· Conseguenze della definizione di K(X): O_X è fascio strutturale della varietà X.

· Per ogni aperto U di X,  O_X(U) è sotto-algebra integra di K(X). 

· Se U < V due aperti, l’omomorfismo di IK-algebre di restrizione O_X(V) ---->  O_X(U) è  iniettivo.

· Per ogni aperto U di X si ha  O_X(X) <  O_X(U)  < K(X).

· Sottovarietà algebrica W di una varietà algebrica X.

· O_{X,W} anello delle funzioni razionali di X definite nella sottovarietà W.

· Per ogni sottovarietà W di X si ha O_X(X) < O_{X,W} < K(X).

· m_{X,W} < O_{X,W} ideale delle funzioni localmente nulle su W.

· Spighe O_{X,p} e germi di funzioni regolari nel punto p di X.

  

21 (2 ore)  - 15/11/2017

· (A,m) anello locale di ideale massimo m.

· Caratterizzazione di (A,m) locale in termini di invertibili in A.

· Campo residuo A/m di un anello locale.

· (O_{X,W}, m_{X,W}) è anello locale.

· Il suo campo residuo è isomorfo al campo delle funzioni razionali K(W) della sottovarietà algebrica W.

· Ideale I_U(W) di una sottovarietà W di X in un aperto U di X che interseca W.

· Se U aperto di X, K(U) è isomorfo a K(X).

Settimana 8

22 (2 ore) – 21/11/2017

Su richiesta studenti – Aula 6A – 9:00-11:00

· Richiami di teoria della localizzazione: S  sistema moltiplicativo in un anello commutativo unitario A.

· Relazione di equivalenza su AxS. L’anello quoziente è A_S, il localizzato di A rispetto a S.

· Morfismo di localizzazione A -> A_S non e’ iniettivo in generale. E’ iniettivo se e solo se A dominio. Rivisitazione nel caso dei domini del campo delle frazioni di un dominio.

· Per ogni S moltiplicativo si hanno inclusioni  A < A_S < Q(A)).

· Localizzazione omogenea di un anello graduato A rispetto ad un sistema moltiplicativo S.  

· Ideale esteso I^e ed ideale contratto J^c per un morfismo di anelli. Relazioni di inclusione.

· Un ideale proprio J di A rimane ideale proprio in A_S se e solo J non interseca S.

· Ideali primi di A e di A_S.

· Se p è ideale primo di A, S:= A - p  è sistema moltiplicativo. A_S in tal caso si denota con A_ p e l’ideale esteso  p A_ p è ideale massimale.

· (A_ p , p A_ p ) è anello locale di campo residuo isomorfo a Q(A/ p).

· Se A è graduato localizzazione omogenea (A_ (p) , p A_ (p) ) è anello locale graduato di campo residuo isomorfo a Q_0(A/ p) sottocampo dei frazioni di grado 0 in Q(A/ p).

· Caso di A dominio. Localizzazione A_(0). Se A graduato, localizzazione omogenea A_((0)).

· f in A elemento non-nilpotente. Localizzazione A_f. Se A graduato, localizzazione omogenea A_([f]).

  

23 (2 ore) – 21/11/2017

· Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali

(i) Se X è una varietà affine, allora:

* O_X(X) = A(X);

* tutti e soli gli ideali primi di A(X) sono ideali I_X(W) < O_X(X) corrispondenti a sottovarietà W < X, con I_X(W)=I_a(W)/I_a(X). In particolare I_X(W) è massimale se e solo se W= P punto di X;

* l’anello locale (O_{X,W}, m_{X,W}) è isomorfo al localizzato di A(X) rispetto al sistema moltiplicativo definito dall’ideale primo I_W(X);

* K(X) = Q(A(X)) = A(X)_(0);

* per ogni sottovarietà W di X, K(W)  è il campo residuo dell’anello locale ottenuto per localizzazione di A(X) rispetto all’ideale primo I_W(X).

(ii) Se X è una varietà proiettiva, allora:

* O_X(X) = IK.

* tutti e soli gli ideali primi omogenei (tranne l’irrilevante) di S(X) sono ideali I_X(W) < O_X(X) corrispondenti a sottovarietà W < X, con I_X(W)=I_p(W)/I_p(X);

* l’anello locale (O_{X,W}, m_{X,W}) è isomorfo al localizzato omogeneo di S(X) rispetto al sistema moltiplicativo definito dall’ideale primo I_W(X);

* K(X) = S (X)_((0));

* per ogni sottovarietà W di X,  K(W)  è il campo residuo dell’anello locale ottenuto per localizzazione omogenea di S(X) rispetto all’ideale primo I_W(X).

· Dimostrazione del Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali.

  

24 (2 ore) – 24/11/2017

Attenzione MERCOLEDI’ 21 NO LEZIONE– Seminario Claire Voisin a Roma 1

LEZIONE ORDINARIA – VENERDI’ 24 ore 11:00-13:00 – Aula 29A

· Conseguenze del teorema fondamentale:

(i)                 se X = p un punto O_p(p) = K(p) = IK;

(ii)               (ii) O_{A^n}(A^n) = A^(n), O_{P^n}(P^n) = IK ma K(A^n) = K(P^n) = K(x_1,….,x_n).

(iii)             Se p è punto in X varietà affine e X chiusura proiettiva di X, allora O_{X,p} = O_{X,p}.

· Esempio: O_{P^1}(P^1) = IK con conti espliciti

· Esempio: X iperbole Z_a(xy-1) in A^2. Si ha A(X) = A^(1)_x mentre A(A^1) = A^(1). Se W e’ la sottovarietà quasi-affine  A^1 – {0} di A^1, allora A(A^1) < O_W(W) = A(X).   Tuttavia K(X) = K(A^1) = K(W) = K(P^1) = IK(x). Si ha che K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK.

· Motivazioni geometriche del precedente esempio: parametrizzazione f :W à X, t ----> (t , 1/t) , con inversa di f la mappa di proiezione p_1 da X su W (proiezione sulla prima coordinata).  Estensione della parametrizzazione f ad una mappa da P^1 alla chiusura proiettiva in P^2 di X (mappa con polinomi omogenei in 2 indeterminate). La mappa di proiezione p_1 e’ la proiezione da uno dei due punti all’infinito della conica X.  

· Esempio: Calcolo di O_X(X) e di K(X)   per X la parabola Z_a(y - x^2). Si ha O_X(X)= A(A^1) e K(X) = K(A^1) = IK(x), quindi K(X) è  un’estensione puramente trascendente di IK.

· Motivazioni geometriche del precedente esempio: parametrizzazione f: A^1 ----> X, t --à (t, t^2) , con inversa di f la mappa di proiezione p_1 da X su A^1 (proiezione sulla prima coordinata).  Estensione della parametrizzazione f ad una mappa da P^1 alla chiusura proiettiva in P^2 di X (mappa con polinomi omogenei in 2 indeterminate). La mappa di proiezione p_1 e’ la proiezione dall’unico punto all’infinito della conica X.  

· Esempio: Calcolo di O_X(X) e di K(X)  per X l’ellisse x^2 + y^2 =1 in A^2. Si ha A(A^1) < O_X(X) = A(X) però  K(X) = K(A^1)  = K(P^1) = IK(x). K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK.

· Motivazioni geometriche del precedente esempio. Rilettura in termini di parametrizzazione e proiezione da uno dei punti ciclici della ellisse.

· Esempio: calcolo di O_X(X) e di K(X)  per la parabola semicubica y^2 = x^3 (cubica piana cuspidale). Si ha A(A^1) < O_X(X) = A(X) però  K(X) = K(A^1)  = K(P^1) = IK(x). K(X) è  un’estensione puramente trascendente di IK.

· Esempio: calcolo di O_X(X) e di K(X)  per la cubica piana y^2 = x(x-1) (x-a). Se a = 0, 1, è cubica piana nodale e  K(X) = K(A^1)  = K(P^1) = IK(x), i.e. K(X) è  un’estensione puramente trascendente di IK. Invece, con a diverso da 0 e 1, X è cubica piana non-singolare e K(X) è un’estensione mista di IK, cioè K(X) è un’estensione algebrica quadratica di IK(x).

Settimana 9

25 (2 ore) – 28/11/2017

· Morfismi di varietà algebriche.

· Isomorfismi ed automorfismi di varietà algebriche.

· Morfismi di varietà algebriche e morfismi di algebre delle funzioni regolari su aperti.

· Corollario: se V e W sono varietà algebriche isomorfe, allora O_V(V) e O_W(W) sono isomorfe come IK-algebre integre.

· Conseguenze: l’iperbole ed A^1 (oppure l’ellisse ed A^1) non possono essere isomorfi

· Osservazione: invece la parabola V = Z_a(y_2 – y_1^2) e W= A^1 sono tali che O_V(V) = A(V) = O_W(W) = A(A^1) = IK[t].

· Morfismi dominanti di varietà algebriche e morfismi tra campi delle funzioni razionali.

· Conseguenza: se V e W sono varietà algebriche isomorfe, allora K(V) e K(W) sono campi isomorfi.

· Non vale il viceversa: basta considerare V= Iperbole e W=A^1 oppure V= ellisse e W=A^1.

· Funzioni regolari su varietà algebrica V come morfismi da V ad A^1

· n-upla di funzioni regolari su V e morfismi da V ad A^n.

· Luogo di zeri di un morfismo da V ad A^n.

· Immersioni chiuse, aperte e localmente chiuse di una sottovarietà W in una varietà V.

· Criteri per stabilire se un’applicazione (insiemistica) VàW, con W quasi-affine in A^n, è un morfismo di varietà algebriche.

· Conseguenze:

(i)                 La parabola è isomorfa ad A^1: isomorfismo esplicito

(ii)               L’iperbole e l’ellisse sono isomorfe a W: = A^1\{0} aperto principale di A^1: isomorfismi espliciti

(iii)             Mappe polinomiali tra A^n ed A^m come morfismi

(iv)             Morfismi tra varietà affini.

26 (2 ore) – 29/11/2017

· Se V varietà algebrica e W varietà affine, Morph(V,W) corrisponde biunivocamente a Hom_{IK}(A(W), O_V(V)).

· Ricostruzione di un morfismo con target W affine da un omomorfismo di IK-algebre.

· Controesempi con V e W proiettive e non punti

· Se V e W varietà affini, allora V è isomorfa a W se e solo se A(V) è isomorfa come IK-algebra integra ad A(W).

· Morfismo di proiezione p_I :A^n à A^m sulle coordinate individuate dall’insieme I sottoinsieme di cardinalità m di {1,2, …., n}.

· Se f è isomorfismo di varietà algebriche allora f è anche omeomorfismo di spazi topologici irriducibili e noetheriani. Non è vero il viceversa: la parabola semicubica y^2 = x^3 ed A^1 sono omeomorfi ma non isomorfi.

· L’immagine di un morfismo di una varietà quasi-proiettiva in generale non è né aperta né chiusa. Insiemi costruibili.

· Se V e W varietà affini allora f :V à W è morfismo dominante se e solo se f^# :A(W) à A(V) e’ omomorfismo iniettivo.

· Se V è una varietà affine isomorfa ad una varietà proiettiva, allora V è un punto.

· Conseguenza: l’unico chiuso affine irriducibile che è anche chiuso proiettivo è un punto. 

· Ogni morfismo da una varietà proiettiva ad una varietà affine è costante.

· A^2-{(0,0)} è un aperto di A^2 che non è aperto affine. Esistenza di varietà quasi-affini che non sono affini.

  

27 (2 ore) – 01/12/2017

· Gli aperti fondamentali U_i di IP^n sono isomorfi ad A^n.

· Definizione generale di varietà affine e di aperto affine di una varietà algebrica.

· IP^n ha un ricoprimento finito in aperti affini.

· Per ogni ipersuperficie  Z < A^n , l’aperto W:= A^n \ Z è un aperto affine di  A^n isomorfo all’ipersuperficie irriducibile Z_a(x_{n+1} f- 1) di  A^{n+1}. In particolare, O_W(W) è isomorfo a (A^{(n)})_f.

· A differenza di A^2-{(0,0)}, che è quasi-affine ma non affine, il complementare in A^2 di una curva di grado d è una varietà affine.

· Se W proiettiva, O_W(W)  non può essere utilizzato per costruire morfismi non costanti né come invariante per classi di isomorfismo di varietà proiettive (differenza dal caso affine)

· Criteri per stabilire se un’applicazione VàW, con V e W quasi-proiettive è un morfismo.

· Morfismi f da aperti di IP^n con collezione di polinomi omogenei F_0,…F_r in S^{(n)}_d.

· B:= Z_p(F_0, …., F_r) = luogo base di f = luogo di non definizione di f

· U:= IP^n  - B = aperto di definizione del morfismo f. 

· Corrispondenza 1-1 tra sezioni iperpiane in IP^r  con l’immagine Im(f) ed ipersuperfici di grado d in IP^n.

Settimana 10

28 (2 ore) – 05/12/2017

Orario Ordinario – Aula 29A – 14:00-16:00

· Im(f) è non degenere in IP^r se e solo se F_0, …F_r sono linearmente indipendenti in S^{(n)}_d.

· Sistemi lineari di dimensione r di ipersuperfici di grado d.

· Esempi: conica proiettiva in IP^2 come immagine di IP^1 via la base canonica di S_2^{(1)}: è un isomorfismo sull’immagine; corrispondenza sezioni iperpiane (cioè rettilinee) della conica e coppie di punti su IP^1.

· Esempi: Cubica gobba proiettiva in IP^3 come immagine di IP^1 via la base canonica di S_3^{(1)}. E’ un isomorfismo sull’immagine.

· Morfismo da IP^n caso dei polinomi F_i lineari.

(i)                 Se r = n, il morfismo f corrispondente è una proiettività di IP^n, quindi ad un suo automorfismo. 

(ii)               Se  r < n, f e’ definito sul complementare di un sottospazio lineare L di IP^n.

(iii)             Identificazione del morfismo f con una proiettività degenere di IP^n, i.e. con la proiezione da  IP^n di centro il sottospazio lineare L su un qualsiasi sottospazio di IP^n, sghembo ad L, ed isomorfo a IP^r

(iv)             Costruzione geometrica della proiezione di IP^n di centro  un sottospazio lineare L su un IP^r.

· Morfismo di Veronese di indici n e d. Varietà di Veronese V_{n,d} in IP^{N(n,d)}.

· V_{1,d} è la curva razionale normale: è una varietà proiettiva, non-degenere in IP^d ed isomorfa a IP^1. Grado di V_{1,d} e sue sezioni iperpiane. 

· V_{2,2} è la Superficie di Veronese. E’ una superficie isomorfa a IP^2 e non degenere in IP^5; il suo grado è 4.

· Sottosistemi lineari del sistema completo delle ipersuperfici di grado d di IP^1 e proiezioni interne della curva razionale normale  V_{1,d}

· Ulteriori utilizzi del morfismo di Veronese: se W è un’ipersuperficie di IP^n di grado d, allora IP^n – W e’ una varietà affine.

· IP^2 – {[1,0.0]} è varietà quasi-proiettiva ma non è né proiettiva, né affine, né quasi-affine.

  

29 (2 ore) – 06/12/2017

· A differenza del caso affine, se V è una varietà proiettiva l’anello delle coordinate omogenee S(V) non è un invariante per classi di isomorfismo. Esempio: IP^1 e la conica di Veronese V_{1,2} sono isomorfe ma l’anello delle coordinate omogenee S(V_{1,2}) è isomorfo ad un sottoanello di S^{(1)}, con graduazione shiftata di 2.

· Il prodotto di 2 varietà affini è una varietà affine.

· Le proiezioni sui fattori del prodotto sono morfismi di varietà affini.

· Anello delle coordinate della varietà affine prodotto

· Proprietà locali di morfismi.

· Immersione di Segre e varietà di Segre S_{n,m}.

· IP^1 x IP^1 come quadrica S_{1,1} doppiamente rigata in IP^3. La carta affine di  S_{1,1} in U_0 è il paraboloide a sella z=xy dello spazio affine.

  

30 (2 ore) - 08/12/2017

NO LEZIONE: FESTIVITA' IMMACOLATA

Settimana 11

31 (2 ore) – 12/12/2017

Su richiesta studenti – Aula 6A – 9:00-11:00

· S_{n,m} è in corrispondenza biunivoca (via la mappa di Segre) con  IP^n x IP^m.

· Il prodotto IP^n x IP^m eredita la struttura di varietà proiettiva da quella di S_{n,m} e questa struttura di varietà proiettiva è compatibile, sugli aperti affini del ricoprimento affine naturale di S_{n,m}, con la struttura di prodotto data nel caso di prodotto di due varietà affini. 

· Le proiezioni di IP^n x IP^m sui fattori sono morfismi di varietà proiettive

· Struttura di varietà algebrica su A^n x IP^m: è un aperto di IP^n x IP^m

· Chiusi di IP^n x IP^m e di A^n x IP^m

· Prodotto di due varietà proiettive qualsiasi. Le proiezioni sui fattori sono morfismi.

· Prodotto di due varietà quasi-proiettive qualsiasi. Le proiezioni sui fattori sono morfismi.

· Per ogni varietà algebrica V, la diagonale Diag(V) è chiusa in VxV.

· Per ogni morfismo f: V → W di varietà algebriche, il grafico del morfismo Gamma_f è un chiuso di VxW.

  

32 (2 ore)  - 12/12/2017

· F:V- - -> W applicazione razionale.

· U_F aperto di definizione di F, i.e. F = (U_F, f), dove f morfismo rappresentativo di F su U_F.

· Un morfismo è un’applicazione razionale ma non è vero il viceversa.

· Applicazioni razionali dominanti: la composizione di due applicazioni razionali dominanti è ancora razionale dominante.

· Applicazioni (od isomorfismi) birazionali.

· Se F:V- - -> W è razionale dominante, allora F*: K(W) → K(V) è un morfismo iniettivo di campi.

· Se V e W sono varietà birazionali allora K(V) isomorfo a K(W).

· Ogni varietà algebrica V ha base di aperti per la topologia Zar_V costituita da aperti affini.

· Corrispondenza 1-1 tra {applicazioni razionali dominanti tra V e W} e {monomorfismi di campi K(W) à k(V)}. In tale corrispondenza le applicazioni birazionali vanno in isomorfismi di campi.

· Conseguenze:

(i)                 V e W sono birazionali se e solo se K(V) e K(W) sono campi isomorfi;

(ii)               due varietà sono birazionali se e solo se hanno due aperti isomorfi;

(iii)             ogni varietà algebrica V è birazionale ad un suo aperto;

(iv)             ogni varietà algebrica e’ birazionale ad una varietà affine ed ad una varietà proiettiva.  

· Classe di equivalenza birazionale di una data varietà algebrica. Modello di una classe birazionale.

· Varietà razionali.

· Esempi: la retta affine, la retta proiettiva, l’ellisse, l’iperbole, la parabola, ogni conica proiettiva irriducibile, la cubica gobba affine, la cubica gobba proiettiva, ogni curva razionale normale, la parabola semicubica, sono tutte birazionali fra loro. Ciascuno e’ modello della classe birazionale di [P^1]. Sono CURVE RAZIONALI.

· Esempi: la cubica piana Z data da y^2 = x (x-1) (x-a), con a diverso da 0 e 1, non è razionale quindi non appartiene alla classe birazionale  [A^1] (K(Z) è un estensione algebrica di grado 2 di IK(t)).

  

33 (2 ore)  - 13/12/2017

· La costruzione di IP^n determina un’applicazione razionale da A^{n+1} a IP^n

· Ogni morfismo f: V à IP^1 individua un’applicazione razionale F:V ----> A^1, e quindi un elemento F di K(V).

· Esempi in cui la corrispondenza si inverte: ogni mappa razionale da A^1 ad A^n si estende in modo unico ad un morfismo da IP^1 a IP^n.

· Esempi in cui la corrispondenza non si inverte: la funzione razionale x_1/x_0 su IP^2 determina il morfismo proiezione da U_0 = A^2 ad A^1, che si estende al morfismo proiezione da IP^2 – {[0,0,1]} a IP^1 di centro il sottospazio lineare [0,0,1] e quindi ad un’applicazione razionale IP^2 - - >  IP^1 non ulteriormente estendibile ad un morfismo.

· Ulteriori esempi di estensioni di applicazioni: proiezioni p_V di varietà algebriche V < IP^n su sottospazi IP^m: luogo di definizione della proiezione p_V e casi di estendibilità.

·Proiezione stereografica di una quadrica di rango quattro di IP^3 su un piano: conti espliciti.

· Conseguenza: IP^1 x IP^1 è birazionale a IP^2, i.e. la quadrica e’ SUPERFICIE RAZIONALE non isomorfa a  IP^2.

Settimana 12

34 (2 ore) - 19/12/2017

Su richiesta studenti – Aula 6A – 9:00-11:00

· Scoppiamento di IP^n nel punto P_0 = [1,0,…,0] come sottovarietà chiusa di IP^n x IP^{n-1}

· Divisore eccezionale dello scoppiamento: significato geometrico del divisore eccezionale come spazio di parametri della famiglia delle rette di IP^n uscenti da P_0.

· Conti espliciti per lo scoppiamento di IP^2: in opportune carte affini lo scoppiamento è in A^3 il paraboloide a sella y = mx e la retta (0,0,m) sopra l’origine (0,0) di A^2 è descritta dai coefficienti angolari m del fascio di rette in A^2 per l’origine.

· Utilizzo dello scoppiamento:

(i)                 scioglimento della singolarità in (0,0) della parabola semicubica x^2 = y^3 in A^2,

(ii)               della cubica nodale x^3 + x^2 – y^2 = 0 in A^2.

(iii)             la trasformata stretta in A^3 è in entrambi i casi una cubica gobba affine che, nel primo caso, incontra il divisore eccezionale nell’unico punto (0,0,0) mentre, nel secondo caso, nei due punti (0,0,1) e (0,0,-1).

  

35 (2 ore) – 19/12/2017

· Varietà complete.

· Le varietà affini non sono complete: esempi vari.

· Teorema fondamentale dell’eliminazione: le varietà proiettive sono complete.

· Conseguenze:

(i)                 l’immagine di una varietà proiettiva mediante un morfismo è sempre un chiuso della varietà target. 

(ii)               ogni morfismo dominante da una varietà proiettiva è sempre suriettivo (spiega il termine COMPLETA),

· Conseguenze di Conseguenze: le curve razionali normali, le varietà di Segre, di Veronese, le immagini di sistemi lineari privi di punti base ecc…sono tutte varietà proiettive. Ritroviamo inoltre che tutti i morfismi da una varietà proiettiva ad una affine sono costanti, che tutte le funzioni regolari su una varietà proiettiva sono costanti.

  

36 (2 ore) – 20/12/2017

Lezione 13:45-15:15 (consiglio di Dipaetimento alle 15:30)  

· Varietà affine V in A^r e spazio tangente affine T_a(V,p) in un suo punto.

· Matrice jacobiana J. Minori J_h di J : rango e dimensione dello spazio tangente affine

· Chiusi di V determinati da Z_a(J_h). Sing(V) è un chiuso proprio di V, eventualmente vuoto.

· Punti non-singolari e punti singolari di V.

· Dimensione di una varietà affine per mezzo di T_a(V,p)  in un punto non singolare.

· Esempi: cubica piana cuspidale (parabola semi-cubica) e cubica piana nodale.

· Molteplicità di intersezione tra una retta ed una varietà V in un punto p di V. Rette che toccano V in p.

· Lo spazio tangente affine a V in p è costituito dalle rette che toccano V in p.

· Caso di V varietà proiettiva: lo spazio lineare tangente a V in un punto P è la chiusura proiettiva dello spazio tangente affine a V_0 in p.