Corso di Geometria – I Modulo

Scienza e Tecnologia dei Media

  A.A. 2015-2016


 Docente: Flaminio Flamini   tel. +39.06.72594608   e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
 

Orario delle Lezioni: Martedì e Mercoledi' / ore: 09:00 – 11:00 / Aula T6
Esercitazioni: Dott. Alessandro Spadoni vedere giorni sotto diario lezioni / ore: 09:00-11:00 / Aula T6

Ricevimento studenti: studio docente – Dipartimento di Matematica – Piano I (Dente 1)
Orario ricevimento: Mercoledi', ore 17:00 - 19:00 (inviare per conferma qualche giorno prima un messaggio di posta elettronica al docente)
 

Diario giornaliero delle lezioni

I SEMESTRE: 2015 - 2016

SEMESTRE

SETTIMANA

  LEZIONE

ARGOMENTI

I

Settimana 1

 (2 ore)-29/09/2015

· Teoria ingenua degli insiemi. Unione, intersezione, insieme differenza, complementare di un sottoinsieme.

· Cardinalità. Insieme delle parti di un insieme

· Simboli. Quantificatori universali. Il linguaggio matematico.

· Relazioni di equivalenza su un insieme.

· Classi di equivalenza e rappresentanti

· Partizione di un insieme e classi di equivalenza rispetto ad una relazione di equivalenza.

· Esempi ed esercizi

  

  

 ( 2 ore)-30/09/2015

· Applicazioni fra insiemi: dominio, codominio ed insieme immagine.

· Applicazioni iniettive, suriettive e biiettive. Controimmagini (o fibre) di un elemento del codominio.

· Grafico di un’applicazione.

· Sistemi lineari di m equazioni in n indeterminate SL(m,n;IR). Sistemi omogenei associati SLO(m,n;IR).

· Sistemi lineari compatibili ed incompatibili. Sistemi lineari equivalenti (relazione di equivalenza). Significati geometrici.

· Matrice A dei coefficienti di un SL(m,n;IR). Matrice completa C di un SL(m,n;IR)

· Operazioni elementari sulle righe di una matrice completa di un SL(m,n;IR) e sistemi equivalenti

· Matrici quadrate: matrice triangolare superiore, matrice diagonale. La matrice identità.

· Metodo di risoluzione a ritroso.

· Esempi

  

  

 ( 2 ore)-2/10/2015

· Matrici e sistemi a scala superiore. Pivots.

· Algoritmo di riduzione a scala (o dell'Eliminazione di Gauss)

· Operazioni tra matrici.

· Prodotto riga per colonna tra matrici: compatibilità, non commutatività, esistenza di zero-divisori.

· Scrittura di sistemi lineari SL(m,n;IR) con notazione di prodotto matriciale. Teorema di struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare compatibile.

· Esercizi riepilogativi di settimana I proposti agli studenti: FOGLIO 1 sul sito web

I

Settimana 2

(2 ore)- 6/10/2015.

· Trasposta di una matrice. Proprietà della trasposizione.

· Matrici simmetriche ed antisimmetriche. Decomposizione di una qualsiasi matrice quadrata in una parte simmetrica ed una antisimmetrica.

· Matrici elementari. Il prodotto righe per colonne (a sinistra) per matrici elementari determina le operazioni elementari tra le righe di una matrice.

· Matrici (quadrate) invertibili. Se esiste, l’inversa di una matrice è univocamente determinata.

· SL(n,n; IR) con matrice A dei coefficienti invertibile: è compatibile con unica soluzione (senza Eliminazione di Gauss). 

· Condizione sufficiente per l’invertibilità di una matrice A in termini di SL(n,n; IR) compatibili.

· Esercizi riepilogativi di settimana II proposti agli studenti : FOGLIO 2 sul sito web

  

  

  

  

I

Settimana 3

 (2 ore)-13/10/2015

· Determinante di matrici 1x1, 2x2 e 3x3 (metodo di Sarrus).

· Sviluppo del determinante secondo la regola di Laplace.

· La funzione determinante e’ antisimmetrica rispetto alle righe (o colonne) di una matrice.

· La funzione determinante è lineare nelle righe (equiv. nelle colonne) della matrice.  

· Conseguenze.

· Determinante della trasposta di una matrice e determinante di una matrice triangolare superiore.

· Determinante e trasformazioni elementari. 

· Esempi.

  

  

 (2 ore)-14/10/2015

· Teorema di Binet (dimostrazione a pagine 90-91 in approfondimenti)

· CNES per l’invertibilità di una matrice in termini del determinante.

· Determinante della matrice inversa.  

· Calcolo dell’inversa di una matrice per mezzo della matrice aggiunta (o trasposta dei complementi algebrici)

· Esercizi riepilogativi di settimana III proposti agli studenti: FOGLIO 3 sul sito web

  

  

I

Settimana 4

 (2 ore)-20/10/2015.

· Metodo di Cramer per la risoluzione di sistemi quadrati SL(n,n;IR) Ax = b con A invertibile.

· Spazi vettoriali reali.

· Esempi di spazi vettoriali: IR^n, M(m,n;IR), spazio delle soluzioni di un SLO(m,n) Ax = 0, polinomi IR[x], polinomi IR[x] con grado limitato, funzioni continue da un dominio I a valori in IR, successioni di numeri reali, ecc.

· Sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale V.

· Esempi geometrici.

  

  

 (2 ore)-21/10/2015.

· Combinazione lineare di vettori di V.

· Vettori linearmente indipendenti e vettori linearmente dipendenti. Significati geometrici.

· Sistemi liberi (o indipendenti) di vettori.

· Esempi: di vettori linearmente indipendenti: vettori di IR^n, matrici mxn, polinomi, funzioni elementari da un dominio I a valori in IR.

· Span(S): ha sempre una struttura di sottospazio vettoriale.

· Sistema di generatori per uno spazio vettoriale. Spazi vettoriali finitamente generati. Esempi e contro esempi. 

· Esempi di sistemi non generanti e non liberi, di sistemi generanti non liberi,  di sistemi liberi non generanti.

  

  

 (2 ore)-23/10/2015.

· Basi di uno spazio vettoriale f.g.

· Base canonica di IR^n

· Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Esempi di cambiamenti di coordinate.

· Teorema di estrazione di una base (finita) da un sistema finito di generatori di V.

· Teorema di estensione (o completamento) di un sistema libero finito di V ad una base finita di V.

· Esercizi riepilogativi di settimana IV proposti agli studenti: FOGLIO 4 sul sito web

I

Settimana 5

 (2 ore)-27/10/2015

· La cardinalità delle basi di uno spazio vettoriale è costante. Definizione di DIMENSIONE di uno spazio vettoriale f.g. 

· Dimensione di: IR^n, M(m,n;IR), Triangsup(n,n;IR), Diag(n,n;IR), Sym(n,n;IR), Antisym(n,n;IR), IR[X]_{<= d}.

· Basi “canoniche” dei precedenti spazi.

· Varie basi (non canoniche) dei precedenti spazi.

  

  

 (2 ore)-28/10/2015.

· Minori di ordine k di una matrice rettangolare A mxn.

· Rango di una matrice A: numero massimo di righe (o colonne) indipendenti di A.

· Teorema degli orlati (o di Kronecher)

· Applicazioni al calcolo della dimensione di sottospazi di IR^n generati da colonne di una matrice A o di sottospazi definiti da equazioni in un SLO i cui coefficienti sono le righe di una matrice A. 

· Esercizi riepilogativi di settimana V proposti agli studenti : FOGLIO 5 sul sito web

  

  

 (2 ore)-30/10/2015.

ESERCITAZIONI DOTTOR SPADONI (PDF esercizi su sito web corso)

I

Settimana 6

(2 ore)-3/11/2015.

· Intersezione U nW e somma U+W di due sottospazi U e W di V: hanno una struttura di sottospazio vettoriale.

· Formula di Grassmann.

· Somma diretta di sottospazi. Significato geometrico sull’unicità delle scritture. Esempi e controesempi

· Matrice A associata ad una k-upla di vettori di IR^n. Dimensione del luogo generato per mezzo  del rango di A. Determinazione di una base.

· Equazioni parametriche di un sottospazio proprio di IR^n.

· Equazioni cartesiane di un sottospazio proprio di IR^n.

· Passaggio dalle une alle altre. Utilizzo del Teorema di Kronecher per la determinazione di equazioni cartesiane da equazioni parametriche.

· Esempi ed esercizi. 

  

  

(2 ore)-4/11/2015.

· Strutture algebriche: M(n,n; IR) e' anello non-commutativo unitario. IR[x] è anello commutativo unitario. Z e’ anello commutativo unitario euclideo. IR[x] e’ anello commutativo unitario euclideo (algoritmo Euclideo della divisione polinomiale). Derivata di un polinomio con definizione ricorsiva. Q e IR sono campi.

· Numeri complessi C: motivazioni e costruzione. Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso. Immaginari puri.

· L’insieme dei numeri complessi ha una struttura di spazio vettoriale (su IR) di dimensione 2.

· Piano di Argand-Gauss. Inclusione di IR < C   come inclusione di sottospazi (IR si identifica all’asse reale del piano di Argand-Gauss).

· Coniugio in C: significato geometrico nel piano di Argand-Gauss.

· Moltiplicazione tra numeri complessi. C è un anello commutativo unitario.

· Norma di un numero complesso. Inverso di un numero complesso non nullo.

· C è un campo.

· Esercizi riepilogativi di settimana VI proposti agli studenti : FOGLIO 6 sul sito web

· CONSEGNA VALUTAZIONE IN ITINERE (file PDF su sito web corso)

  

  

(2 ore)-6/11/2015.

ESERCITAZIONI DOTTOR SPADONI (PDF esercizi su sito web corso)

I

Settimana 7

(2 ore)-11/11/2015.

· Rappresentazione polare dei numeri complessi. 

· Potenze di un numero complesso e formule di De Moivre.

· Radici n-esime di un numero complesso.

· Spazi vettoriali complessi (cenni) 

· Esercizi riepilogativi di settimana VII proposti agli studenti : FOGLIO 7 sul sito web

(2 ore)–13/11/2015

ESERCITAZIONI DOTTOR SPADONI (PDF esercizi su sito web corso)

I

Settimana 8

(2 ore)-17/11/2015

· Applicazioni lineari tra spazi vettoriali.

· Applicazione L(A) associata ad una matrice A in M(m,n;IR).

· Nucleo di un'applicazione lineare (Ker(L)). Immagine di un'applicazione lineare (Im(L)). Struttura di sottospazi.

· Ker(L) è la fibra del vettore nullo di W.

· Per L(A): IR^n-> IR^m si ha dim (Im(L(A))) = rg(A) e Ker(L(A) = spazio delle soluzioni del sistema omogeneo Ax = 0.

  

  

(2 ore)-18/11/2015

 · Iniettività e suriettività di L in termini di Ker(L) e Im(L).

· Rango di L.

· Teorema di Nullità piu Rango (Prop. 12.13). Conseguenze.

· Isomorfismi tra spazi vettoriali di stessa dimensione. Spazi vettoriali isomorfi. Automorfismi di uno spazio vettoriale.

· Corrispondenza biunivoca tra matrici mxn ed applicazioni lineari da IR^nIR^m.

· Prodotto righe per colonne tra matrici riletto come composizione di applicazioni.

· Esempi ed esercizi. 

·  Esercizi riepilogativi di settimana VIII proposti agli studenti: FOGLIO 8 sul sito web

  

  

(2 ore)-20/11/2015

ESERCITAZIONI DOTTOR SPADONI (PDF esercizi su sito web corso)

I

Settimana 9

(2 ore)-24/11/2015.

· Teorema di Rouché-Capelli: rilettura di compatibilità e dimensione dello spazio delle soluzioni di Ax=b in termini di applicazioni lineari, nucleo ed immagine.

· Applicazione lineare C_b = associazione coordinate rispetto ad una base b.

· Trasformazioni (od operatori od endomorfismi) su uno spazio vettoriale.

· Autovalori, autovettori, autospazi

· Un autovettore e' autovettore per un unico auto valore

  

  

(2 ore)-25/11/2015.

· Autovettori relativi ad autovalori distinti sono vettori indipendenti

· La somma di autospazi relativi ad autovalori distinti è una somma diretta.

· Spettro di un operatore.

· Polinomio caratteristico di un applicazione L(A), con A matrice quadrata nxn. Traccia e determinante di A.

· Calcolo di autovalori e di autospazi di un operatore L(A).

· Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore: la molteplicità geometrica e' minore od uguale a quella algebrica (dimostrazione da fare in seguito, vedasi Settimana 9)

· Autovalori ed autovettori di potenze di L(A^k) in funzione di quelli di L(A).

  

  

(2 ore)-27/11/2015.

· Paragrafo 14 e Pagine 96-97 di Approfondimenti: Matrici rappresentative di applicazioni lineari

· A = M_{b,c}(L) = Matrice rappresentativa di un’applicazione lineare L: V->W in una base b di V ed una base c di W (Def. 14.2 e Oss. 14.5, 14.6)

· C= M_{e,f} = Matrice cambiamento di base da una base e ad una base f su uno spazio vettoriale V.

· Formula cambiamento delle coordinate: x = Cy e y = C^{-1}x (Prop. 15.4, 15.7)

· Matrici rappresentative di L: V-> W in basi b, c per V e basi e, f per W. FORMULA:  M_{c,f}(L) =  M_{b,c}^{-1} M_{b,e}(L) M_{e,f} (Pagine 96,97)

· Caso particolare per T operatore su V: se e ed f sono due basi di V e se C = M_{e,f} matrice cambiamento di base, allora M_{f,f}(T) = C^{-1} M_{e,e}(T) C (Prop. 15.6, 15.8)

· Matrici coniugate. Relazione di coniugio.

· Due matrici quadrate rappresentano lo stesso operatore T in basi diverse se e solo se le due matrici rappresentative sono fra di loro CONIUGATE.

·  Esercizi riepilogativi di settimana IX proposti agli studenti: FOGLIO 9 sul sito web

  

Settimana 10

(2 ore)-01/12/2015.

· Paragrafo 15: Problema della diagonalizzabilità.

· Basi diagonalizzanti di un operatore. CNES affinchè due matici rapppresentino lo stesso operatore in basi diverse.

· Il polinomio caratteristico e' invariante per classi di coniugio di matrici.

· Conseguenza: polinomio caratteristico di un operatore T, spettro di un operatore T, traccia di un operatore T, determinante di un operatore T, ecc.

· Dimostrazione diTeorema 13.7: la molteplicità geometrica di un autovalore e' minore od uguale a quella algebrica

  

  

(2 ore)-02/12/2012.

· CNES di diagonalizzabilità di un operatore T in termini dello Spettro di T e delle molteplicità algebriche e geometriche dei suoi autovalori.

· Caso particolare degli autovalori semplici.

· Autovettori complessi. Diagonalizzazione complessa: cenni (Testo di Picardello, pp. 173-174) 

· Esempi e controesempi. Esercizi.

· Potenza n-esima di una matrice diagonalizzabile.

· Applicazioni di autovettori: sistemi dinamici ed orbite di operatori (Testo di Picardello, pp. 180-186)

· Esercizi riepilogativi di settimana X proposti agli studenti: FOGLIO 10 sul sito web

  

  

(2 ore)-04/12/2012.

ESERCITAZIONI DOTTOR SPADONI (PDF esercizi su sito web corso)

I

Settimana 11

(2 ore)-08/12/2015.

FESTIVITA' IMMACOLATA

  

  

(2 ore)- 09/12/2014.

· Sottospazi affini di IR^n.

· Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi affini di IR^n. Rilettura in termini di compatibilità di SL(m,n;IR) e rango della matrice dei coefficienti.

· Scrittura intrinseca di un sottospazio affine S = c + V: V e’ univocamente determinato da S, c no. Esempi

· La differenza di due punti su S appartiene a V.  

· Applicazioni: passaggio da equazioni parameriche ad equazioni cartesiane per mezzo di condizioni sul rango di una matrice (Kronecher). Equazioni di rette e piani affini in IR^n.

· Vettore direttore di una retta affine. Giacitura di un sottospazio affine. Sottospazi affini paralleli.

· Cenni su alcune applicazioni alla Geometria Affine nel piano e nello spazio cartesiano: punto medio di un segmento, equazioni parametriche e cartesiane di retta per due punti distinti, equazioni parametriche e cartesiane di piano per 3 punti non allineati, deduzione di alcune formule di Geometria Affine ecc. Questa parte è argomento del II modulo del corso e verrà sviluppata nel II semestre

· Esempi ed esercizi. 

  

  

(2 ore)-11/12/2014

· Prodotto scalare (standard) in IR^n. IR^n spazio vettoriale euclideo.

· Cenni su prodotti scalari in generale. Spazi vettoriali euclidei.

· Norma ||v|| di un vettore v di IR^n. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz e diseguaglianza triangolare.

· Coseno dell'angolo convesso tra due vettori in IR^n. Vettori ortogonali.

· Applicazioni: aree di parallelogrammi formati da vettori di IR^2 e formula determinantale.

· Sottospazio ortogonale ad un sottoinsieme di vettori IR^n: struttura di sottospazio vettoriale.

· Esercizi riepilogativi di settimana XI proposti agli studenti: FOGLIO 11 sul sito web

I

Settimana 12

(2 ore)-15/12/2014.

· Complemento ortogonale di un sottospazio di IR^n. Somma diretta ortogonale.

· Versori. Versorizzazione di un vettore.

· Basi ortogonali ed ortonormali di IR^n.

· Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio.

· Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

· Determinazione di basi ortonormali di sottospazi di IR^n per mezzo del procedimento di Gram-Schmidt.

· Deduzione di alcune formule di Geometria Euclidea nel piano e nello spazio cartesiano Questa parte è argomento del II modulo del corso e verrà sviluppata nel II semestre

· Esempi ed esercizi.

  

  

(2 ore)-16/12/2015.

· Prodotto vettoriale di IR^3. Proprietà. Norma di un prodotto vettoriale. Significati geometrici.

· Prodotto misto in IR^3.

·Volume di un parallelepipedo: formula determinantale o con prodotto misto.

· Basi positivamente (o negativamente) orientate in uno spazio vettoriale. Relazione di equivalenza.  

· Esempi ed esercizi.

  

  

(2ore) -18/12/2015.

· Matrici cambiamenti di base tra due basi ortonormali: MATRICI ORTOGONALI.

· Matrici ortogonali speciali e non speciali. Cambiamenti di orientazione. Isometrie dirette ed inverse.

· Significati geometrici: rotazioni e riflessioni in IR^2 e IR^3 Questa parte è argomento del II modulo del corso e verrà maggiormente sviluppata nel II semestre

· Endomorfismi reali triangolarizzabili: CNES per la triagolarizzabilita' di endomorfismi tramite basi ortonormali. Esempi e controesempi.  

· Esercizi riepilogativi di settimana XII proposti agli studenti: FOGLIO 12 sul sito web

· CONSEGNA VALUTAZIONE IN ITINERE (file PDF su sito web corso)

I

Settimana 13

(2 ore)-05/01/2016.

· FESTIVITA' NATALIZIE

  

  

(2 ore)-06/01/2016.

· FESTIVITA' NATALIZIE

  

  

(2 ore)-08/01/2016.

· FESTIVITA' NATALIZIE

  

Settimana 14

(2 ore)-12/01/2016.

· Aggiunto T* di un operatore T in uno spazio vettoriale (reale) euclideo.

· Operatori reali autoaggiunti ed ortogonali in uno spazio vettoriale.

· Legami tra le nozioni di operatore diagonalizzabile, autoaggiunto ed ortogonale.

· Spettro di operatori ortogonali. Gli operatori ortogonali non necessariamente sono diagonalizzabili.

· CNES affinchè un operatore T diagonalizzabile sia autoaggiunto (rispettivamente, ortogonale)

· Operatori normali. Esempi: operatori ortogonali ed operatori autoaggiunti.

· Se T e' normale, T e T* hanno stessi autovalori e stessi autospazi (Oss. 7.35)

  

  

(2 ore)-13/01/2016.

· Se T e' normale, autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali (Prop. 7.6)

· Caratterizzazione di operatori diagonalizzabili in basi ortonormali (Teorema 7.38)

· Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti (Thm. 7.39). Ci si riduce a dimostrare A simmetrica allora P_A(x) si fattorizza in potenze di binomi su IR

· Applicazioni del Teorema spettrale: diagonalizzazione di matrici simmetriche.

  

  

(2 ore)-15/01/2016.

· Operatori ortogonali ed operatori unitari. Matrici di Rotazione (Testo di Picardello, pp. 138-140)

· Quaternioni e matrici di rotazione in IR^3 (Testo di Picardello, pp.263-273)

· Esercizi riepilogativi di settimana XIV proposti agli studenti: FOGLIO 14 sul sito web